Теорема Алберта — Брауэра — Хассе — Нётер

Теорема Алберта — Брауэра — Хассе — Нётер — утверждение о том, что центральная простая алгебра ${\displaystyle A}$ над полем алгебраических чисел ${\displaystyle K}$, которая для каждого нормирования ${\displaystyle v}$ расщепляется над соответствующим локальным полем ${\displaystyle K_{v}}$, то есть ${\displaystyle A\otimes _{K}K_{v}\simeq M_{d}(K_{v})}$, — является матричной алгеброй над ${\displaystyle K}$: ${\displaystyle A\simeq M_{d}(K)}$.

Доказана в работе Ричарда Брауэра, Хельмута Хассе и Эмми Нётер (опубликована в 1931 году) и независимо в труде Абрахама Алберта и Хельмута Хассе (1932). Результат служит примером локально-глобального принципа в алгебраической теории чисел и обеспечивает полное описание конечномерных алгебр с делением над полями алгебраических чисел в терминах их локальных инвариантов. Доказательство использует теорему Хассе о нормах.

Используя теорию групп Брауэра можно доказать, что две центральные простые алгебры ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ над полем алгебраических чисел ${\displaystyle K}$ изоморфны над ${\displaystyle K}$ тогда и только тогда, когда их пополнения ${\displaystyle A_{v}}$ и ${\displaystyle B_{v}}$ изоморфны над пополнением ${\displaystyle K_{v}}$ для каждого нормирования ${\displaystyle v}$.

Результат в комбинации с теоремой Грюнвальда — Ванга означает, что каждая центральная простая алгебра над полем алгебраических чисел является циклической, то есть может быть получена явной конструкцией из циклического расширения поля ${\displaystyle L/K}$.

• Пирс Р. §18.4 Теорема Алберта — Брауэра — Хассе — Нётер // Ассоциативные алгебры. — Мир, 1986. — С. 433—438.
• Albert A. A., Hasse H. A determination of all normal division algebras over an algebraic number field (англ.) // Trans. Amer. Math. Soc.. — 1932. — Vol. 34, iss. 3. — P. 722—726. — doi:10.1090/s0002-9947-1932-1501659-x. — .
• Brauer R., Hasse H., Noether E. Beweis eines Hauptsatzes in der Theorie der Algebren (нем.) // J. Reine Angew. Math.. — 1932. — Bd. 167. — S. 399—404. — doi:10.1515/crll.1932.167.399.
• Fenster D. D., Schwermer J. Delicate collaboration: Adrian Albert and Helmut Hasse and the Principal Theorem in Division Algebras (англ.) // Archive for History of Exact Sciences. — 2005. — Vol. 59, iss. 4. — P. 349—379. — doi:10.1007/s00407-004-0093-6.
• Reiner I. Maximal Orders (англ.). — Oxford University Press, 2003. — Vol. 28. — 276 p. — (London Mathematical Society Monographs. New Series). — ISBN 0-19-852673-3. — .
• Roquette P. Contributions to the history of number theory in the 20th century. — Zürich: European Mathematical Society, 2013. — С. 1—76. — (Heritage of European Mathematics). — ISBN 978-3-03719-113-2. — .
• Albert Nance E. A³ & His Algebra. — iUniverse, 2005. — ISBN 978-0-595-32817-8.