Твистор

Тви́стор (от англ. twist — «крутить», «скручивать», с добавлением суффикса -or, используемого для образования новых физико-математических понятий) — математический объект, основой которого является не точка, а световой луч, используемый как альтернативный способ описания геометрии Вселенной (где на первый план выходят не точки и их координаты, а переплетение связей и отношений между ними). Его математическое представление включает в себя спиноры (объекты, которые естественным образом описывают вращение и спин элементарных частиц), и вся геометрия оказывается как бы «закрученной» (откуда англоязычная основа термина). Таким образом, 4-мерное комплексное твисторное векторное пространство является нелокальным комплексным твисторным отображением 4-мерного пространства-времени Минковского.

Введение понятия вызвано необходимостью усложнения математической модели для описания квантовомеханических событий в пространстве-времени. Так, для описания поглощения фотона недостаточно указать координаты точки поглощения в четырёхмерном пространстве, необходимо указать также его энергию и поляризацию. Для описания состояния электрона необходимо добавить к его координатам направление спина.

Теория твисторов использует тот факт, что значение поляризации или спина в точке пространства-времени — это луч в двумерном комплексном пространстве, или точка на сфере Римана ${\displaystyle CP^{1}}$. Эта сфера Римана является математическим образом абсолютного небосвода наблюдателя в специальной теории относительности. Таким образом, основной идеей теории твисторов является объединение математического аппарата специальной теории относительности (4-мерное пространство Минковского) и квантовой механики (комплексные числа).

Математически твистор представляется двумя компонентами, каждый из которых является двукомпонентным спинором. Это уравнение говорит: «Чтобы найти положение луча, нужно взять точку в пространстве-времени и "умножить" её на его импульсную характеристику». Таким образом, твистор — это спинорная пара. Вся информация о световом луче (где он находится и куда летит) хранится в этих двух спинорах. Понятие твистора как спинорной пары ввёл Роджер Пенроуз, убедившись, что спиноры наилучшим образом подходят для описания луча света (который является безмассовой частицей со спином). Так, импульсный спинор («спинор Пенроуза») напрямую кодирует 4-импульс фотона^[1].

Теория твисторов рассматривает в качестве фундаментальных объектов не точки пространства-времени, а лучи света. Рассмотрим световой луч Z в пространстве-времени Минковского и точку R, через которую он проходит. Световой луч в пространстве-времени Минковского при твисторном отображении отображается в точку Z проективного твисторного пространства PT, а точка R в пространстве-времени Минковского M при твисторном отображении отображается в сферу Римана R в проективном твисторном пространстве PT. Таким образом, точка Z в PT соответствует геометрическому месту Z (световому лучу) в пространстве М, а точка R в М соответствует геометрическому месту R (сфере Римана) в пространстве PT. Точки проективного твисторного пространства PT называются проективными твисторами.

Точки пространства-времени представляются четырьмя вещественными числами, а координаты в проективном твисторном пространстве могут быть представлены отношениями четырёх комплексных чисел. Если световой луч с координатами ${\displaystyle (Z_{0},Z_{1},Z_{2},Z_{3})}$ в твисторном пространстве проходит через точку (t, x, y, z) в пространстве-времени, то справедливо твисторное отображение

${\displaystyle {Z_{0} \choose Z_{1}}={\frac {i}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}t+z&x+iy\\x-iy&t-z\end{pmatrix}}{Z_{2} \choose Z_{3}}.}$

Твистор Z с координатами ${\displaystyle (Z_{0},Z_{1},Z_{2},Z_{3})}$ называется положительным (соответственно отрицательным, изотропным), если величина ${\displaystyle Z_{0}^{2}+Z_{1}^{2}-Z_{2}^{2}-Z_{3}^{2}}$ положительна (соответственно отрицательна, равна нулю). Множества положительных (соответственно отрицательных, изотропных) твисторов обозначаются через Т⁺ (соотв. Т^-, N), а их проективные аналоги — через PТ⁺ (соотв. PТ^-, PN).

Теория твисторов применяется при решении уравнений Максвелла, Янга — Миллса и Эйнштейна.

• Специальная теория относительности
• Квантовая механика
• Спинор
• Роджер Пенроуз

• Пенроуз Р. Путь к реальности или законы, управляющие вселенной: Полный путеводитель / Пер. с англ. А. Р. Логунова, Э. М. Эпштейна. — М., Ижевск, 2007.
• Твисторы и калибровочные поля: Сборник статей / Под ред. В. В. Жаринова. — М.: Мир, 1983.
• Пенроуз Р., Риндлер В. Спиноры и пространство-время. Спинорные и твисторные методы в геометрии пространства-времени / Пер. с англ. — М.: Мир. 1988. — 572 с. — ISBN 5-03-001049-1
• Манин Ю. И. Математика как метафора. — М.: МЦНМО, 2008. — 400 с. — 2000 экз. — ISBN 978-5-94057-287-9
• Геометрические идеи в физике: Сб. статей / пер. с англ. под ред. Ю. И. Манина. — М.: Мир, 1983. — 240 c.
• Манин Ю. И. Калибровочные поля и комплексная геометрия. — М.: Наука, 1984. — 336 с.