Теорема Энгеля

Теорема Энгеля даёт эквивалентность двух различных определений нильпотентности для алгебр Ли. Названа в честь Фридриха Энгеля.

Конечномерная алгебра Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ является нильпотентной тогда и только тогда, когда для любого ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$ оператор ${\displaystyle \operatorname {ad} _{X}}$ нильпотентен.

Пусть ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ — конечномерная алгебра Ли над произвольным полем k. Если ${\displaystyle {\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}}$ — подмножества ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, то ${\displaystyle [{\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}]}$ обозначает множество всех конечных сумм элементов вида ${\displaystyle [X,Y],}$ где ${\displaystyle X\in {\mathfrak {a}},\;Y\in {\mathfrak {b}}.}$

Нижний центральный ряд алгебры Ли определёется рекурсивно:

${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{0}={\mathfrak {g}},\;{\mathfrak {g}}^{i+1}=[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}^{i}]}$ .

Алгебра Ли называется нильпотентной, если ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{n}=0}$ для некоторого числа. Эквивалентно, если ввести обозначения ${\displaystyle \operatorname {ad} _{X}(Y)=[X,Y],\ }$ то алгебра Ли будет нильпотентных если для некоторого натурального числа n выполняется

ad_X1ad_X2 ⋅⋅⋅ ad_Xn = 0

для произвольных ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n},Y\in {\mathfrak {g}},}$.