Теорема плотности Капланского

В теории алгебр фон Неймана теорема Капланского о плотности (англ. Kaplansky density theorem), принадлежащая Ирвингу Капланскому, является фундаментальной теоремой приближения. Важность и вездесущность этого технического инструмента побудили Герта Педерсена заметить в одной из своих книг^[1]:

• Теорема о плотности — это великий подарок Капланского человечеству. Ею можно пользоваться каждый день, а по воскресеньям — дважды.

Пусть K⁻ обозначает замыкание множества K в сильной операторной топологии в B(H), множестве ограниченных операторов в гильбертовом пространстве H, и пусть (K)₁ обозначает пересечение K с единичным шаром в B(H).

Теорема Капланского о плотности.^[2] Если ${\displaystyle A}$ — самосопряжённая алгебра операторов в ${\displaystyle B(H)}$, то каждый элемент ${\displaystyle a}$ из единичного шара сильного операторного замыкания ${\displaystyle A}$ содержится в сильном операторном замыкании единичного шара ${\displaystyle A}$. Иными словами, ${\displaystyle (A)_{1}^{-}=(A^{-})_{1}}$. Если ${\displaystyle h}$ — самосопряжённый оператор в ${\displaystyle (A^{-})_{1}}$, то ${\displaystyle h}$ содержится в сильном операторном замыкании множества самосопряжённых операторов в ${\displaystyle (A)_{1}}$.

Теорема Капланского о плотности может быть использована для формулировки некоторых приближений относительно сильной операторной топологии.

1. Если h — положительный оператор в (A⁻)₁, то h содержится в сильном операторном замыкании множества самосопряжённых операторов в (A⁺)₁, где A⁺ обозначает множество положительных операторов в A.

2. Если A — C*-алгебра, действующая в гильбертовом пространстве H, и u — унитарный оператор в A⁻, то u содержится в сильном операторном замыкании множества унитарных операторов в A.

В теореме о плотности и в утверждении 1. выше результаты также остаются в силе, если рассматривать шар радиуса r > 0 вместо единичного шара.

Стандартное доказательство использует тот факт, что ограниченная непрерывная вещественнозначная функция f является сильной операторной непрерывной. Другими словами, для сети {a_α} самосопряжённых операторов в A непрерывное функциональное исчисление a → f(a) удовлетворяет соотношению

${\displaystyle \lim f(a_{\alpha })=f(\lim a_{\alpha })}$

в сильной операторной топологии. Это показывает, что самосопряжённая часть единичного шара в A⁻ может быть сильно приближена самосопряжёнными элементами в A. Матричные вычисления в M₂(A) с рассмотрением самосопряжённого оператора с элементами 0 на диагонали и a и a^* на других позициях затем снимают ограничение самосопряжённости и доказывают теорему.

• Теорема Джекобсона о плотности

• Теорема фон Неймана о двойном коммутанте

• Кадисон, Ричард, Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, Vol. I : Elementary Theory, American Mathematical Society. ISBN 978-0821808191.

• В.Ф.Р.Джонс Алгебры фон Неймана; неполные конспекты курса.

• М. Такесаки Theory of Operator Algebras I ISBN 3-540-42248-X