Тождество Похожаева

Тождество Похожаева — это интегральное соотношение, которому удовлетворяют стационарные локализованные решения нелинейного уравнения Шредингера или нелинейного уравнения Клейна-Гордона. Оно было получено С.И. Похожаевым^[1] и аналогично теореме о вириале. Это соотношение также известно как теорема Д.Г. Деррика. Аналогичные тождества могут быть получены и для других уравнений математической физики.

Приведём общую форму, предложенную А. Берестицким и П.-Л. Лионсом^[2].

Положим ${\displaystyle g(s)}$ в качестве непрерывной вещественной функции, с ${\displaystyle g(0)=0}$. Определим ${\displaystyle G(s)=\int _{0}^{s}g(t)\,dt}$. Пусть

${\displaystyle u\in L_{\mathrm {loc} }^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}),\qquad \nabla u\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n}),\qquad G(u)\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n}),\qquad n\in \mathbb {N} ,}$

будет решением уравнения

${\displaystyle -\nabla ^{2}u=g(u)}$,

в терминах распределений. Тогда ${\displaystyle u}$ удовлетворяет соотношению

${\displaystyle {\frac {n-2}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u(x)|^{2}\,dx=n\int _{\mathbb {R} ^{n}}G(u(x))\,dx.}$

Существует форма вириального тождества для стационарного нелинейного уравнения Дирака в трёх пространственных измерениях (а также уравнения Максвелла-Дирака^[3]) и в произвольном пространственном измерении^[4]. Положим ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,\,N\in \mathbb {N} }$ и пусть ${\displaystyle \alpha ^{i},\,1\leq i\leq n}$ и ${\displaystyle \beta }$ будут самосопряжёнными матрицами Дирака размера ${\displaystyle N\times N}$:

${\displaystyle \alpha ^{i}\alpha ^{j}+\alpha ^{j}\alpha ^{i}=2\delta _{ij}I_{N},\quad \beta ^{2}=I_{N},\quad \alpha ^{i}\beta +\beta \alpha ^{i}=0,\quad 1\leq i,j\leq n.}$

Пусть ${\displaystyle D_{0}=-\mathrm {i} \alpha \cdot \nabla =-\mathrm {i} \sum _{i=1}^{n}\alpha ^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}$ будет безмассовым оператором Дирака. Положим ${\displaystyle g(s)}$ в качестве непрерывной вещественной функции, с ${\displaystyle g(0)=0}$. Определим ${\displaystyle G(s)=\int _{0}^{s}g(t)\,dt}$. Пусть ${\displaystyle \phi \in L_{\mathrm {loc} }^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} ^{N})}$ будет спинорным решением, удовлетворяющим стационарной форме нелинейного уравнения Дирака,

${\displaystyle \omega \phi =D_{0}\phi +g(\phi ^{\ast }\beta \phi )\beta \phi ,}$

в терминах распределений, с некоторой ${\displaystyle \omega \in \mathbb {R} }$. Предположим, что

${\displaystyle \phi \in H^{1}(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} ^{N}),\qquad G(\phi ^{\ast }\beta \phi )\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n}).}$

Тогда ${\displaystyle \phi }$ удовлетворяет

${\displaystyle \omega \int _{\mathbb {R} ^{n}}\phi (x)^{\ast }\phi (x)\,dx={\frac {n-1}{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\phi (x)^{\ast }D_{0}\phi (x)\,dx+\int _{\mathbb {R} ^{n}}G(\phi (x)^{\ast }\beta \phi (x))\,dx.}$

• Теорема о вириале
• Теорема Деррика