Теория чисел в средневековом исламском мире

Теория чисел была неотъемлемой частью развития математики в исламском мире с IX до начала XVII века. Учёные этого периода не только унаследовали и развили достижения античной математики, но и внесли собственный оригинальный вклад, предвосхитив многие открытия поздней европейской науки. Теоретические исследования чисел сопровождались философскими размышлениями о природе числовых сущностей и их месте в устройстве мира. Развитие теории чисел было обусловлено не только практическими потребностями, но и философскими, а также духовными мотивами.

Практические и теоретические достижения исламских математиков охватывали широкий спектр направлений: от диофантовых уравнений и сравнений по модулю до метода математической индукции, изучения дружественных, совершенных и фигурных чисел, а также построения магических квадратов. Исследования аль-Хазина, Ибн аль-Хайсама, аль-Караджи, аль-Фариси и других учёных включали как доказательства конкретных теорем, так и формулировку общих принципов — например, основной теоремы арифметики и теоремы Вильсона. Эти работы показывают постепенный переход от античных геометрических подходов к более абстрактным алгебраическим, что значительно опередило аналогичные достижения европейской науки, появившиеся лишь столетия спустя.

Одной из групп классических исламских философов, объединявшей философские и математические взгляды, были Братья чистоты (IX—X века). Они толковали природу чисел и связывали её с фундаментальными философскими понятиями. Монотеизм описывался и представлялся ими через характеристики числа один, которое символизировало Бога как источник всего сущего. Идея космологического сотворения и структура мироздания, в свою очередь, выражались возрастающей последовательностью натуральных чисел^[2][3]. Как и пифагорейцы, Братья чистоты рассматривали всю реальность в нумерологическом ключе, где каждый аспект природы — и даже религии — следует определённому числовому шаблону. Они воспринимали реальность как упорядоченную и численно выраженную систему, подчёркивая абсолютную зависимость всего сущего от Бога — как все числа зависят от единицы^[3]. Числа, по их замыслу, предназначались для структурирования мышления, а арифметика трактовалась как аналитическая наука, задачей которой являлось постижение устройства разума через внутреннюю интуицию и числовые операции^[4].

В противовес пифагорейско-платоническому учению о независимой и нематериальной природе чисел, Аль-Фараби (870—950) и Ибн Сина (980—1037) развили аристотелевскую трактовку. Аль-Фараби в своём трактате «О целях Аристотеля в „Метафизике“» (араб. فی أغراض أرسطوطالیس فی کتاب ما بعد الطبیعة‎) утверждал, что математические объекты формируются в уме как абстракции, выделенные из физических предметов, и не имеют независимого существования вне материального мира. Математика, по его мнению, занимает промежуточное место между метафизикой и физикой^[5]. Ибн Сина уточнил и развил эту позицию. Он настаивал, что числовые и геометрические объекты всегда связаны с материей. Так, число два существует лишь постольку, поскольку есть два предмета, а треугольник — как свойство конкретного треугольного объекта. Ибн Сина считал, что математические понятия возникают из чувственного опыта. В мысленном эксперименте он показывал, что человеку, лишённому чувственного восприятия, невозможно сформировать представление о числе. Опровержение Ибн Синой пифагорейско-платонического учения в отношении математических объектов было настолько убедительным и влиятельным в исламском мире, что после него эти подходы почти полностью исчезли из исламской философии^[5].

В X веке в исламском мире начинает развиваться диофантов анализ — исследование целочисленных решений неопределённых уравнений. В исламской математике это направление зародилось ещё до знакомства с трактатом «Арифметика» Диофанта, переведённом на арабский язык Куста ибн Лукой (820—912). Новое направление отличалось от традиционного подхода, характерного для античной и раннеисламской математики, где искались рациональные решения уравнений^[6]. Важным отличием исламской математической традиции стало соединение алгебраических методов, унаследованных и развитых после трудов аль-Хорезми (780—850), с задачами арифметики и теории чисел. Это привело к тому, что задачи, изначально сформулированные в геометрическом или числовом контексте, начали решаться с помощью уравнений и методов, свойственных алгебре^[7].

Первые шаги в развитии нового направления связаны с «Книгой о редкостях искусства арифметики» (араб. كتاب الطرائف في الحساب‎) Абу Камиля (850—930), в трудах которого прослеживается влияние индийской математики, что выражается в использовании аналогичных видов птиц при формулировке шести задач в его книге^[8][9] — позднее, под влиянием Абу Камиля, к птицам обратится и Фибоначчи (1170—1250). В Индии о неопределённых уравнениях с целочисленными решениями упоминал ещё Арьябхата (476—550)^[8], а в исламском мире первым исследователем диофантовых уравнений стал Абу Камил^[10]. В отличие от Диофанта, который интересовался только рациональными решениями неопределённых уравнений, Абу Камил сосредоточился на целочисленных решениях, что соответствует подходу современной теории диофантовых уравнений^[11]. Одним из примеров его работы является решение следующей системы уравнений в целых положительных числах, для которой он нашёл все 2676 решений:^[12]

${\displaystyle {\begin{cases}x+y+z+u+v=100\\2x+y/2+z/3+u/4+v=100\end{cases}}}$

Другим представителем этого направления стал Абу Джафар аль-Хазин (900—971), который решал задачи, связанные с пифагоровыми тройками. В частности, он доказал невозможность двух нечётных катетов в пифагоровой тройке и невозможность получения квадрата из суммы двух квадратов с «дважды чётными» ${\displaystyle (x=4k)}$ сторонами. Также он исследовал квадратичные диофантовы уравнения вида ${\displaystyle x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}=X^{2}}$. Для случаев ${\displaystyle n=2}$ и ${\displaystyle n=3}$ он привёл явные формулы решений. Несмотря на то что он остановился на ${\displaystyle n=3}$, им была выдвинута обобщённая гипотеза, причём предложенный параметрический подход можно адаптировать для любого ${\displaystyle n}$^[13].

В трактате аль-Хазина можно найти множество утверждений о представлении чисел в виде суммы квадратов и их доказательства. Например:^[14]

• Если число разлагается на сумму двух квадратов, то его квадрат тоже разлагается на сумму двух квадратов.
• Если каждое из двух чисел разлагается на сумму квадратов, то существует два различных разложения их произведения на сумму квадратов. В частности, аль-Хазин привёл один из первых известных случаев разложения квадратичной формы:
  ${\displaystyle (p^{2}+q^{2})(r^{2}+s^{2})=(pr+qs)^{2}+(ps-qr)^{2}=(pr-qs)^{2}+(ps+qr)^{2}}$

Одним из его ключевых результатов было решение задачи: при данном натуральном ${\displaystyle a}$ найти натуральные числа ${\displaystyle x,y,z}$, удовлетворяющие условиям: ${\displaystyle x^{2}+a=y^{2}}$ и ${\displaystyle x^{2}-a=z^{2}}$. Он доказал, что это возможно тогда и только тогда, когда ${\displaystyle a=2uv}$ и ${\displaystyle u^{2}+v^{2}=x^{2}}$ для некоторых натуральных чисел ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$^[15][16]. Позднее та же задача побудила Баше и Ферма рассмотреть представление целых чисел, в частности простых чисел, в виде суммы квадратов^[17].

Абу Махмуд аль-Худжанди (940—1000) ещё в X веке сформулировал Великую теорему Ферма для частного случая ${\displaystyle n=3}$. Его доказательство не сохранилось, но аль-Хазин утверждал, что оно было неправильным. Это неудивительно — теорема для ${\displaystyle n=3}$ была доказана Эйлером лишь восемь столетий спустя^[18][19]. Данная задача получила широкую известность. Об отсутствии её доказательства писал Ибн Сина (980—1037) в своей «Книге исцеления» (араб. كتاب الشفاء‎)^[20]. Её перевод был хорошо известен европейским учёным, включая современника Ферма — Декарта^[21]. Позднее персидский математик Камал ад-Дин аль-Фариси (1260—1320) отмечал невозможность дать целочисленное решение уравнения и для ${\displaystyle n=4}$^[22].

К 1460 году еврейский математик Мордехай Финци в Италии перевёл труды Абу Камиля по диофантовым уравнениям на иврит. Установлено, что источником для его перевода послужил не арабский оригинал, а более ранний перевод на испанский^[8]. В 1621 году Баше издал латинский перевод «Арифметики» Диофанта, при этом в европейской математике утвердилось понимание этих уравнений, восходящее к исламской, а не к античной традиции самого Диофанта^[23].

В X—XI веках исламские математики разработали и развили методы, лежащие в основе фундаментальных результатов теории сравнений по модулю^[24].

Одним из самых ранних зафиксированных примеров полиномиального сравнения по модулю стал фрагмент из труда аль-Хазина (900—971), в котором он рассматривал квадратичное сравнение ${\displaystyle x^{2}+1\equiv 0{\pmod {5}}}$ и нашёл его решения^[25].

Особенно важную роль в развитии модульной арифметики сыграл Ибн аль-Хайсам (965—1040). В своих работах он решает задачу, сводящуюся к системе линейных сравнений, в частности:^[26]

${\displaystyle {\begin{cases}x\equiv 1{\pmod {m_{i}}}\\x\equiv 0{\pmod {p}}\end{cases}}}$

где ${\displaystyle p}$ — простое число, а ${\displaystyle m_{i}<p}$.

Ибн аль-Хайсам предлагает два метода решения — «канонический» и обобщённый. Первый метод напрямую использует теорему, которая сегодня известна как теорема Вильсона:^[27][26]

Если ${\displaystyle p}$ — простое число, то ${\displaystyle (p-1)!\equiv -1{\pmod {p}}}$

Он формулирует это как необходимое свойство простых чисел, которое относится только к ним. Это было сделано более чем за семь столетий лет до формулировки теоремы Эдуардом Варингом и Джоном Вильсоном. Ибн аль-Хайсам стал первым математиком, сформулировавшим её^[26][28]. Историк математики Рошди Рашед предполагает, что его утерянные работы могли содержать доказательство этой теоремы^[29]. Во втором, более общем методе, Ибн аль-Хайсам явно оперирует с идеями, близкими к теореме Безу, предполагая существование целых решений уравнений вида ${\displaystyle (k+1)p-hr=1}$ при взаимной простоте ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle r}$. Это позволяет ему находить все решения исходной системы сравнений, а не только одно^[30].

Задача о линейных сравнениях и её решение — одно из многочисленных заимствований, сделанных Фибоначчи (1170—1250) из исламской математики. Его изложение является сокращённым пересказом труда Ибн аль-Хайсама, но отличается меньшей строгостью и содержит неоднозначности. Как и у последующих авторов, метод, связанный с теоремой Вильсона, у Фибоначчи исчезает, уступая место более общему второму подходу^[31].

Метод математической индукции считается одним из ключевых инструментов для доказательства в теории чисел^[32]. Первым математиком, который использовал его в своих доказательствах, был Абу Бакр аль-Караджи (953—1029). Хотя он и не предоставил строгого изложения метода, именно он сделал ключевой шаг к пониманию и применению индуктивных доказательств^[33]. В его рассуждении уже присутствуют основные элементы метода математической индукции: проверка базы и переход от истинности одного случая к следующему^[34]. В своей «Славной книге по алгебре» (араб. الفخري في الجبر والمقابلة‎)^[35] он использовал метод для первого в истории доказательства суммы кубов^[34] и биномиальных тождеств^[36]. Его преемник аль-Самуал (1130—1180), во взрослом возрасте перешедший из иудаизма в ислам, в своём труде «Сияние алгебры» (араб. الباهر في الجبر‎) расширил использование метода для доказательства других задач, включая сумму квадратов^[37][38]. Камал ад-Дин аль-Фариси (1260—1320) использовал раннюю форму математической индукции для доказательства формулы, которая соединяет некоторые фигурные числа и биномиальные коэффициенты^[22].

В Европе математическая индукция в неявном виде впервые появляется в работах еврейского математика Леви бен Гершома (1288—1344), однако его техника была менее развитой, чем у некоторых более ранних исламских авторов. В отличие от аль-Караджи и аль-Самуала, его работы относятся уже к позднесредневековому периоду, когда математическая традиция исламского мира была воспринята и переработана в еврейской и латинской науке^[39]. Один из его предшественников, Авраам ибн Дауд (1110—1180), был знаком, по крайней мере, с религиозными сочинениями аль-Самуала; по-видимому, их знал и Маймонид (1135—1204)^[40], оказавший значительное влияние на Леви бен Гершома^[41]. В дальнейшем прогресс был достигнут Блезом Паскалем, который впервые дал абстрактную формулировку^[42]. А в строгом виде метод был обоснован только в 1889 году Джузеппе Пеано^[43].

Дружественные числа представляют собой пары чисел, в которых каждое равно сумме собственных делителей другого. Они редки, и неизвестно, бесконечное ли их количество^[44]. Древним грекам был известен лишь один пример: ${\displaystyle (220,284)}$. В исламском мире прорыв совершил Сабит ибн Курра (836—901), который получил образование в Багдаде и работал в Доме Мудрости. В трактате «Об определении дружественных чисел» он вывел уравнение для генерации пар таких чисел, основанное на свойствах простых чисел специального вида: ${\displaystyle p=3\cdot 2^{n-1}-1,\quad q=3\cdot 2^{n}-1,\quad r=9\cdot 2^{2n-1}-1,}$ где при ${\displaystyle n>1}$ и простых ${\displaystyle p,q,r}$ пара ${\displaystyle (2^{n}\cdot p\cdot q,\ 2^{n}\cdot r)}$ является дружественной^[45]. Для ${\displaystyle n=2}$ это даёт классическую пару ${\displaystyle (220,284)}$, где ${\displaystyle 220=2^{2}\cdot 5\cdot 11}$ и ${\displaystyle 284=2^{2}\cdot 71}$. Этот метод, основанный на глубоком анализе свойств делителей, позволил систематически находить новые пары. Он оставался единственным известным способом построения дружественных чисел вплоть до появления в XVIII веке работ Леонарда Эйлера, расширившего формулу Сабита^[46][47]. Числа вида ${\displaystyle 3\cdot 2^{n}-1}$ в настоящее время известны как числа Сабита^[48].

Интерес к дружественным числам не угас и после Сабита — к изучению этой темы и распространению его метода присоединились такие выдающиеся математики и философы, как аль-Караджи, Ибн Сина и аль-Занджани^[49]. В начале XIV века в Багдаде Камал ад-Дин аль-Фариси (1260—1320), применяя подход Сабита, открыл пару ${\displaystyle (17\ 296,18\ 416)}$, где ${\displaystyle 17\ 296=2^{4}\cdot 23\cdot 47}$ и ${\displaystyle 18\ 416=2^{4}\cdot 1151}$. Он также вывел новое доказательство достоверности этого подхода, основанное на инновационных идеях, связанных с факторизацией и комбинаторными методами^[22]. Одновременно с этим, на другом конце исламского мира — в Марракеше — пара была открыта Ибн аль-Банной (1256—1321)^[46][47].

Исследования числовых последовательностей в средневековой исламской математике демонстрируют постепенную эволюцию от геометрических методов Сабита ибн Курры к более абстрактным, алгебраическим подходам аль-Фариси. Уже в XIII веке математические трактаты начинают оперировать понятиями, выходящими за рамки классической евклидовой традиции. Включение алгебраических методов в теорию чисел не только стало важным этапом переосмысления античного наследия, но и значительно опередило аналогичные достижения европейской науки, появившиеся лишь столетия спустя^[50].

В начале XVII века, через три столетия после аль-Фариси и Ибн аль-Банны, персидский математик Мухаммад Бакир Язди обнаружил пару ${\displaystyle (9\ 363\ 584,9\ 437\ 056)}$, где ${\displaystyle 9\ 363\ 584=2^{7}\cdot 191\cdot 383}$ и ${\displaystyle 9\ 437\ 056=2^{7}\cdot 73\ 727}$^[46][47].

Через труды исламских математиков знания о дружественных числах к 1550 году дошли и до Западной Европы^[47]. Хотя в Европе уже были известны работы Сабита по астрономии и статике, нет доказательств того, что его теорема для нахождения дружественных чисел дошла до Европы к XVII веку. Поэтому принято считать, что Пьер де Ферма и Рене Декарт самостоятельно открыли теорему Сабита. Однако, в отличие от Сабита и аль-Фариси, они изложили её без доказательства^[51]. Пара ${\displaystyle (17\ 296,18\ 416)}$ была открыта Ферма в 1636 году, пара ${\displaystyle (9\ 363\ 584,9\ 437\ 056)}$ Декартом в 1638 году. Новые пары были открыты Эйлером в 1747—1750 годах, когда при помощи обобщения метода Сабита ему удалось найти ещё 59 пар^[47][52].

Около 100 года н. э. Никомах из Герасы классифицировал натуральные числа ${\displaystyle n}$ на три категории в зависимости от их отношения к сумме собственных делителей ${\displaystyle \sigma _{0}(n)}$:^[53][54]

• число называется недостаточным, если ${\displaystyle \sigma _{0}(n)<n}$;
• совершенным, если ${\displaystyle \sigma _{0}(n)=n}$;
• избыточным, если ${\displaystyle \sigma _{0}(n)>n}$.

Эта классификация оказала заметное влияние на дальнейшее развитие числовых представлений в математической традиции средневекового исламского мира^[54].

Сабит ибн Курра (836—901) сформулировал ряд теорем, в которых исследовал свойства собственных делителей числа. Он фактически построил первую теоретическую базу, чтобы систематически различать классы совершенных, избыточных и недостаточных чисел. Ибн Курра предложил два параметрических подхода, которые позволяли как классифицировать числа по данным трём категориям, так и целенаправленно генерировать такие числа. В дальнейшем Ибн Тахир аль-Багдади (961—1037) продолжил изучать данные свойства чисел. Он опроверг утверждение Никомаха о наличии совершенных чисел в каждом десятичном разряде и обнаружил, что наименьшее нечётное избыточное число равно ${\displaystyle 945}$ — результат, который долгое время приписывали Баше^[54]. Ибн аль-Хайсам (965—1040) в своих трудах выдвинул гипотезу и попытался доказать, что все чётные совершенные числа имеют вид ${\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}-1)}$, где ${\displaystyle 2^{n}-1}$ — простое число^[27] (позднее названные числами Мерсенна) — что в строгой форме было доказано лишь более семи столетий спустя. Ибн Фуллус (1194—1252) в своём трактате перечислил первые семь совершенных чисел (лишь первые четыре из них были раннее открыты греками)^[55].

В Европе пятое совершенное число (${\displaystyle 2^{12}(2^{13}-1)=33\ 550\ 336}$) было переоткрыто Региомонтаном в 1461 году. Шестое (${\displaystyle 2^{16}(2^{17}-1)=8\ 589\ 869\ 056}$) — Шейблом в 1555 году. Седьмое (${\displaystyle 2^{18}(2^{19}-1)=137\ 438\ 691\ 328}$) — Катальди в 1603 году^[55]. Новое восьмое совершенное число было открыто Эйлером лишь в 1732 году^[53].

Равновесными (англ. equiponderant, араб. عدد معتدلة‎) называют числа, имеющие равные суммы собственных делителей^[56]. В академической литературе эти числа также называются сбалансированными (англ. balanced)^[57], эквивалентными (англ. equivalent)^[58], несовершенно дружественными (англ. imperfectly amicable), связанными (фр. nombres associés)^[59] и числами равного веса (англ. numbers of equal weights)^[60]. Эта концепция восходит к труду «Завершение арифметики» (араб. تكملة في الحساب‎) Ибн Тахира аль-Багдади (961—1037), который впервые ввёл и исследовал такие числа, предложив метод их поиска^[58]. В качестве примеров он привёл ${\displaystyle \sigma _{0}(39)=\sigma _{0}(55)=17}$ и ${\displaystyle \sigma _{0}(159)=\sigma _{0}(559)=57}$^[60]. Аль-Занджани дополнил идею аль-Багдади, добавив ещё одно число к приведённому им примеру и получив тройку ${\displaystyle (159,559,703)}$. Уже в Новое время, в своём труде «Источники арифметики» (араб. عيون الحساب‎) Мухаммад Бакир Язди обобщил метод поиска, предложенный аль-Багдади. В качестве примера он привёл ${\displaystyle \sigma _{0}(87)=\sigma _{0}(247)=32}$^[60].

В Европе исследования этих чисел начались только в 1636 году, когда математик и востоковед Даниель Швентер заметил равновесную пару ${\displaystyle (27,35)}$. В 1749 году Крафт привёл ещё несколько примеров с таким свойством, включая один из примеров аль-Багдади. В 1823 году Томас Тейлор привёл несколько новых примеров и назвал такие числа несовершенно дружественными. Аналогичный термин использовал Джордж Пикок. Андре Жерарден назвал такие числа связанными^[59].

Число, для которого нельзя найти ни одного натурального числа, суммой собственных делителей которого было бы данное число, называют неприкосновенным^[61]. Их исследование также восходит к аль-Багдади, который около 1000 года заметил, что числа 2 и 5 нельзя выразить через такую сумму:^[62]

Особый вклад в развитие представлений о разложении целых чисел на простые множители принадлежит Камал ад-Дину аль-Фариси (1260—1320). В трактате «Памятка для друзей о доказательстве дружественности» (араб. تذكرة الأحباب في بيان التحابب‎), посвящённом доказательству теоремы Сабита о дружественных числах, он подошёл к задаче с принципиально новой стороны — через систематическое изучение делителей числа и операций с ними. Для этого аль-Фариси было необходимо внести изменения в евклидову арифметику, что потребовало строгого установления существования и единственности разложения числа на простые множители. Он разработал принципиально новый подход к целой области теории чисел, внедрив идеи, касающиеся факторизации и комбинаторных методов^[22][63].

В своей работе аль-Фариси сформулировал положения, которые фактически представляют собой первую известную в истории формулировку и попытку доказательства основной теоремы арифметики. Он показал возможность разложения любого составного числа на конечное число простых множителей, доказав это с помощью индукции: начиная с нахождения одного простого делителя и последующего разложения оставшейся части числа, он приходил к простому множителю за конечное число шагов. После этого он предпринял, хоть и неполную, попытку доказать уникальность такого разложения, опираясь на сравнение наборов простых множителей у разных чисел^[64].

• Страницы из рукописей Камал ад-Дина аль-Фариси

Аль-Фариси сформулировал и доказал ряд свойств функции суммы делителей ${\displaystyle \sigma (n)}$ и суммы собственных делителей ${\displaystyle \sigma _{0}(n)}$. Он показал, что при разложении числа ${\displaystyle n}$ на простые множители поведение этих функций подчиняется строгим закономерностям, близким к современному понятию мультипликативности арифметических функций^[65]. Например, он доказал следующие утверждения, которые спустя три столетия были выдвинуты (без доказательств) Декартом, и кому их обычно приписывают:^[66]

• Если ${\displaystyle n=m\cdot p}$, где ${\displaystyle p}$ — простой, не делящий ${\displaystyle m}$, то сумма собственных делителей нового числа выражается через суммы делителей исходного числа:
  ${\displaystyle \sigma _{0}(n)=p\cdot \sigma _{0}(m)+\sigma (m)}$
• Для простых степеней ${\displaystyle n=p^{r}}$ он дал формулу:
  ${\displaystyle \sigma _{0}(p^{r})=1+p+p^{2}+\dots +p^{r-1}={\frac {p^{r}-1}{p-1}}}$,
• Для взаимно простых чисел ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ он по сути доказал мультипликативность:
  ${\displaystyle \sigma (ab)=\sigma (a)\cdot \sigma (b)}$.

Кроме того, он вывел формулы для числа делителей ${\displaystyle \tau (n)}$ и числа собственных делителей ${\displaystyle \tau _{0}(n)}$ через комбинаторное перечисление произведений простых множителей, что требовало аккуратного учёта всех комбинаций без повторов. Для этого аль-Фариси переосмыслил понятие фигурных чисел, рассматривая их как биномиальные коэффициенты и применяя их в задачах арифметики делителей^[67]. Таким образом, аль-Фариси не только подошёл вплотную к строгой формулировке основной теоремы арифметики, но и фактически построил зачатки современной теории мультипликативных функций задолго до её появления в европейской математике^[68].

Знакомство с фигурными числами в исламском мире началось с перевода работы Никомаха «Введение в арифметику», который был выполнен Сабитом ибн Куррой (836—901). Исламские математики были знакомы с таблицей фигурных чисел, приведённой Сабитом в его переводе:^[69]

Треугольные	1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45	${\displaystyle {\frac {n(n+1)}{2}}}$
Квадратные	1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81	${\displaystyle n^{2}}$
Пятиугольные	1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117	${\displaystyle {\frac {n(3n-1)}{2}}}$
Шестиугольные	1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153	${\displaystyle n(2n-1)}$
Семиугольные	1, 7, 18, 34, 55, 81, 112, 148, 189	${\displaystyle {\frac {n(5n-3)}{2}}}$

С X века таблицы фигурных чисел многократно переписывались, расширялись и углублялись в трудах таких учёных, как аль-Багдади, Ибн аль-Банна, Ибн Сина, Ибн аль-Хайсам и аль-Умави. В ходе исследований постепенно совершались новые открытия. Исламские математики успешно обобщали античные методы вычисления. Основной их интерес заключался в изучении закономерностей построения чисел и их сумм. Так, аль-Багдади (961—1037) привёл следующие формулы сумм фигурных чисел:^[70]

Сумма первых треугольных чисел (общая формула для ${\displaystyle n}$-го тетраэдрального числа):

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {k(k+1)}{2}}={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}}$

Сумма первых квадратных чисел:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}}$

Сумма первых пятиугольных чисел:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {k(3k-1)}{2}}={\frac {n^{2}(n+1)}{2}}}$

Прорыв в понимании фигурных чисел произошёл около 1300 года благодаря трудам аль-Фариси. Треугольные фигурные числа можно обобщить на большее число измерений, что называется гипертетраэдральными числам. Аль-Фариси вывел обобщённую формулу для вычисления таких чисел любого порядка:^[71]

${\displaystyle F_{p}^{q}=\sum _{k=1}^{p}F_{k}^{q-1}={\binom {p+q-1}{q}}}$

К XIV веку в исламской математике происходит отказ от геометрического образа фигурных чисел. Если в античных трактатах они изображались с помощью точек, выложенных в форме треугольников, квадратов и т. д., то в исламской традиции эти образы постепенно исчезают. В трудах аль-Фариси даже термины вроде «треугольный» или «пирамидальный» более уже не употребляются. Вместо этого вводится более абстрактный и универсальный язык арифметических последовательностей и сумм^[71].

Одним из оригинальных достижений в средневековой исламской математике было развитие общих методов построения магических квадратов^[72]. Трактаты о них писались уже в IX веке, но самые ранние из сохранившихся относятся к X веку. Один из них принадлежал Абу-ль-Вафе аль-Бузджани (940—998), кроме того, Али ибн Ахмад аль-Антаки (?—987) уделил магическим квадратам отдельную главу в 3 книге своих «Комментариев к Арифметике Никомаха» (араб. تحرير النيقوماخوس في تعليق على كتاب المدخل إلى علم العدد‎)^[73]. К этому времени наука о магических квадратах, по-видимому, была уже достаточно развита. Были известны методы построения рамочных квадратов любых порядков, а также нормальных магических квадратов малых порядков ${\displaystyle (n\leq 6)}$, которые использовались для составления сложных квадратов^[73]. Оригинальные магические квадраты от 3 до 9 порядка встречаются в энциклопедии Братьев чистоты, написанной в Багдаде около 983 года. Ниже приведены примеры квадратов от 3 порядка до 7 из данной энциклопедии^[74]:

Арабские буквы традиционно ассоциировались с числовыми значениями (единицы, десятки, сотни, тысяча), что позволяло преобразовывать слова и предложения в числовые последовательности. Эти числа использовались для построения квадратов с равными суммами в строках. Такие построения были математически сложными и стали предметом исследований уже в XI веке. В частности, были открыты оригинальные способы построения для квадратов от 3 до 8 порядка^[75]. Тогда же было найдено несколько способов построения нормальных магических квадратов для нечётных и чётно-чётных ${\displaystyle (n=4k)}$ порядков. Более сложный случай чётно-нечётного порядка ${\displaystyle (n=4k+2)}$ для чётного ${\displaystyle k}$ был решён Ибн аль-Хайсамом (965—1040), а общее решение появилось к началу XII века. В то же время создавались пандиагональные квадраты чётно-чётного порядка, а также нечётного порядка, при котором ${\displaystyle n}$ не делится на 3. Свойство совпадения сумм на ломаных диагоналях в пандиагональных квадратах вызывало мало интереса в исламском мире, вместо этого значимым считалось свойство инвариантности к выбору начальной ячейки^[75].

Среди более поздних авторов и исследователей магических квадратов выделяется Ахмад аль-Буни (1142—1225), который также составил первые латинские квадраты. Они использовались для построения магических квадратов. Существуют убедительные доказательства того, что аль-Буни обладал знанием методов построения, которые впоследствии были формализованы и приняты математиками, включая Леонарда Эйлера, лишь в XVIII веке^[76]. Латинские квадраты активно применяются в алгебре, теории кодов, комбинаторике, статистике и криптографии^[77].

Хотя в раннем исламском мире магические квадраты рассматривались исключительно как математическая головоломка^[72], с периода монгольского нашествия их применение сместилось в сторону оккультных практик. Многие из более поздних текстов ограничиваются лишь описанием конкретных магических квадратов и перечислением их свойств, не раскрывая методологию их построения. В Европе знания о магических квадратах распространились ограниченно и поздно — лишь в позднем Средневековье туда попали знания, которые включали два набора квадратов без описания способов их построения^[75]. Основные труды исламских математиков долгое время оставались неизвестными, а их значимость была осознана лишь недавно^[78].

• Criton, Michel. Une aventure multi-culturelle à travers l’espace et le temps : les carrés magiques // Maths Express au carrefour des cultures (фр.). — CIJM – Comité International des Jeux Mathématiques, 2014.
• Walid, Kholid Al; Miri, Mohsen; Rijal, Syamsul; Lestari, Ayu; Norman, Nurul Ain. Philosophical values in number theory of Ikhwān al-Ṣafā' : [англ.]. — Jurnal Ilmiah Islam Futura. — 2024. — Т. 24, № 2. — ISSN 2407-7542. — doi:10.22373/jiif.v24i2.20960.
• El-Bizri, Nader. The Occult Sciences in Pre-modern Islamic Cultures (англ.). — Ergon Verlag, 2018. — ISBN 978-3-95650-375-7. — doi:10.5771/9783956503757.
• Hartner, Willy. ABU KAMIL SHUDJA‘ // Encyclopaedia of Islam (англ.). — 2. — Leiden: Brill, 1986. — Vol. I: A–B. — P. 132–133. — ISBN 90-04-08114-3.
• Heinz, Klaus Strick. Abū Kāmil (ca. 850–930) : [англ.]. — Spektrum der Wissenschaft. — Heidelberg : Spektrum der Wissenschaft Verlagsgesellschaft, 2025.
• Sesiano, Jacques. Number Theory in Islamic Mathematics // Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures (англ.). — Dordrecht: Springer Netherlands, 2008. — ISBN 978-1-4020-4559-2. — doi:10.1007/978-1-4020-4425-0_9279.
• Bertolacci, Amos. A Community of Translators: The Latin Medieval Versions of Avicenna’s Book of the Cure // Europa Sacra (англ.). — Turnhout: Brepols Publishers, 2011. — Vol. 9. — ISBN 978-2-503-53233-2. — doi:10.1484/m.es-eb.3.5045.
• Engel, Arthur. The Induction Principle // Problem-Solving Strategies (англ.). — New York: Springer New York, 1998. — ISBN 978-0-387-98219-9. — doi:10.1007/0-387-22641-9_8.
• Ferreirós, José. Mathematical Knowledge and the Interplay of Practices (англ.). — Princeton University Press, 2015. — P. 193. — ISBN 978-1-4008-7400-2.
• Heinz, Klaus Strick. Abu Bakr al-Karaji (953–1029) & Ibn al-Samaw'al (1130–1180) : [англ.]. — Spektrum der Wissenschaft. — Heidelberg : Spektrum der Wissenschaft Verlagsgesellschaft, 2014.
• Katz, Victor Joseph. History of Mathematics: An Introduction (англ.). — 3. — Addison-Wesley, 1998. — ISBN 978-0-321-01618-8.
• Costello, Patrick J. New amicable pairs of type (2,2) and type (3,2) : [англ.]. — Mathematics of Computation. — 2002. — Т. 72, № 241. — ISSN 0025-5718. — doi:10.1090/S0025-5718-02-01414-X.
• Webster, Roger; Williams, Gareth. Friends in High Places : [англ.]. — Mathematical Spectrum. — 2009. — Т. 42, № 2.
• Scott, Paul. Just Perfect, part 2 : [англ.]. — The Australian Mathematics Teacher. — 2007. — Т. 63, № 2.
• Berggren, John Lennart. Islamic Mathematics // The Cambridge History of Science (англ.). — Cambridge University Press, 2013. — ISBN 978-0-511-97400-7. — doi:10.1017/cho9780511974007.004.
• Sesiano, Jacques. Two problems of number theory in Islamic times. — Archive for History of Exact Sciences. — 1991. — Т. 41, № 3. — ISSN 0003-9519. — doi:10.1007/BF00348408.
• Dickson, Leonard Eugene. History of the Theory of Numbers, Volume I (англ.). — Courier Corporation, 1919. — ISBN 978-0-486-44232-7.
• Cammann, Schuyler. Islamic and Indian Magic Squares, Part I : [англ.]. — History of Religions. — 1969. — Т. 8, № 3. — С. 181–209. — doi:10.1086/462584.
• Aldosray, Falih A. M. Perfect, Amicable and Numbers of Equal Weights (Historical Notes) : [англ.]. — International Journal of Scientific and Innovative Mathematical Research. — 2016. — Т. 4, № 1. — doi:10.20431/2347-3142.0401010.
• Rashed, Roshdi. Number Theory and Combinatorial Analysis // The Development of Arabic Mathematics: Between Arithmetic and Algebra (англ.). — Dordrecht: Springer Netherlands, 1994. — Vol. 156. — ISBN 978-90-481-4338-2. — doi:10.1007/978-94-017-3274-1_5.
• Sesiano, Jacques. Construction of Magic Squares Using the Knight’s Move in Islamic Mathematics : [англ.]. — Archive for History of Exact Sciences. — 2003. — Т. 58, № 1. — С. 1–20. — ISSN 0003-9519. — doi:10.1007/s00407-003-0071-4.
• Andersen, Lars Døvling. Chapter on The history of latin squares : [англ.]. — Research Report Series. — Department of Mathematical Sciences, Aalborg University, 2007.
• Тужилин, Михаил Эльевич. Латинские квадраты и их применение в криптографии (рус.) // Проблемы дискретной математики. — 2012. — Вып. 3(17). — С. 47–52.
• Юшкевич, Адольф Павлович; Розенфельд, Борис Абрамович. Страны ислама // История математики. — М.: Наука, 1970. — Т. I.

• Baffioni, Carmela. Ikhwân al-Safâ’ . Stanford Encyclopedia of Philosophy (22 апреля 2008). Дата обращения: 21 июля 2025.
• Zarepour, Mohammad Saleh. Arabic and Islamic Philosophy of Mathematics . Stanford Encyclopedia of Philosophy (9 апреля 2022). Дата обращения: 9 августа 2025.
• O'Connor, John Joseph; Robertson, Edmund Frederick. Al-Sabi Thabit ibn Qurra al-Harrani . Maths History. Дата обращения: 6 марта 2025.
• O'Connor, John Joseph; Robertson, Edmund Frederick. Al-Farisi . Maths History. Дата обращения: 7 марта 2025.
• O'Connor, John Joseph; Robertson, Edmund Frederick. Al-Khujandi . Maths History. Дата обращения: 7 марта 2025.
• O'Connor, John Joseph; Robertson, Edmund Frederick. Al-Khazin . Maths History. Дата обращения: 7 марта 2025.
• O'Connor, John Joseph; Robertson, Edmund Frederick. Al-Karaji . Maths History. Дата обращения: 7 марта 2025.
• O'Connor, John Joseph; Robertson, Edmund Frederick. Al-Samawal . Maths History. Дата обращения: 7 марта 2025.
• O'Connor, John Joseph; Robertson, Edmund Frederick. Al-Haytham . Maths History. Дата обращения: 7 марта 2025.
• O'Connor, John Joseph; Robertson, Edmund Frederick. Al-Baghdadi . Maths History. Дата обращения: 7 марта 2025.
• O'Connor, John Joseph; Robertson, Edmund Frederick. Abu Kamil . Maths History. Дата обращения: 27 августа 2025.
• O'Connor, John Joseph; Robertson, Edmund Frederick. Arabic mathematics : forgotten brilliance?  Maths History. Дата обращения: 7 марта 2025.
• O'Connor, John Joseph; Robertson, Edmund Frederick. Perfect numbers . Maths History. Дата обращения: 12 августа 2025.
• Rashed, Roshdi. The end matters.  The Free Library (1 июня 2003). Дата обращения: 3 октября 2025.
• Amicable numbers . Encyclopedia Britannica (4 августа 2023). Дата обращения: 7 марта 2025.