Теорема Бляшке — Лебега

Теорема Бляшке — Лебега утверждает, что треугольник Рёло имеет минимальную площадь из всех кривых постоянной заданной ширины^[1]. Утверждение в форме «Каждая кривая заданной ширины имеет площадь не менее площади треугольника Рёло» оно известно также как неравенство Бляшке — Лебега^[2]. Теорема названа в честь Вильгельма Бляшке и Анри Леона Лебега, которые опубликовали теорему по отдельности в начале 20-го века.

Ширина выпуклого множества ${\displaystyle K}$ на евклидовой плоскости определяется как минимальное расстояние между любыми двумя параллельными линиями, которые его охватывает. Эти две прямые, находящиеся на минимальном расстоянии, обязательно являются касательными прямыми к ${\displaystyle K}$ с противоположных сторон. Кривая постоянной ширины — это граница выпуклого множества со свойством, что для любого направления параллельных прямых две касательные, имеющие это направление и касающиеся противоположных сторон кривой, находятся на расстоянии, равном ширине. К таким кривым относятся как окружность, так и треугольник Рёло — криволинейный треугольник, образованный дугами трех окружностей равного радиуса, каждая из которых центрирована в точке пересечения двух других окружностей. Площадь, заключенная внутри треугольника Рёло шириной ${\displaystyle w}$ равна

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(\pi -{\sqrt {3}})w^{2}\approx 0{,}70477w^{2}.}$

Теорема Бляшке — Лебега утверждает, что это единственная возможная минимальная площадь кривой постоянной ширины, а неравенство Теорема Бляшке — Лебега утверждает, что любое выпуклое множество ширины ${\displaystyle w}$ имеет площадь не меньше, и равенство достигается только, если множество ограничено треугольником Рёло^[1].

Теорема Бляшке — Лебега была опубликована независимо в 1914 году Анри Леоном Лебегом^[3] и в 1915 году Вильгельмом Бляшке^[4]. Впоследсвие было опубликовано несколько других доказательств^{[5][6][7][8][9][10]}.

Та же теорема верна также на гиперболической плоскости^[11]. Для любой выпуклой функции расстояния на плоскости (расстояние определено как норма вектора между точками для любой нормы) справедлива аналогичная теорема, согласно которой кривая постоянной ширины минимальной площади представляет собой пересечение трех метрических дисков, каждый из которых центрирован в точке границы двух других^[12][13].

Теорема Бляшке — Лебега использовалась для разработки эффективной стратегии обобщённой игры «Морской бой», в которой один игрок имеет корабль, образованный пересечением целочисленной сетки с выпуклым множеством. Другой игрок, найдя одну точку на этом корабле, стремится определить его местоположение, минимизируя количество промахов. Для корабля, состоявшего из ${\displaystyle n}$ точек сетки, количество промахов можно ограничить величиной ${\displaystyle O(\log \log n)}$^[14].

Согласно изопериметрическому неравенству кривая постоянной ширины в евклидовой плоскости, имеющая наибольшую площадь, является окружностью^[1]. Периметр кривой постоянной ширины ${\displaystyle w}$ равен ${\displaystyle \pi w}$ независимо от формы, это Теорема Барбье^[15].

Неизвестно, какие поверхности постоянной ширины в трехмерном пространстве имеют минимальный объем. Боннесен и Фенхель в 1934 году высказали предположение, что минимизаторами являются два тела Мейснера, полученные скруглением некоторых ребер тетраэдра Рёло^[16], но это остается недоказанным. В 2011 году Ансо и Гилфойл^[17] доказали, что минимизатор состоит из частей сфер и труб над кривыми, что верно для тел Мейснера, тем самым поддерживая гипотезу Боннесена и Фенхеля.