Систола поверхности

Систолические неравенства для кривых на поверхностях первым изучал Чарльз Лёвнер в 1949 году (не опубликовано; см. примечание в конце статьи Пу 1952 года). Если дана замкнутая поверхность, её систола, обозначаемая как sys, определяется как петля наименьшей длины, которая не может быть стянута в точку на поверхности. Систолическая площадь метрики определяется как отношение площади и sys². Систолическое отношение SR (от английского Systolic Ratio) равно обратной величине, то есть sys²/площадь. См. также статью Введение в систолическую геометрию.

В 1949 году Лёвнер доказал неравенство для метрик на торе T², а именно, что систолическое отношение SR(T²) ограничено сверху величиной ${\displaystyle 2/{\sqrt {3}}}$, с равенством на плоском (постоянной кривизны) случае равностороннего тора (см. Шестиугольная решётка).

Похожий результат даёт неравенство Пу для вещественной проективной плоскости, полученный в 1952 году Пу Баомином с верхней границей ${\displaystyle \pi /2}$ для систолического отношения SR(RP²), которое также превращается в равенство в случае постоянной кривизны.

Для бутылки Кляйна K Бавард (1986) получил оптимальную верхнюю границу ${\displaystyle \pi /{\sqrt {8}}}$ для систолического отношения:

${\displaystyle \mathrm {SR} (K)\leqslant {\frac {\pi }{\sqrt {8}}},}$

на основе работы Блаттера 1960-х годов.

Ориентируемая поверхность рода 2 удовлетворяет границе Лёвнера ${\displaystyle \mathrm {SR} (2)\leqslant {\tfrac {2}{\sqrt {3}}}}$ (см. статью Катца и Сабуру^[1]). Неизвестно, удовлетворяет ли любая поверхность с положительным родом границе Лёвнера. Есть гипотеза, что все они удовлетворяют. Ответ положителен для рода 20 и выше^[2].

Для замкнутой поверхности рода g Хебда и Бураго (1980) показали, что систолическое отношение SR(g) ограничено сверху константой 2. Тремя годами позже Михаил Громов нашёл верхнюю границу SR(g) с точностью до постоянного множителя

${\displaystyle {\frac {(\log g)^{2}}{g}}.}$

Похожая нижняя граница (с аналогичной константой) получена Бузером и Сарнаком, а именно: они привели арифметические гиперболические римановы поверхности с систолами, дающими ${\displaystyle \log(g)}$ с точностью до постоянного множителя. Заметим, что площадь равна ${\displaystyle 4\pi (g-1)}$ по теореме Гаусса — Бонне, так что SR(g) ведёт себя с точностью до постоянного множителя как ${\displaystyle {\tfrac {(\log g)^{2}}{g}}}$.

Изучение для большого рода ${\displaystyle g}$ асимптотического поведения систолы гиперболических поверхностей раскрывает несколько интересных констант. Так, поверхности Гурвица ${\displaystyle \Sigma _{g}}$, определённые башней главных конгруэнцподгрупп группы гиперболических треугольников (2,3,7), удовлетворяют границе

${\displaystyle \mathrm {sys} (\Sigma _{g})\geqslant {\frac {4}{3}}\log g,}$

которая получается из анализа порядка кватернионов Гурвица. Похожая граница выполняется для более общих арифметических фуксовых групп. Этот результат 2007 года Михаила Гершевича Каца, Мэри Шапс и Узи Вишне улучшает неравенство Питера Сарнака и Питера Бузера 1994 года для случая арифметических групп, определённых над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, которое содержало ненулевую аддитивную постоянную. Для поверхностей Гурвица главного типа конгруэнтности систолическое отношение SR(g) асимптотически стремится к

${\displaystyle {\frac {4}{9\pi }}{\frac {(\log g)^{2}}{g}}.}$

При использовании неравенства энтропии Катока была найдена следующая асимптотическая верхняя граница для SR(g)^[2]:

${\displaystyle {\frac {(\log g)^{2}}{\pi g}},}$

см. также статью Катца^[3]. Комбинируя две оценки, получаем жёсткие границы систолического отношения поверхностей.

Имеется также версия неравенства для метрик на сфере для инварианта L, определённого как наименьшая длина замкнутой геодезической метрики. В 1980 году Громов высказал гипотезу, что для отношения площадь/L² нижней границей является ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}}$. Нижняя граница в 1/961, полученная Кроке в 1988 году была недавно улучшена Набутовским, Ротман и Сабуру.

• Дифференциальная геометрия поверхностей

• Bavard C. Inégalité isosystolique pour la bouteille de Klein // Math. Ann.. — 1986. — Т. 274, вып. 3. — С. 439–441. — doi:10.1007/BF01457227.
• Buser P., Sarnak P. On the period matrix of a Riemann surface of large genus (With an appendix by J. H. Conway and N. J. A. Sloane) // Inventiones Mathematicae. — 1994. — Т. 117, вып. 1. — С. 27–56. — doi:10.1007/BF01232233. — Bibcode:1994InMat.117...27B.
• Gromov M. Filling Riemannian manifolds // J. Diff. Geom.. — 1983. — Т. 18, вып. 1. — С. 1–147. — doi:10.4310/jdg/1214509283.
• Hebda J. Some lower bounds for the area of surfaces // Invent. Math.. — 1981/82. — Т. 65, вып. 3. — С. 485–490. — doi:10.1007/BF01396632. — Bibcode:1982InMat..65..485H.
• Mikhail G. Katz. Systolic geometry and topology. — Providence, R.I.: American Mathematical Society, 2007. — Т. 137. — (Mathematical Surveys and Monographs). — ISBN 978-0-8218-4177-8.
• Katz M., Sabourau S. Entropy of systolically extremal surfaces and asymptotic bounds // Ergo. Th. Dynam. Sys.. — 2005. — Т. 25, вып. 4. — С. 1209–1220. — doi:10.1017/S0143385704001014. — arXiv:math/0410312.
• Katz M., Sabourau S. Hyperelliptic surfaces are Loewner // Proc. Amer. Math. Soc.. — 2006. — Т. 134, вып. 4. — С. 1189–1195. — doi:10.1090/S0002-9939-05-08057-3. — arXiv:math.DG/0407009.
• Katz M., Schaps M., Vishne U. Logarithmic growth of systole of arithmetic Riemann surfaces along congruence subgroups // J. Differential Geom.. — 2007. — Т. 76, вып. 3. — С. 399–422. — doi:10.4310/jdg/1180135693. — arXiv:math.DG/0505007.
• Pu P. M. Some inequalities in certain nonorientable Riemannian manifolds // Pacific J. Math.. — 1952. — Т. 2. — С. 55–71. — doi:10.2140/pjm.1952.2.55.