Теорема ван Схотена

Теорема ван Схотена — свойство правильных треугольников, согласно которому для правильного треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$ с точкой ${\displaystyle P}$ на его описанной окружности длина самого длинного из отрезков ${\displaystyle PA}$, ${\displaystyle PB}$ и ${\displaystyle PC}$, соединяющих точку ${\displaystyle P}$ с вершинами треугольника, равна сумме длин других двух отрезков. Установлена Франсом ван Схотеном в середине XVII века.

Является следствием тождества Птолемея для вписанных четырёхугольников — для равностороннего треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$ с длинной стороны ${\displaystyle a}$ и самым длинным отрезком${\displaystyle PA}$, вершины треугольника вместе с точкой ${\displaystyle P}$ образуют вписанный четырёхугольник и вследствие тождества Птолемея имеет место:

${\displaystyle |BC|\cdot |PA|=|AC|\cdot |PB|+|AB|\cdot |PC|}$,

то есть:

${\displaystyle a\cdot |PA|=a\cdot |PB|+a\cdot |PC|}$,

а деление этого уравнения на ${\displaystyle a}$ даёт теорему ван Схотена.

• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen. Charming Proofs: A Journey Into Elegant Mathematics. — MAA, 2010. — С. 102–103. — ISBN 9780883853481.
• Doug French. Teaching and Learning Geometry. — Bloomsbury Publishing, 2004. — С. 62–64. — ISBN 9780826434173.
• Raymond Viglione. Proof Without Words: van Schooten′s Theorem // Mathematics Magazine. — 2016. — Апрель (т. 89, № 2). — С. 132.
• Jozsef Sandor. On the Geometry of Equilateral Triangles // Forum Geometricorum. — 2005. — Т. Volume, № 5. — С. 107–117.

• Теорема ван Схотена на cut-the-knot.org