Семейство сдвига-масштаба

В теории вероятности и особенно в математической статистике семейство сдвига-масштаба — это семейство распределений вероятности, параметризирумое параметром сдвига и неотрицательным параметром масштаба. Для любой случайной величины ${\displaystyle X}$, чьё распределение вероятности принадлежит к такому семейству, функция распределения ${\displaystyle Y\,{\overset {d}{=}}\,a+bX}$ также принадлежит к семейству (где ${\displaystyle {\overset {d}{=}}}$ обозначает равенство по распределению, то есть "имеет такое же распределение").

Другими словами, класс распределений вероятности ${\displaystyle \Omega }$ является семейством сдвига-масштаба, если все функции распределения ${\displaystyle F\in \Omega }$ и для любых действительные чисел ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ и ${\displaystyle b>0}$ функция распределения ${\displaystyle G(x)=F(a+bx)}$ также принадлежит ${\displaystyle \Omega }$.

• Если ${\displaystyle X}$ имеет функцию распределения ${\displaystyle F_{X}(x)=P(X\leqslant x)}$, то ${\displaystyle Y=a+bX}$ имеет функцию распределения ${\displaystyle F_{Y}(y)=F_{X}\left({\frac {y-a}{b}}\right)}$.
• Если дискретная случайная величина с функцией вероятности ${\displaystyle p_{X}(x)=P(X=x)}$, то у ${\displaystyle Y=a+bX}$ дискретная случайная величина с функцией вероятности ${\displaystyle p_{Y}(y)=p_{X}\left({\frac {y-a}{b}}\right)}$.
• Если ${\displaystyle X}$ непрерывная случайная величина с плотностью распределения ${\displaystyle f_{X}(x)}$, то ${\displaystyle Y=a+bX}$ непрерывная случайная величина с плотностью распределения ${\displaystyle f_{Y}(y)={\frac {1}{b}}f_{X}\left({\frac {y-a}{b}}\right)}$.
• Если у ${\displaystyle X}$ есть производящая функция моментов ${\displaystyle M_{X}(t)}$, то для ${\displaystyle Y=a+bX}$ производящей функцией моментов будет ${\displaystyle M_{Y}(t)=e^{at}M_{X}(bt)}$.
• Если у ${\displaystyle X}$ есть характеристическая функция ${\displaystyle \varphi _{X}(t)}$, то для ${\displaystyle Y=a+bX}$ характеристическая функция будет ${\displaystyle \varphi _{Y}(t)=e^{iat}\varphi _{X}(bt)}$.

Более того, если функции распределения случайных величин ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ принадлежат к одному семейству, то, предполагая существование первых двух моментов и что у ${\displaystyle X}$ нулевое среднее и единичная дисперсия, ${\displaystyle Y}$ может быть представлена как ${\displaystyle Y\,{\overset {d}{=}}\,\mu _{Y}+\sigma _{Y}X}$, где ${\displaystyle \mu _{Y}}$ и ${\displaystyle \sigma _{Y}}$ среднее и стандартное отклонение ${\displaystyle Y}$.

В теории принятия решений известно, что если для лица, принимающего решения, доступны альтернативные распределения, также принадлежащие семейству сдвига-масштаба, и для которых первые два момента конечные, то применима двухмоментная модель принятия решений, выбор можно формулировать в терминах средних и дисперсий распределений^[1][2][3].

Часто термин "семейство сдвига-масштаба" употребляют для случаев, когда все члены имеют одинаковую функциональную форму. Большинство семейств сдвига-масштаба одномерны, хотя и не все. Перечислим известные семейства с одинаковыми функциональными формами распределению:

• Нормальное распределение
• Эллиптическое распределение
• Распределение Коши
• Непрерывное равномерное распределение
• Дискретное равномерное распределение
• Логистическое распределение
• Распределение Лапласа
• Распределение Стьюдента
• Обобщённое распределение экстремальных значений

Здесь показывается как реализовать семейство сдвига-масштаба в статистическом пакете или программном окружении, где доступны только "стандартные" версии функций распределения. Демонстрация написана для R, но может быть обобщена для любого языка и библиотеки.

Пример разобран на t-распределении Стьюдента, которое доступно в R только в стандартной форме с единственным параметром степени свободы df. Версии ниже с добавленным _ls показывают как обобщить его до обобщённого t-распределения Стьюдента с произвольными параметрами сдвига m и масштаба s.

Отметим, что у этих обобщённых функций s не совпадает со стандартным отклонением, поскольку t-распределение не может иметь стандартное отклонение равное ${\displaystyle 1}$.

• http://www.randomservices.org/random/special/LocationScale.html