Соотношение Клеро

Соотношение Клеро — уравнение для геодезической на произвольной поверхности вращения. Легко выводится из сохранения энергии и момента импульса вокруг оси вращения. Названо в честь Алекси Клода Клеро.

Пусть ${\displaystyle t\mapsto \gamma (t)}$ есть геодезическая на поверхности вращения, ${\displaystyle R(t)}$ обозначает расстояние от оси вращения до ${\displaystyle \gamma (t)}$, а ${\displaystyle \alpha (t)}$ — угол между ${\displaystyle \gamma '(t)}$ и параллелью поверхности вращения, проходящей через данную точку. Тогда выражение

${\displaystyle R(t)\cdot \cos \alpha (t)}$

постоянно. Верно и обратное утверждение: если для некоторой кривой ${\displaystyle t\mapsto \gamma (t)}$ это выражение постоянно, то ${\displaystyle \gamma (t)}$ — либо геодезическая, либо параллель^[1].

• Манфредо П. до Кармо. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. — Ин­ститут компьютерных исследований, 2013. — ISBN 978-5-4344-0150-0.
• Ремизов А.О. Интеграл энергии и огибающие. Геодезические на поверхностях вращения. Матем. обр., 2025, № 3(115), 37–49.