Теорема о неявной функции

Теорема о неявной функции — общее название для теорем, гарантирующих локальное существование и описывающих свойства неявной функции, то есть функции

${\displaystyle y=f(x)}$, ${\displaystyle f:X\to Y}$,

заданной уравнением

${\displaystyle F(x,y)=z_{0}}$, ${\displaystyle F:X\times Y\to Z}$,

где значение ${\displaystyle z_{0}\in Z}$ фиксировано.

Простейшая теорема о неявной функции состоит в следующем.

Если функция ${\displaystyle F:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

• непрерывна в некоторой окрестности точки ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$
• ${\displaystyle F(x_{0},y_{0})=0}$ и
• при фиксированном ${\displaystyle x}$ функция ${\displaystyle F(x,y)}$ строго монотонна по ${\displaystyle y}$ в данной окрестности,

тогда найдётся такой двумерный промежуток ${\displaystyle I=I_{x}\times I_{y}}$, являющийся окрестностью точки ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$, и такая непрерывная функция ${\displaystyle f:I_{x}\to I_{y}}$, что для любой точки ${\displaystyle (x,y)\in I}$

${\displaystyle F(x,y)=0\Leftrightarrow y=f(x)}$

Обычно дополнительно предполагается, что функция ${\displaystyle F}$ является непрерывно дифференцируемой в окрестности точки ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$. В том случае строгая монотонность следует из условия ${\displaystyle F_{y}'(x_{0},y_{0})\neq 0}$, где ${\displaystyle F_{y}'}$ обозначает частную производную ${\displaystyle F}$ по ${\displaystyle y}$. Более того, в этом случае функция ${\displaystyle f}$ также является непрерывно дифференцируемой, и её производная может быть вычислена по формуле

${\displaystyle f'(x)=-{\frac {F_{x}'(x,f(x))}{F_{y}'(x,f(x))}}.}$

Пример

Рассмотрим функцию ${\displaystyle F(x,y)=x^{2}+y^{2}-1}$ и соответствующее уравнение

${\displaystyle F(x,y)=x^{2}+y^{2}-1=0}$,

которое задает на плоскости единичную окружность. Невозможно представить всю окружность в виде графика какой-либо функции ${\displaystyle y=f(x)}$. Действительно, каждому значению ${\displaystyle x\in (-1,1)}$ отвечает два разных значения ${\displaystyle \pm {\sqrt {1-x^{2}}}}$. Однако можно представить часть окружности в виде графика. Например, график функции ${\displaystyle g_{1}(x)={\sqrt {1-x^{2}}}}$, определенной на отрезке ${\displaystyle x\in [-1,1]}$, задаёт верхнюю половину окружности, а график функции ${\displaystyle g_{2}(x)=-g_{1}(x)}$ задаёт её нижнюю половину.

Теорема о неявной функции имеет локальный характер и говорит о том, что в малой окрестности любой точки окружности, в которой выполнено условие ${\displaystyle F_{y}'(x,y)\neq 0}$, часть окружности, находящаяся в этой окрестности, представима в виде графика гладкой функции. Это условие выполнено, например, в точке ${\displaystyle A}$ на рисунке. Существуют лишь две точки окружности (${\displaystyle B}$ и диаметрально противоположная ей точка), в которых условие ${\displaystyle F_{y}'(x,y)\neq 0}$ нарушено. Очевидно, что в сколь угодно малой окрестности каждой из этих точек часть окружности не представима в виде графика какой-либо функции ${\displaystyle y=f(x)}$.

Пусть ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ и ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ — пространства с координатами ${\displaystyle x=(x_{1},\dots ,x_{n})}$ и ${\displaystyle y=(y_{1},\dots ,y_{m})}$, соответственно. Рассмотрим отображение ${\displaystyle F=(F_{1},\ldots ,F_{m}),}$ ${\displaystyle F_{i}=F_{i}(x,y),}$ которое отображает некоторую окрестность ${\displaystyle W}$ точки ${\displaystyle (x_{0},y_{0})\in \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}}$ в пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$.

Предположим, что отображение ${\displaystyle F}$ удовлетворяет следующим условиямː

• ${\displaystyle F\in C^{k}(W),}$ ${\displaystyle k\geq 1,}$ то есть ${\displaystyle F}$ является ${\displaystyle k}$ раз непрерывно дифференцируемым в ${\displaystyle W,}$
• ${\displaystyle F(x_{0},y_{0})=0,}$
• якобиан отображения ${\displaystyle y\mapsto F(x_{0},y)}$ не равен нулю в точке ${\displaystyle y_{0},}$ то есть определитель матрицы ${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial y}}(x_{0},y_{0})}$ не равен нулю.

Тогда существуют окрестности ${\displaystyle U}$ и ${\displaystyle V}$ точек ${\displaystyle x_{0}}$ и ${\displaystyle y_{0}}$ в пространствах ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ и ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ соответственно, причём ${\displaystyle U\times V\subset W}$, и отображение ${\displaystyle f:U\to V,}$ ${\displaystyle f\in C^{k}(U),}$ такие, что

${\displaystyle F(x,y)=0\Leftrightarrow y=f(x)}$

для всех ${\displaystyle x\in U}$ и ${\displaystyle y\in V}$. Отображение ${\displaystyle f}$ определено однозначно.

Естественным обобщением предыдущей теоремы на случай не гладких отображений является следующая теоремаː^[1]

Предположим, что отображение ${\displaystyle F}$ удовлетворяет следующим условиямː

• ${\displaystyle F}$ является непрерывным в ${\displaystyle W,}$
• ${\displaystyle F(x_{0},y_{0})=0,}$
• существуют окрестности ${\displaystyle U}$ и ${\displaystyle V}$ точек ${\displaystyle x_{0}}$ и ${\displaystyle y_{0}}$ в пространствах ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ и ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ соответственно, причём ${\displaystyle U\times V\subset W}$, такие, что для каждого фиксированного ${\displaystyle x\in U}$ отображение ${\displaystyle y\mapsto F(x,y)}$ является взаимно однозначным в ${\displaystyle V}$.

Тогда существует такое непрерывное отображение ${\displaystyle f:U\to V}$, что

${\displaystyle F(x,y)=0\Leftrightarrow y=f(x)}$

для всех ${\displaystyle x\in U}$ и ${\displaystyle y\in V}$.

• Теорема об обратной функции

• Зорич В. А. Математический анализ, Любое издание
• Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971
• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд., М., 1981
• Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1965
• Никольский С. М. Курс математического анализа, 2 изд., т. 1—2, М., 1975
• Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения, 4 изд., М., 1974 — § 33
• Шварц Л. Анализ, пер. с франц., т. 1, М., 1972