Теорема Александера о предбазе

Теорема Алекса́ндера о предбазе^[1] — критерий компактности топологического пространства. Доказана Джеймсом Александером.^[2] Из неё легко следует теорема Тихонова о компактности произведения компактных пространств.

Как известно, компактным называется пространство, допускающая выделение из каждого своего покрытия открытыми множествами конечное подпокрытие. Теорема Александера значительно сужает класс покрытий, которые достаточно рассматривать для установления компактности. Формулировка теоремы использует понятие предбазы топологии — семейства открытых подмножеств, конечные пересечения которых образуют базу топологии.

Теорема. Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда выделение конечного подпокрытия допускает каждое покрытие, составленное из элементов некоторой предбазы его топологии.

Доказательство

Необходимость в этом критерии компактности очевидна, так как все элементы предбазы — открытые множества. Достаточность доказывается методом от противного. Пусть пространство X некомпактно, хотя всякое покрытие, составленное из элементов предбазы ${\mathfrak {P}}$ его топологии, допускает выделение конечного подпокрытия. Пусть ${\mathfrak {B}}$ — база топологии пространства X, образованная этой предбазой. Каждый её элемент есть конечное пересечение элементов предбазы.

Множество всех возможных ${\mathfrak {B}}$ -покрытий пространства X (то есть составленных из элементов базы ${\mathfrak {B}}$ ), не допускающих конечного подпокрытия, индуктивно упорядочено и непусто, следовательно, к нему применима лемма Цорна. Значит, существует максимальное (нерасширяемое) такое покрытие. Элементы предбазы ${\mathfrak {P}}$ , содержащиеся в нём, не образуют покрытия пространства X, следовательно, какая-то точка покрыта элементом базы $P_{1}\cap P_{2}\cap \ldots \cap P_{n}$ , но покрытие не содержит ни один из элементов предбазы $P_{1},P_{2},\ldots ,P_{n}$ .

Далее используется максимальность рассматриваемого покрытия. После добавления к нему множества $P_{i}$ , можно выделить конечное подпокрытие. Объединяя все эти подпокрытия, выкидывая из них множества $P_{1},P_{2},\ldots ,P_{n}$ и добавляя множество $P_{1}\cap P_{2}\cap \ldots \cap P_{n}$ , получается конечное покрытие пространства X, являющееся подпокрытием исходного покрытия. Противоречие (конечных подпокрытий исходное покрытие не допускало) доказывает теорему.

Несложное доказательство теоремы Александера можно получить, используя следующий критерий компактности: топологическое пространство $X$ компактно в том и только том случае, если каждый ультрафильтр на множестве $X$ имеет хотя бы один предел^[3].

Теорема Александера носит теоретико-решёточный характер (поскольку формулируется в терминах свойств семейства открытых подмножеств топологического пространства, являющегося полной дистрибутивной решёткой) и допускает различные обобщения на специальные классы частично упорядоченных множеств^[4]^[5]^[6].

Примечания

↑ Часто также называемая леммой Александера (о предбазе).
↑ Alexander J. W. Ordered Sets, complexes and the problem of compactifications. — Proc. Nat. Acad. Sci. USA 25 (1939), pp. 296—298. doi:10.1073/pnas.25.6.296 (оригинальная статья).
↑ Схема такого доказательства. Пусть ${\mathfrak {P}}$ — предбаза пространства $X$ , такая, что любое покрытие пространства $X$ её элементами содержит конечное подпокрытие. Пусть ${\mathcal {F}}$ — ультрафильтр на $X$ , не имеющий ни одного предела. Тогда каждая точка $x\in X$ обладает окрестностью, принадлежащей семейству ${\mathfrak {P}}$ и не принадлежащей ${\mathcal {F}}$ . Следовательно, существует покрытие пространства $X$ элементами семейства ${\mathfrak {P}}$ , ни один из которых не принадлежит ультрафильтру ${\mathcal {F}}$ . Из этого покрытия можно выбрать конечное подпокрытие ${\mathfrak {A}}$ . Тогда $X=\bigcup {\mathfrak {A}}\in {\mathcal {F}}$ , но ни один элемент конечного семейства ${\mathfrak {A}}$ не принадлежит фильтру ${\mathcal {F}}$ , что противоречит его максимальности.
↑ Abian A. A partial order generalization of Alexander's subbase theorem Архивная копия от 19 января 2022 на Wayback Machine. — Rend. Circ. Mat. Palermo 38 (1989), pp. 271—276.
↑ Erné M. Semidistributivity, prime ideals and the subbase lemma Архивная копия от 19 января 2022 на Wayback Machine. — Rend. Circ. Mat. Palermo 41 (1991) No. 2, pp. 241—250.
↑ Рой и Мукхержи ввели специальный тип компактности, определённый в терминах решёток Шоке (grills) и доказали для него аналоги теорем Александера о предбазе и Тихонова о компактности: см. B. Roy, M. N. Mukherjee. On a type of compactness via grills Архивная копия от 19 февраля 2014 на Wayback Machine. — Matem. Vesn. 59 (2007), No. 3, pp. 113—120.

Литература

Келли Дж. Л. Общая топология = General Topology (рус.) / Пер. с англ. А. В. Архангельского. — 2-е изд. — М.: Наука, 1981. — С. 187–188. — 431 с.
Энгелькинг, Р. Общая топология = General Topology / Пер. с англ. М. Я. Антоновского, А. В. Архангельского. — М.: Мир, 1986. — 751 с. — Задача 3.12.2 (С. 331).

[1] Часто также называемая леммой Александера (о предбазе).

[2] Alexander J. W. Ordered Sets, complexes and the problem of compactifications. — Proc. Nat. Acad. Sci. USA 25 (1939), pp. 296—298. doi:10.1073/pnas.25.6.296 (оригинальная статья).

[3] Схема такого доказательства. Пусть ${\mathfrak {P}}$ — предбаза пространства $X$ , такая, что любое покрытие пространства $X$ её элементами содержит конечное подпокрытие. Пусть ${\mathcal {F}}$ — ультрафильтр на $X$ , не имеющий ни одного предела. Тогда каждая точка $x\in X$ обладает окрестностью, принадлежащей семейству ${\mathfrak {P}}$ и не принадлежащей ${\mathcal {F}}$ . Следовательно, существует покрытие пространства $X$ элементами семейства ${\mathfrak {P}}$ , ни один из которых не принадлежит ультрафильтру ${\mathcal {F}}$ . Из этого покрытия можно выбрать конечное подпокрытие ${\mathfrak {A}}$ . Тогда $X=\bigcup {\mathfrak {A}}\in {\mathcal {F}}$ , но ни один элемент конечного семейства ${\mathfrak {A}}$ не принадлежит фильтру ${\mathcal {F}}$ , что противоречит его максимальности.

[4] Abian A. A partial order generalization of Alexander's subbase theorem Архивная копия от 19 января 2022 на Wayback Machine. — Rend. Circ. Mat. Palermo 38 (1989), pp. 271—276.

[5] Erné M. Semidistributivity, prime ideals and the subbase lemma Архивная копия от 19 января 2022 на Wayback Machine. — Rend. Circ. Mat. Palermo 41 (1991) No. 2, pp. 241—250.

[6] Рой и Мукхержи ввели специальный тип компактности, определённый в терминах решёток Шоке (grills) и доказали для него аналоги теорем Александера о предбазе и Тихонова о компактности: см. B. Roy, M. N. Mukherjee. On a type of compactness via grills Архивная копия от 19 февраля 2014 на Wayback Machine. — Matem. Vesn. 59 (2007), No. 3, pp. 113—120.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]