Теорема Чеботарёва о матрице Вандермонда

Теорема Чеботарёва о матрице Вандермонда (теорема о корнях из единицы) — утверждение о неравенстве нулю всех миноров матрицы Вандермонда для корней из единицы. Установлено в 1930-е годы советским математиком Н. Г. Чеботарёвым.

Согласно теореме, для любого простого числа ${\displaystyle p}$ все миноры матрицы Вандермонда ${\displaystyle \|a_{jk}\|_{0}^{p-1}}$, где ${\displaystyle a_{jk}=e^{{\frac {2\pi i}{p}}jk}}$, отличны от нуля.

Результат имеет важное значение для цифровой обработки сигналов, так как матрица Вандермонда для корней из единицы — одно из представлений дискретного преобразования Фурье.

Теорема впервые появилась в работе Чеботарёва 1926 года и представляет собой конкретизацию общей идеи о линейной независимости характеров конечных абелевых групп.

В теории Галуа теорема устанавливает фундаментальную биекцию между классами сопряжённости в группе Галуа ${\displaystyle \mathrm {Gal} (L/K)}$ расширения ${\displaystyle L/K}$ и типами разложения простых идеалов кольца целых поля ${\displaystyle K}$ в расширении ${\displaystyle L}$.

В теории чисел теорема даёт точную асимптотическую плотность ${\displaystyle \delta (C)=|C|/|G|}$ множества простых идеалов с заданным типом разложения в ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$, обобщая теорему Дирихле о простых числах в арифметических прогрессиях.

Из утверждения теоремы вытекает обратимость матрицы ДПФ, построенной на корнях из единицы, что делает возможным вычисление как прямого, так и обратного преобразования. Также утверждение теоремы влечёт за собой корректность алгоритмов БПФ, например, (метода Кули — Тьюки).

Теорема Чеботарёва через свойства матриц Вандермонда над конечными полями гарантирует обратимость матрицы кодирования по методу Рида — Соломона, что является основой алгоритмов построения этих кодов и декодирования (например, алгоритмов Берлекэмпа — Уэлча и Евклида), а также влечёт за собой наличие у них MDS-свойства.

• Прасолов В. В.. Задачи и теоремы линейной алгебры. — М.: Наука, 1996. — С. 55—56. — 304 с.
• Чеботарёв Н. Г. О корнях из единицы, принадлежащих полиному. — Журнал Русского физико-математического общества, сер. 2, т. 14 (1926), с. 201—207.
• Serre, J.-P. Linear Representations of Finite Groups, Springer-Verlag, 1977. ISBN 978-0387901906.
• Lidl, R., Niederreiter, H. Finite Fields, Cambridge University Press, 1997. ISBN 978-0521044328.
• Conway, J.H., & Sloane, N.J.A. Sphere Packings, Lattices and Groups, Springer-Verlag, 1999. ISBN 978-0387985852.