Скобка Нийенхейса — Ричардсона

Алгебраическая скобка или скобка Нийенхейса–Ричардсона — это структура градуированной алгебры Ли на пространстве знакопеременных полилинейных форм векторного пространства, введённая А. Нийенхейсом и Р. В. Ричардсоном-младшим (1966, 1967). Она родственна скобкам Фрёлихера–Нийенхейса и Схоутена–Нийенхейса, но не тождественна им.

Основной мотивацией введения скобок была разработка единой модели для обсуждения всех возможных структур алгебры Ли на векторном пространстве, а затем и деформаций этих структур. Если V — векторное пространство, а p ≥ −1 — целое число, пусть

${\displaystyle \operatorname {Alt} ^{p}(V)=({\bigwedge }^{p+1}V^{*})\otimes V}$

– пространство всех кососимметричных (p + 1) -полилинейных отображений V в себя. Прямая сумма Alt(V) является градуированным векторным пространством . Структура алгебры Ли на V определяется кососимметричным билинейным отображением μ : V × V → V. То есть, μ является элементом Alt¹(V). Более того, μ должно подчиняться тождеству Якоби. Скобка Нейенхейса–Ричардсона даёт систематический способ выражения этого тождества в виде [μ, μ] = 0 .

Более подробно, скобка представляет собой билинейную скобочную операцию, определяемую на Alt(V) следующим образом. На однородных элементах P ∈ Alt^p(V) и Q ∈ Alt^q(V) скобка Нийенхейса–Ричардсона [P, Q]^∧ ∈ Alt^p+q(V) задаётся формулой

${\displaystyle [P,Q]^{\land }=i_{P}Q-(-1)^{pq}i_{Q}P.}$

Здесь внутреннее произведение i_P определяется как

${\displaystyle (i_{P}Q)(X_{0},X_{1},\ldots ,X_{p+q})=\sum _{\sigma \in {\text{Sh}}_{q+1,p}}\mathrm {sgn} (\sigma )P(Q(X_{\sigma (0)},X_{\sigma (1)},\ldots ,X_{\sigma (q)}),X_{\sigma (q+1)},\ldots ,X_{\sigma (p+q)})}$

где ${\displaystyle {\text{Sh}}_{q+1,p}}$ обозначает ${\displaystyle (q+1,p)}$-перестановки индексов, то есть перестановки ${\displaystyle \sigma }$ из ${\displaystyle \{0,\ldots ,p+q\}}$ такой что ${\displaystyle \sigma (0)<\cdots <\sigma (q)}$ и ${\displaystyle \sigma (q+1)<\cdots <\sigma (p+q)}$ .

На неоднородных элементах скобка расширяется по билинейности.

Скобка Нийенхейса–Ричардсона может быть определена на векторнозначных формах Ω^*(M, T(M)) на гладком многообразии M аналогичным образом. Векторнозначные формы действуют как дифференцирования на суперкоммутативном кольце Ω^*(M) форм на M, переводя K в дифференцирование i_K, и скобка Нийенхейса–Ричардсона тогда соответствует коммутатору двух дифференцирований. Это отождествляет Ω^*(M, T(M)) с алгеброй дифференцирований, обращающихся в нуль на гладких функциях. Не все дифференцирования имеют такой вид; о структуре полного кольца всех дифференцирований (смотри статью Скобка Фрёлихера–Нийенхейса).

Скобка Нийенхейса–Ричардсона и скобка Фрёлихера–Нийенхейса превращают Ω^*(M, T(M)) в градуированную супералгебру, но имеют разные степени.

• Lecomte, Pierre; Michor, Peter W.; Schicketanz, Hubert (1992). The multigraded Nijenhuis–Richardson algebra, its universal property and application. J. Pure Appl. Algebra. 77 (1): 87—102. arXiv:math/9201257. doi:10.1016/0022-4049(92)90032-B.
• Michor, P.W.; Schicketanz, H. (1989). A cohomology for vector valued differential forms. Ann. Global Anal. Geom. 7 (3): 163—9. arXiv:math.DG/9201255. doi:10.1007/BF00128296. S2CID 14688631.
• Nijenhuis, A.; Richardson, R. (1966). Cohomology and deformations in graded Lie algebras. Bull. Amer. Math. Soc. 72: 1—29. CiteSeerX 10.1.1.333.2736. doi:10.1090/S0002-9904-1966-11401-5. MR 0195995.
• Nijenhuis, A.; Richardson, R. (1967). Deformation of Lie algebra structures. J. Math. Mech. 17 (1): 89—105. JSTOR 24902154.