Теория определяющих соотношений

Теория определяющих соотношений — научный курс, предметом которого является анализ общих свойств и структуры определяющих соотношений (уравнений состояния), а также подходов к построению физических уравнений. Теория определяющих соотношений нашла своё широкое применение в механике сплошных сред, и является её специальным разделом^[1].

Определяющие соотношения описывают поведение отдельных материальных объектов и их совокупностей при различных внешних факторах, в то время как физические законы справедливы для всех объектов, но при этом связывают характеристики только одного типа. К материальным объектам, изучаемым теорией определяющих соотношений, относятся газы, жидкости, твёрдые тела, а также пластичные тела^[1].

Теория определяющих соотношений рассматривает аксиоматику механики континуума.

• независимость от выбора системы отсчёта;
• материальный изоморфизм;
• равноправность;
• изотропия;
• связи (упрощающие предположения о внутренних массовых взаимодействиях);
• затухающая память (память о предыстории движения и воздействия, принцип детерминизма и причинности).

Основы предмета были заложены такими учёными, как: А. А. Ильюшин, У. Нолл, К. Трусделл.

Нижеприведённая аксиоматика Нолла и Ильюшина не является единственной^[2].

Напряжённое состояние для частицы определяется предысториями: движением всего тела, температурой, а также изменениями других, не термомеханических, воздействий^[2].

То есть, напряжение в конкретной точке в заданный момент времени определяется предысторией всего тела, а не только одной частицы. Тем не менее, не исключены случаи отсутствия памяти и мгновенно затухающей памяти. Следует отметить, что в реальных телах процессы в целом необратимы, поэтому восстановление предыстории по текущему состоянию тела невозможно^[3].

При рассмотрении напряжения в некоторой точке можно не учитывать движения частиц, находящихся на любом конечном расстоянии от этой точки^[4].

То есть, напряжённое состояние полностью определяется воздействиями в её малой окрестности. Эта аксиома имеет большое значение, поскольку позволяет рассматривать отдельно проблему установления определяющих соотношений для материала и проблему исследования поведения реальных тел при физических воздействиях^[4].

Определяющие соотношения не зависят от систем отсчёта, даже если те движутся, но могут быть совмещены при помощи трансляции и жёсткого поворота^[5].

Не следует путать инвариантность уравнений от системы координат и независимость от системы отсчёта. Инвариантность от системы координат выполняется, если записать уравнения в тензорной форме, а независимость от движущейся системы координат может быть нарушена и в тензорной форме, если, например в уравнениях присутствуют производные по времени^[6].

Эту аксиому также называют принципом объективности или принципом независимости от системы отсчёта^[5].

К основным подходам относятся^[7]:

• Феноменологический макроскопический (макрофеноменологический);
• Структурно-механический (имитационный);
• Термодинамический;
• Физический.

Подход используется для получения определяющих соотношений в терминах макропеременных континуальных тел (например, напряжений и температур)^[7].

При этом подходе определяющие соотношения устанавливаются в несколько последовательных этапов^[8]:

1. Формируются гипотезы общего характера в виде аксиом или принципов. Это делается на основе имеющихся экспериментальных данных и физического анализа;
2. Гипотезы проверяются на непротиворечивость;
3. Вводятся необходимые понятия, определения и параметры состояния;
4. Устанавливается общий вид определяющих соотношений;
5. Происходит переход от общих теорий к частным;
6. Составляется программа макроэксперимента, служащего для определения параметров материала;
7. Устанавливается явный вид определяющих соотношений;
8. Происходит их экспериментальная проверка;
9. Определяется область применимости, т.е. диапазоны нагрузок, температур и т.д.

Это исторически первый подход, но он до сих пор является одним из самых продуктивных^[7].

Этот подход позволяет строить сложные определяющие соотношения при помощи набора элементарных моделей^[9].

При данном подходе^[10]:

1. Строится модель одноосного нагружения материала. Модель состоит, как правило, из простейших механических моделей (пружин, элементов сухого трения);
2. Строится структурная схема, соединяющая элементарные модели различными способами;
3. Строятся одноосные определяющие соотношения;
4. Намечается программа экспериментов, позволяющая идентифицировать модель;
5. При помощи дополнительных гипотез происходит переход к многомерной модели;
6. Модель проверяется при помощи экспериментов на сложное нагружение.

При этом подходе для установления определяющих соотношений используются законы термодинамики^[11]. Определяющие соотношения, полученные таким методом называют математическими, а не физическими теориями^[12].

Схема данного подхода^[13]:

1. Тело рассматривают в виде термодинамической системы. Производят физический анализ и определяют термодинамические переменные, которые описывают состояние и эволюцию системы;
2. Из них выделяются независимые термодинамические переменные, а также определяются тензорные характеристики среды;
3. Вводятся дополнительные параметры, называемые внутренними переменными (как правило, они связаны с микроструктурой материала);
4. Формируются эволюционные (кинетические) уравнения, связывающие параметры состояние и внутренние переменные;
5. Выбирается термодинамический потенциал;
6. При помощи этого потенциала, кинетических и термодинамических уравнений устанавливается вид определяющих соотношений;
7. Проводятся экспериментальные исследования и верификация модели.

При этом подходе внимание уделяется взаимодействию микрочастиц (атомов, молекул), анализу микроструктуры материала и рассмотрению микродефектов кристаллической решётки (к ним относятся вакансии, межузельные атомы, дисклинации и дислокации). При этом обычно используются континуальные представления (к примеру, тензор плотности дислокаций)^[12].

При этом подходе^[14]:

1. Сначала производится физический анализ процесса и определение его микромеханизмов;
2. Вводятся микрообъекты и соответствующие им параметры;
3. Для этих параметров устанавливаются законы взаимодействия;
4. Записываются эволюционные уравнения для микрообъектов или для их континуального аналога;
5. Производится процедура осреднения по объёму, который называется представительным;
6. Проводятся экспериментальные исследования.

Успехи применения этого подхода наблюдаются при создании физических теорий монокристаллов и поликристаллов^[15].

П.В. Трусов, И.Э. Келлер. Теория определяющих соотношений. Курс лекций. Часть 1. — Пермский государственный технический университет, 1997.

Г.Л. Бровко. Развитие общих принципов теории определяющих соотношений сплошных сред. — Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2013. Вып. 2. Ч.2., 2013. — С. 43–58.

• Тело (МСС)
• Механика сплошных сред
• Математическая физика
• Математическая модель