Теория Ивасавы

В теории чисел теория Ивасавы — это изучение объектов арифметического интереса над бесконечными башнями числовых полей. Она возникла как теория модулей Галуа для групп классов идеалов, предложенной Кэнкити Ивасавой (1959, яп. 岩澤 健吉) в рамках теории циклотомических полей. В начале 1970-х годов Барри Мазур рассматривал обобщения теории Ивасавы на абелевы многообразия. В начале 1990-х годов Ральф Гринберг предложил развитие теории Ивасавы для мотивов.

Ивасава работал с так называемыми ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ -расширениями: бесконечными расширениями числового поля ${\displaystyle F}$, группой Галуа ${\displaystyle \Gamma }$ которых изоморфна аддитивной группе p-адических целых чисел для некоторого простого числа p (${\displaystyle \Gamma }$ -расширения в ранних работах^[1]). Каждая замкнутая подгруппа ${\displaystyle \Gamma }$ имеет вид ${\displaystyle \Gamma ^{p^{n}},}$ поэтому, по теории Галуа, ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ -расширение ${\displaystyle F_{\infty }/F}$ то же самое, что и башня полей

${\displaystyle F=F_{0}\subset F_{1}\subset F_{2}\subset \cdots \subset F_{\infty }}$

такой, что ${\displaystyle \operatorname {Gal} (F_{n}/F)\cong \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} .}$ Ивасава изучал классические модули Галуа ${\displaystyle F_{n}}$ задавая вопросы о структуре модулей ${\displaystyle F_{\infty }.}$

В более общем плане теория Ивасавы задаёт вопросы о структуре модулей Галуа над расширениями с группой Галуа как p-адической группой Ли.

Пусть ${\displaystyle p}$ будет простым числом и пусть ${\displaystyle K=\mathbb {Q} (\mu _{p})}$ — поле, порождённое над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ от ${\displaystyle p}$-ми корнями единицы. Ивасава рассматривал следующую башню числовых полей:

${\displaystyle K=K_{0}\subset K_{1}\subset \cdots \subset K_{\infty },}$

где ${\displaystyle K_{n}}$ это поле, созданное примыканием к ${\displaystyle K}$ корней единицы степени p ^{n +1}, а

${\displaystyle K_{\infty }=\bigcup K_{n}.}$

Так как ${\displaystyle \operatorname {Gal} (K_{n}/K)\simeq \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$, то по бесконечной теории Галуа ${\displaystyle \operatorname {Gal} (K_{\infty }/K)\simeq \varprojlim _{n}\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} =\mathbb {Z} _{p}.}$ Чтобы получить нетривиальный модуль Галуа, Ивасава рассматривал группу идеальных классов поля ${\displaystyle K_{n}}$ и обозначал через ${\displaystyle I_{n}}$ её p-торсионную часть. Для ${\displaystyle m>n}$ существуют нормы ${\displaystyle I_{m}\to I_{n}}$, и тем самым образуется проектирующая система. Если положить

${\displaystyle I=\varprojlim I_{n},}$

то из определения проектирующего предела нетрудно видеть, что ${\displaystyle I}$ является модулем над ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}.}$ Фактически, ${\displaystyle I}$ является модулем над алгеброй Ивасавы ${\displaystyle \Lambda =\mathbb {Z} _{p}[[\Gamma ]]}$, которая представляет собой двумерное регулярное локальное кольцо, что позволяет описывать модули над \Lambda, и из такого описания можно восстановить информацию о p-части группы классов поля ${\displaystyle K.}$

Мотивация здесь заключается в том, что p-торсион в группе идеальных классов поля ${\displaystyle K}$ уже был выделен Куммером как главное препятствие к прямому доказательству Великой теоремы Ферма.

Начиная с 1950-х годов, на основе этих идей была построена обширная теория. Было замечено фундаментальное соответствие между модульной теорией и p-адическими L-функциями, определёнными в 1960-х годах Куботой и Леопольдтом. Последние исходили из чисел Бернулли и использовали интерполяцию для определения p-адических аналогов L-функций Дирихле. Постепенно стало ясно, что эта теория открывает путь к продвижению вперёд по сравнению со результатами Куммера столетней давности о регулярных простых числах.

Ивасава сформулировал главную гипотезу теории Ивасавы, утверждающую, что два способа определения p-адических L-функций — с помощью модульной теории и через интерполяцию — должны совпадать (в пределах корректности определений). Это было доказано Mazur & Wiles (1984) для ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ и для всех вполне вещественных числовых полей Wiles (1990). Доказательства были построены по образцу работы Кена Райбета, доказавшего обратную теорему к теореме Эрбранда (так называемая теорема Эрбранда — Райбета).

Карл Рубин нашёл более элементарное доказательство теоремы Мазура — Уайлса, используя системы Эйлера Колывагина (см. Lang (1990) и Washington (1997)), и впоследствии получил другие обобщения главной гипотезы для мнимо-квадратичных полей.

В теории Ивасавы можно варьировать как группу Галуа бесконечной башни, так и исходное поле, и тип рассматриваемого арифметического модуля. В каждом таком случае формулируется главная гипотеза, устанавливающая связь между данной башней и соответствующей p-адической L-функцией.

В 2002 году Кристофер Скиннер и Эрик Урбан заявили о доказательстве главной гипотезы для группы GL(2). В 2010 году они опубликовали препринт своей работы (Skinner & Urban 2010).

Источники

• Coates, J.; Sujatha, R. (2006), Cyclotomic Fields and Zeta Values, Springer Monographs in Mathematics, Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-33068-4, Zbl 1100.11002
• Greenberg, Ralph (2001), Iwasawa theory---past and present, in Miyake, Katsuya (ed.), Class field theory---its centenary and prospect (Tokyo, 1998), Adv. Stud. Pure Math., vol. 30, Tokyo: Math. Soc. Japan, pp. 335—385, ISBN 978-4-931469-11-2, MR 1846466, Zbl 0998.11054
• Iwasawa, Kenkichi (1959), On Γ-extensions of algebraic number fields, Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 65, no. 4, pp. 183—226, doi:10.1090/S0002-9904-1959-10317-7, ISSN 0002-9904, MR 0124316, Zbl 0089.02402
• Kato, Kazuya (2007), Iwasawa theory and generalizations (PDF), in Sanz-Solé, Marta; Soria, Javier; Varona, Juan Luis; et al. (eds.), International Congress of Mathematicians. Vol. I, vol. 1, Eur. Math. Soc., Zürich, pp. 335—357, doi:10.4171/022-1/14, ISBN 978-3-03719-022-7, MR 2334196, Архивировано из оригинала (PDF) 22 сентября 2017, Дата обращения: 8 мая 2011
• Lang, Serge (1990), Cyclotomic fields I and II, Graduate Texts in Mathematics, vol. 121, With an appendix by Karl Rubin (Combined 2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96671-7, Zbl 0704.11038
• Mazur, Barry; Wiles, Andrew (1984), Class fields of abelian extensions of Q, Inventiones Mathematicae, vol. 76, no. 2, pp. 179—330, Bibcode:1984InMat..76..179M, doi:10.1007/BF01388599, ISSN 0020-9910, MR 0742853, S2CID 122576427, Zbl 0545.12005
• Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2008), Cohomology of Number Fields, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 323 (Second ed.), Berlin: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-540-37889-1, ISBN 978-3-540-37888-4, MR 2392026, Zbl 1136.11001
• Rubin, Karl (1991), The 'main conjectures' of Iwasawa theory for imaginary quadratic fields, Inventiones Mathematicae, vol. 103, no. 1, pp. 25—68, Bibcode:1991InMat.103...25R, doi:10.1007/BF01239508, ISSN 0020-9910, S2CID 120179735, Zbl 0737.11030
• Skinner, Chris; Urban, Éric (2010), The Iwasawa main conjectures for GL₂ (PDF), p. 219
• Washington, Lawrence C. (1997), Introduction to cyclotomic fields, Graduate Texts in Mathematics, vol. 83 (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94762-4
• Wiles, Andrew (1990), The Iwasawa Conjecture for Totally Real Fields, Annals of Mathematics, vol. 131, no. 3, pp. 493—540, doi:10.2307/1971468, JSTOR 1971468, Zbl 0719.11071.

Примечания

• de Shalit, Ehud (1987), Iwasawa theory of elliptic curves with complex multiplication. p-adic L functions, Perspectives in Mathematics, vol. 3, Boston etc.: Academic Press, ISBN 978-0-12-210255-4, Zbl 0674.12004
• Masato Kurihara, Kenichi Bannai, Tadashi Ochiai, Takeshi Tsuji (EDs.): Development of Iwasawa Theory: The Centennial of K. Iwasawa’s Birth, Mathematical Soc of Japan, (Advanced Studies in Pure Mathematics, V.86), ISBN 978-4-86497092-1 (2020).
• Tadashi Ochiai: Iwasawa Theory and Its Perspective, Vol.1, Amer. Math. Soc., (Mathematical Surveys and Monographs V.272), ISBN 978-1-4704-5672-6 (2023).
• Tadashi Ochiai: Iwasawa Theory and Its Perspective, Vol.2, Amer. Math. Soc., (Mathematical Surveys and Monographs V.280), ISBN 978-1-4704-5673-3 (2024).
• Tadashi Ochiai: Iwasawa Theory and Its Perspective, Vol.3, Amer. Math. Soc., (Mathematical Surveys and Monographs V.291), ISBN 978-1-4704-7732-5 (2025).