Теорема Флоке

Теорема Флоке, в русскоязычной литературе также иногда Теорема Флоке-Ляпунова — теорема о решении системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Теорема Флоке описывает структуру фундаментальных матриц линейных систем с непрерывными периодическими коэффициентами и вводит некоторые числовые характеристики таких систем, аналогичные по своим свойствам корням характеристического уравнения систем с постоянными коэффициентами.^[1] Доказана Гастоном Флоке в 1881-1883 годах. Её развитием является теорема Блоха.

Любая фундаментальная матрица линейной системы уравнений

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=A(t)x(t)}$

с непрерывной ${\displaystyle T}$-периодической матрицей

${\displaystyle A(t+T)=A(t)}$

имеет вид

${\displaystyle X(t)=K(t)\exp(tB),}$

где ${\displaystyle K(t)}$ — непрерывная ${\displaystyle T}$-периодическая матрица и ${\displaystyle B}$ — постоянная матрица того же порядка, что и исходная матрица коэффициентов ${\displaystyle A(t)}$^[2]. При этом матрица ${\displaystyle B}$ не является единственной, и обе матрицы ${\displaystyle K(t)}$ и ${\displaystyle B}$ могут быть комплексными даже в случае вещественной матрицы ${\displaystyle A(t)}$.

Теорема Флоке нашла применение в области физики твёрдого тела и в теории фазированных антенных решеток.

• Инженерия Флоке

• Математическая энциклопедия
• Лерман Л.М. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Электронное учебно-методическое пособие. Нижний Новгород, 2012.
• Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970. — 719 с.
• Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. — Изд. 1-е. — Эдиториал УРСС, 2004. — 240 с. — ISBN 5354004160.