Топологическая сортировка

Топологическая сортировка — упорядочивание вершин ациклического ориентированного графа согласно частичному порядку, заданному рёбрами орграфа на множестве его вершин.

Например, для графа:

${\displaystyle G={\Bigl (}{\bigl \{}2,3,5,7,8,9,10,11{\bigr \}},{\bigl \{}(3,8),(3,10),(5,11),(7,11),(7,8),(8,9),(11,2),(11,9),(11,10){\bigr \}}{\Bigr )}}$

существует несколько согласованных последовательностей его вершин, которые могут быть получены при помощи топологической сортировки, в частности:

• ${\displaystyle 7,5,11,3,8,2,9,10}$
• ${\displaystyle 3,7,5,8,11,10,9,2}$

В последовательности могут быть переставлены любые две стоящие рядом вершины, которые не входят в отношение частичного порядка ${\displaystyle E}$.

Топологическая сортировка широко применяется в различных отраслях например, с её помощью можно построить последовательность прохождения учебных курсов студентами, последовательность установки программ при помощи пакетного менеджера, последовательность сборки исходных текстов программ по данным сборочных файлов, можно построить список отображения объектов в изометрической проекции зная парные порядковые отношения между объектами (какой из двух объектов должен быть прорисован раньше).

Один из первых алгоритмов, и наиболее приспособленный к исполнению вручную разработан Артуром Каном в 1962 году.

Пусть дан ациклический ориентированный простой граф ${\displaystyle G=(V,E)}$. Через ${\displaystyle A(v),v\in V}$ обозначим множество таких вершин ${\displaystyle u\in V}$, что ${\displaystyle \exists ~(u,v)\in E}$. То есть ${\displaystyle A(v)}$ — множество всех вершин, из которых есть дуга в вершину ${\displaystyle v}$. Пусть ${\displaystyle P}$ — искомая последовательность вершин.

пока ${\displaystyle |P|<|V|}$
  выбрать любую вершину ${\displaystyle v}$ такую, что ${\displaystyle A(v)=\varnothing }$ и ${\displaystyle v\notin P}$
  ${\displaystyle P\gets P,v}$
  удалить ${\displaystyle v}$ из всех ${\displaystyle A(u),u\neq v}$

Наличие хотя бы одного цикла в графе приведёт к тому, что на определённой итерации цикла не удастся выбрать новую вершину ${\displaystyle v}$.

Например, если задан граф:

${\displaystyle G={\Bigl (}{\bigl \{}a,b,c,d,e{\bigr \}},{\bigl \{}(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,d),(c,d),(c,e),(d,e){\bigr \}}{\Bigr )}}$,

алгоритм выполнится следующим образом:

шаг	${\displaystyle v}$	${\displaystyle A(a)}$	${\displaystyle A(b)}$	${\displaystyle A(c)}$	${\displaystyle A(d)}$	${\displaystyle A(e)}$	${\displaystyle P}$
0	${\displaystyle -}$	${\displaystyle \varnothing }$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle a,b,c}$	${\displaystyle a,c,d}$	${\displaystyle \varnothing }$
1	${\displaystyle a}$	${\displaystyle \varnothing }$	${\displaystyle \varnothing }$	${\displaystyle \varnothing }$	${\displaystyle b,c}$	${\displaystyle c,d}$	${\displaystyle a}$
2	${\displaystyle c}$	${\displaystyle \varnothing }$	${\displaystyle \varnothing }$	${\displaystyle \varnothing }$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle d}$	${\displaystyle a,c}$
3	${\displaystyle b}$	${\displaystyle \varnothing }$	${\displaystyle \varnothing }$	${\displaystyle \varnothing }$	${\displaystyle \varnothing }$	${\displaystyle d}$	${\displaystyle a,c,b}$
4	${\displaystyle d}$	${\displaystyle \varnothing }$	${\displaystyle \varnothing }$	${\displaystyle \varnothing }$	${\displaystyle \varnothing }$	${\displaystyle \varnothing }$	${\displaystyle a,c,b,d}$
5	${\displaystyle e}$	${\displaystyle \varnothing }$	${\displaystyle \varnothing }$	${\displaystyle \varnothing }$	${\displaystyle \varnothing }$	${\displaystyle \varnothing }$	${\displaystyle a,c,b,d,e}$

На втором шаге вместо ${\displaystyle c}$ может быть выбрана вершина ${\displaystyle b}$, поскольку порядок между ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$ не задан.

С использованием вычислительной техники топологическую сортировку можно выполнить за ${\displaystyle O(n)}$ времени и памяти, если обойти все вершины, используя поиск в глубину, и выводить вершины в момент выхода из неё — алгоритм разработан Робертом Тарьяном в 1976 году.

Изначально все вершины помечаются как белые, для каждой вершины осуществляется шаг алгоритма:

• если вершина чёрная, ничего делать не надо,
• если вершина серая — найден цикл, топологическая сортировка невозможна,
• если вершина белая, то:
  • красится в серый,
  • применяется шаг алгоритма для всех вершин, в которые можно попасть из текущей,
  • вершина красится в чёрный и помещается в начало окончательного списка.

Например, на графе:

${\displaystyle G={\Bigl (}{\bigl \{}a,b,c,d,e{\bigr \}},{\bigl \{}(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,d),(c,d),(c,e),(d,e){\bigr \}}{\Bigr )}}$

с порядком обхода ${\displaystyle c,d,e,a,b}$ алгоритм отрабатывает следующим образом:

Шаг	Текущая	Белые	Стек (серые)	Выход (чёрные)
0	—	${\displaystyle a,b,c,d,e}$	—	—
1	${\displaystyle c}$	${\displaystyle a,b,d,e}$	${\displaystyle c}$	—
2	${\displaystyle d}$	${\displaystyle a,b,e}$	${\displaystyle c,d}$	—
3	${\displaystyle e}$	${\displaystyle a,b}$	${\displaystyle c,d,e}$	—
4	${\displaystyle d}$	${\displaystyle a,b}$	${\displaystyle c,d}$	${\displaystyle e}$
5	${\displaystyle c}$	${\displaystyle a,b}$	${\displaystyle c}$	${\displaystyle d,e}$
6	—	${\displaystyle a,b}$	—	${\displaystyle c,d,e}$
7	${\displaystyle d}$	${\displaystyle a,b}$	—	${\displaystyle c,d,e}$
8	${\displaystyle e}$	${\displaystyle a,b}$	—	${\displaystyle c,d,e}$
9	${\displaystyle a}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle c,d,e}$
10	${\displaystyle b}$	—	${\displaystyle a,b}$	${\displaystyle c,d,e}$
11	${\displaystyle a}$	—	${\displaystyle a}$	${\displaystyle b,c,d,e}$
12	—	—	—	${\displaystyle a,b,c,d,e}$
13	${\displaystyle b}$	—	—	${\displaystyle a,b,c,d,e}$

• Алгоритм Демукрона

• Левитин А. В. Глава 5. Метод уменьшения размера задачи: Топологическая сортировка // Алгоритмы. Введение в разработку и анализ — М.: Вильямс, 2006. — С. 220—224. — 576 с. — ISBN 978-5-8459-0987-9
• Кормен, Т., Лейзерсон, Ч., Ривест, Р., Штайн, К. Глава 22.4. Топологическая сортировка // Алгоритмы: построение и анализ = Introduction to Algorithms / Под ред. И. В. Красикова. — 2-е изд. — М.: Вильямс, 2005. — С. 632—635. — ISBN 5-8459-0857-4.

• Топологическая сортировка при помощи поиска в глубину — реализация на C++
• Топологическая сортировка на Pascal за O(n + m) от Никлауса Вирта