Теорема Лиувилля об ограниченных целых аналитических функциях

Теорема Лиувилля об ограниченных целых аналитических функциях: если целая функция ${\displaystyle f(z)}$ комплексных переменных ${\displaystyle z=(z_{1},\dots ,z_{n})}$ ограничена, то есть

${\displaystyle |f(z)|\leqslant M<\infty ,}$

то ${\displaystyle f(z)}$ есть константа.

• Если ${\displaystyle f(z)}$ ― целая функция в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, и для некоторого ${\displaystyle r\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle |f(z)|\leqslant C(1+|z|^{r}),}$

то ${\displaystyle f(z)}$ есть многочлен по переменным ${\displaystyle (z_{1},\dots ,z_{n})}$ степени не выше ${\displaystyle r}$.

• Если ${\displaystyle u(x)}$ ― вещественная гармоническая функция во всём числовом пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$,

${\displaystyle u(x)<C(1+|x|^{r}),}$

то ${\displaystyle u(x)}$ есть гармонический многочлен по переменным.

Это предложение, одно из основных в теории аналитических функций, впервые, по-видимому, было опубликовано в 1844 году Коши для случая ${\displaystyle n=1}$. Лиувилль излагал его на лекциях в 1847 году, откуда и произошло название.

Пусть функция ${\displaystyle f(z)}$, ${\displaystyle z\in {\mathbb {C} }}$, ограничена на комплексной плоскости, то есть

${\displaystyle \exists M\,\forall z\,|f(z)|\leqslant M.}$

Воспользуемся интегральной формулой Коши для производной ${\displaystyle f(z)}$:

${\displaystyle f'(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint \limits _{C_{R}}{\frac {f(\xi )}{(\xi -z)^{2}}}\,d\xi ,}$

где ${\displaystyle C_{R}}$ — окружность радиуса ${\displaystyle R}$, содержащая точку ${\displaystyle z}$, или ${\displaystyle |\xi -z|=R}$.

Имеем

${\displaystyle |f'(z)|\leqslant {\frac {1}{2\pi }}{\frac {M}{R^{2}}}2\pi R={\frac {M}{R}}.}$

Отсюда, в силу того, что интегральная формула Коши справедлива для любого контура, имеем ${\displaystyle \lim _{R\to \infty }{\frac {M}{R}}=0}$, а значит ${\displaystyle f'(z)=0}$ и, следовательно, ${\displaystyle f(z)}$ является константой. Теорема доказана.

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1976.