Теоремы Фрагмена — Линделёфа о росте регулярных функций

Теоремы Фрагмена — Линделёфа о росте регулярных функций — утверждения о том, что функция комплексного переменного ${\displaystyle F(z)}$, регулярная в некоторой бесконечной области ${\displaystyle D}$ и непрерывная в ${\displaystyle {\overline {D}}}$, а также ограниченная на границе ${\displaystyle \partial D}$ области ${\displaystyle D}$, или ограничена всюду в ${\displaystyle {\overline {D}}}$ или внутри ${\displaystyle D}$ достаточно быстро растёт — тем "быстрее", чем меньше область ${\displaystyle D}$.

Пусть функция ${\displaystyle F(z)}$ регулярна в полуплоскости ${\displaystyle Rez>0}$ и непрерывна в полуплоскости ${\displaystyle Rez\geqslant 0}$, причём ${\displaystyle \mid F(iy)\mid <C_{0}}$, ${\displaystyle -\infty <y<\infty }$. Тогда или ${\displaystyle \mid F(z)\mid <C_{0}}$ при всех ${\displaystyle z}$, ${\displaystyle Rez\geqslant 0}$ или функция ${\displaystyle F(z)}$ имеет в полуплоскости ${\displaystyle Rez\geqslant 0}$ порядок ${\displaystyle \rho }$, не меньший единицы.

Число ${\displaystyle \rho }$ называется порядком целой функции ${\displaystyle F(z)}$, если ${\displaystyle \rho =\varlimsup _{t\to \infty }{\frac {\ln \ln M_{F}(r)}{\ln r}}}$. Иначе говоря, целая функция имеет порядок ${\displaystyle \rho }$, если для любого ${\displaystyle \epsilon >0}$ существует константа ${\displaystyle C_{\epsilon }}$ и последовательность возрастающих к ${\displaystyle \infty }$ положительных чисел ${\displaystyle r_{k}}$, такие, что

${\displaystyle \max _{0\leqslant \varphi \leqslant 2\pi }\mid F(re^{i\varphi })\mid \leqslant C_{\epsilon }exp(r^{\rho +\epsilon })}$,

${\displaystyle r>0}$,

${\displaystyle \max _{0\leqslant \varphi \leqslant 2\pi }\mid F(r_{k}e^{i\varphi })\mid \geqslant C_{\epsilon }exp(r_{k}^{\rho +\epsilon })}$,

${\displaystyle k=1,2,}$.

Доказательство есть в книге ^[1].

• Ибрагимов И. И. Методы интерполяции функций и некоторые их применения. — М.: Наука, 1971. — 518 с.