Ряд Котельникова

Ряд Котельникова^[1], Ряд Уиттекера—Котельникова— Шеннона^[2] — ряд, служащий для восстановления непрерывного сигнала с ограниченным спектром из последовательности равноотстоящих значений (отсчётов).

Теорема Котельникова гласит, что при некоторых ограничивающих условиях функция ${\displaystyle x(t)}$ может быть точно восстановлена после её дискретизации, ${\displaystyle x[n]=x(n\Delta t),}$ рядом Котельникова:

${\displaystyle x(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot \operatorname {sinc} \left[{\frac {\pi }{\Delta t}}(t-n\Delta t)\right],}$

где ${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)=\sin(x)/x}$ — sinc-функция,

${\displaystyle \Delta t=1/f_{s}}$ — период дискретизации,

${\displaystyle f_{s}}$ — частота дискретизации.

Есть два граничных условия, которые должны быть удовлетворены, для того чтобы выполнялась интерполяционная формула^[1]:

1. Спектр сигнала ${\displaystyle x(t)}$ должен быть финитен (ограничен по частоте), то есть преобразование Фурье от функции ${\displaystyle x(t)}$ должно обладать следующим свойством: ${\displaystyle {\mathcal {F}}\{x(t)\}=X(f)=0}$ для ${\displaystyle |f|\geqslant B.}$ Это возможно только в том случае, когда сигнал ${\displaystyle x(t)}$ нефинитен (неограничен по времени).
2. Частота дискретизации ${\displaystyle f_{s}}$ должна в два раза или более раз превышать значение ${\displaystyle B}$, то есть ${\displaystyle f_{s}\geqslant 2B}$, или что эквивалентно: ${\displaystyle T\leqslant {\frac {1}{2B}},}$ где ${\displaystyle T}$ — период дискретизации.

Интерполяционная формула воссоздаёт оригинальный сигнал ${\displaystyle x(t)}$ только тогда, когда эти два условия будут выполнены. В противном случае возникает наложение высокочастотных компонентов на низкочастотные — алиасинг.

Так как реальные сигналы ограничены по времени (финитны), то они имеют бесконечный спектр, поэтому в качестве максимальной частоты в спектре приходится выбирать некоторую частоту ${\displaystyle f_{m}}$, определяющую эффективную ширину спектра. Поэтому на практике частоту дискретизации выбирают с некоторым запасом, например, ${\displaystyle f_{d}>3B}$^[1] или ${\displaystyle f_{d}=2,5...5~B}$^[3]. Также на практике эффект наложения спектров может быть уменьшен сглаживанием исходного аналогового сигнала путём фильтрации самых верхних его частот. При этом такое сглаживание (англ. anti-aliasing) должно быть выполнено до дискретизации аналогового сигнала^[4]. Фильтры нижних частот, сглаживающие сигнал перед дискретизацией, называются антиалиасинговыми^[5].

Если ${\displaystyle {\mathcal {F}}\{x(t)\}=0}$ только, начиная с ${\displaystyle |f|>B,}$ что имеет место для неограниченного по времени синусоидального сигнала с несущей частотой ${\displaystyle f_{0},}$ у которого в спектре содержатся лишь две составляющие с частотами ${\displaystyle -f_{0}}$ и ${\displaystyle f_{0},}$ то в этом случае спектр ${\displaystyle {\mathcal {F}}\{x(t)\}}$ равен нулю для ${\displaystyle |f|}$ строго больших ${\displaystyle f_{0}=B.}$ Поэтому в этом случае необходимо, чтобы частота дискретизации строго превышала удвоенную максимальную частоту сигнала ${\displaystyle f_{s}>2B}$^[6]. Однако такое строгое неравенство требуется лишь в том случае, когда значение спектра сигнала на максимальной частоте не равно нулю. Если на максимальной частоте спектр сигнала равен нулю, то необходимость в строгом неравенстве отпадает.

Интерполяционная формула выведенная в теореме Котельникова указывает на то что, она также может быть выражена как свёртка «гребёнки» Дирака с sinc-функцией:

${\displaystyle x(t)=\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot \delta (t-n\Delta t)\right)\cdot \mathrm {sinc} \left({\frac {\pi t}{\Delta t}}\right).}$

Это эквивалентно фильтрации «гребёнкой» Дирака с помощью идеального низкочастотного фильтра.

Интерполяционная формула всегда сходится, конечно и локально равномерно при условии:

${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {Z} ,\;n\neq 0}\left|{\frac {x[n]}{n}}\right|<\infty .}$

Неравенство Гёльдера считается выполненным, если последовательность ${\displaystyle \{x[n]\}_{n\in \mathbb {Z} }}$ принадлежит к любому из ${\displaystyle \ell ^{p}(\mathbb {Z} ,\;\mathbb {C} )}$-пространств, где ${\displaystyle 1<p<\infty }$, что эквивалентно условию:

${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }|x[n]|^{p}<\infty .}$

Это условие достаточно, но не необходимо.