Уравнение Гросса — Питаевского

Уравнение Гросса — Питаевского (УГП) — уравнение описывающее основное состояние квантовой системы тождественных бозонов с использованием приближения Хартри — Фока и модели псевдопотенциального взаимодействия. Названо в честь Евгения П. Гросса^[1] и Льва Петровича Питаевского^[2].

Конденсат Бозе — Эйнштейна (БЭК) — это газ бозонов, находящихся в одном квантовом состоянии и, которое описывается одной волновой функцией. Динамика свободной частицы описывается одночастичным уравнением Шредингера. Взаимодействие между частицами в реальном газе учитывается соответствующим многочастичным уравнением Шредингера. В приближении Хартри — Фока полная волновая функция ${\displaystyle \Psi }$ системы ${\displaystyle N}$ бозонов рассматривается как произведение одночастичных функций ${\displaystyle \psi }$: $${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\dots ,\mathbf {r} _{N})=\psi (\mathbf {r} _{1})\psi (\mathbf {r} _{2})\dots \psi (\mathbf {r} _{N}),}$$где ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ — координата ${\displaystyle i}$-го бозона. Если среднее расстояние между частицами в газе больше длины рассеяния (то есть в так называемом пределе разреженности), то фигурирующий в этом уравнении истинный потенциал взаимодействия аппроксимируют псевдопотенциалом. При достаточно низкой температуре, когда длина волны де Бройля значительно больше радиуса взаимодействия бозонов^[3], процесс рассеяния рассмвтривают в s-волновом приближении (${\displaystyle \ell =0}$). При анализе парциальных волн (также известном как потенциал твёрдой сферы) используется только один член разложния. В этом случае псевдопотенциальный модельный гамильтониан системы записывают в виде $${\displaystyle H=\sum _{i=1}^{N}\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \mathbf {r} _{i}^{2}}}+V(\mathbf {r} _{i})\right)+\sum _{i<j}{\frac {4\pi \hbar ^{2}a_{s}}{m}}\delta (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}),}$$где ${\displaystyle m}$ — масса бозона, ${\displaystyle V}$ — внешний потенциал, ${\displaystyle a_{s}}$ — длина рассеяния s-волн бозона на бозоне, а ${\displaystyle \delta (\mathbf {r} )}$ — дельта-функция Дирака.

Вариационный метод показывает, что если одночастичная волновая функция удовлетворяет следующему уравнению Гросса — Питаевского $${\displaystyle \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \mathbf {r} ^{2}}}+V(\mathbf {r} )+{\frac {4\pi \hbar ^{2}a_{s}}{m}}|\psi (\mathbf {r} )|^{2}\right)\psi (\mathbf {r} )=\mu \psi (\mathbf {r} ),}$$то полная волновая функция минимизирует математическое ожидание гамильтониана модели при условии нормировки ${\textstyle \int dV\,|\Psi |^{2}=N.}$ Пожтому такая одночастичная волновая функция описывает основное состояние системы.

УГП — это модельное уравнение для одночастичной волновой функции основного состояния в конденсате Бозе — Эйнштейна. Оно по форме похоже на уравнение Гинзбурга — Ландау и иногда называется нелинейным уравнением Шрёдингера.

Нелинейность УГП возникает во взаимодействии между частицами: приравнивание константы взаимодействия в УГП к нулю (см. следующий раздел) позволяет восстановить одночастичное уравнение Шрёдингера, описывающее частицу внутри захватывающего потенциала.

Говорят, что УГП ограничено режимом слабого взаимодействия. Тем не менее, оно может не воспроизводить некоторые явления даже в этом режиме^[4][5]. Для изучения БЭК за пределами этого предела слабых взаимодействий необходимо ввести поправку Ли — Хуана — Яна (ЛХЯ)^[6][7]. В качестве альтернативы, в одномерных системах можно использовать либо точный подход, а именно модель Либа — Линигера^[8], либо расширенное уравнение, например, уравнение Либа — Линигера — Гросса — Питаевского^[9] (иногда называемое модифицированным^[10] или обобщённым нелинейным уравнением Шрёдингера^[11]).

УГП имеет вид уравнения Шрёдингера с добавлением члена взаимодействия. Константа связи ${\displaystyle g}$ пропорциональна длине рассеяния s-волны ${\displaystyle a_{s}}$ двух взаимодействующих бозонов:

${\displaystyle g={\frac {4\pi \hbar ^{2}a_{s}}{m}},}$

где ${\displaystyle \hbar }$ — приведённая постоянная Планка, а ${\displaystyle m}$ — масса бозона. Плотность энергии равна

${\displaystyle {\mathcal {E}}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}|\nabla \Psi (\mathbf {r} )|^{2}+V(\mathbf {r} )|\Psi (\mathbf {r} )|^{2}+{\frac {1}{2}}g|\Psi (\mathbf {r} )|^{4},}$

где ${\displaystyle \Psi }$ — волновая функция или параметр порядка, и ${\displaystyle V}$ — внешний потенциал (например, гармоническая ловушка). Не зависящее от времени УГП для сохраняющегося числа частиц имеет вид

${\displaystyle \mu \Psi (\mathbf {r} )=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} )+g|\Psi (\mathbf {r} )|^{2}\right)\Psi (\mathbf {r} ),}$

где ${\displaystyle \mu }$ — химический потенциал, который находится из условия, что число частиц связано с волновой функцией соотношением нормировки

${\displaystyle N=\int |\Psi (\mathbf {r} )|^{2}\,d^{3}r.}$

Из не зависящего от времени уравнения Гросса — Питаевского можно найти структуру конденсата Бозе — Эйнштейна в различных внешних потенциалах (например, гармонической ловушке).

УГП, зависящее от времени, имеет вид

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \Psi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} )+g|\Psi (\mathbf {r} ,t)|^{2}\right)\Psi (\mathbf {r} ,t).}$

Это уравнение применяется для изучения динамики конденсата Бозе — Эйнштейна. Оно используется для нахождения коллективных мод газа в ловушке.

Поскольку уравнение Гросса — Питаевского является нелинейным уравнением в частных производных, точные решения найти сложно. Тогда решения приходится находить, используя множество приближённых численных методов.

Простейшим точным решением является решение со свободными частицами в потенциале ${\displaystyle V(\mathbf {r} )=0}$ :

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )={\sqrt {\frac {N}{V}}}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }.}$

Это решение часто называют решением Хартри. Хотя оно удовлетворяет УГП, оно оставляет щель в энергетическом спектре из-за взаимодействия:

${\displaystyle E(\mathbf {k} )=N\left[{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}+g{\frac {N}{2V}}\right].}$

Согласно теореме Гугенгольца — Пайнса^[12], взаимодействующий бозе-газ не имеет энергетической щели (в случае отталкивающих взаимодействий).

В конденсате Бозе — Эйнштейна может образоваться одномерный солитон, и в зависимости от того, является ли взаимодействие притяжением или отталкиванием, возникает либо светлый, либо тёмный солитон. Оба солитона представляют собой локальные возмущения в конденсате с однородной фоновой плотностью.

Для отталкивающего потенциала БЭК, ${\displaystyle g>0}$, возможное решение уравнения Гросса — Питаевского

${\displaystyle \psi (x)=\psi _{0}\tanh \left({\frac {x}{{\sqrt {2}}\xi }}\right),}$

где ${\displaystyle \psi _{0}}$ — значение волновой функции конденсата при ${\displaystyle \infty }$, и ${\displaystyle \xi =\hbar /{\sqrt {2mn_{0}g}}=1/{\sqrt {8\pi a_{s}n_{0}}}}$ — это длина когерентности (она же длина восстановления^[3] см. ниже). Это решение представляет собой тёмный солитон, поскольку в пространстве с ненулевой плотностью наблюдается дефицит конденсата. Тёмный солитон также является типом топологического дефекта, поскольку ${\displaystyle \psi }$ переключается между положительными и отрицательными значениями в начале координат, что соответствует фазовому сдвигу ${\displaystyle \pi }$.

Для ${\displaystyle g<0}$ решение

${\displaystyle \psi (x,t)=\psi (0)e^{-i\mu t/\hbar }{\frac {1}{\cosh \left({\sqrt {2m|\mu |/\hbar ^{2}}}x\right)}},}$

где ${\displaystyle \mu =g|\psi (0)|^{2}/2}$ — химический потенциал. Это решение представляет собой светлый солитон, поскольку в пространстве нулевой плотности имеется концентрация конденсата.

Длина когерентности или восстановления определяет минимальное расстояние, на котором параметр порядка может восстановиться, что описывает, насколько быстро волновая функция БЭК может адаптироваться к изменениям потенциала. Если плотность конденсата растёт от 0 до n в пределах расстояния ξ, длину восстановления можно рассчитать, приравняв

квантовое давление и энергию взаимодействия^[3][13]:

${\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}}{2m\xi ^{2}}}=gn\implies \xi =(8\pi na_{s})^{-1/2}}$

Длина восстановления должна быть намного меньше любого масштаба длины для одночастичной волновой функции. Длина когерентности также определяет размер вихрей, которые могут образовываться в сверхтекучей жидкости. Это расстояние, на котором волновая функция восстанавливается от нуля в центре вихря до значения в объёме сверхтекучей жидкости (отсюда и название «длина восстановления»).

В системах, где точное аналитическое решение найти невозможно, используют вариационное приближение. Основная идея заключается в построении вариационного анзаца для волновой функции со свободными параметрами, подстановке его в свободную энергию и минимизации энергии относительно свободных параметров.

Для решения уравнения УГП использовались различные численные методы, такие как метод Кранка — Николсона с разделением по шагам^[14] и спектральный метод Фурье^[15]. Существуют также различные программы на Фортране и C для решения задач контактного взаимодействия^[16][17] и дальнодействующего дипольного взаимодействия^[18].

Если число частиц в газе очень велико, межатомное взаимодействие становится настолько сильным, что в уравнении Гросса — Питаевского можно пренебречь членом, содержащим кинетическую энергию. Это называется приближением Томаса — Ферми и приводит к одночастичной волновой функции

${\displaystyle \psi (x,t)={\sqrt {\frac {\mu -V(x)}{Ng}}}.}$

И профиль плотности

${\displaystyle n(x,t)={\frac {\mu -V(x)}{g}}.}$

В гармонической ловушке (где потенциальная энергия квадратична относительно смещения от центра) получается профиль плотности, обычно называемый профилем плотности «перевернутой параболы»^[3].

Боголюбовская трактовка уравнения Гросса — Питаевского — это метод нахождения элементарных возбуждений конденсата Бозе — Эйнштейна. Для этого волновая функция конденсата аппроксимируется суммой равновесных волновых функций ${\displaystyle \psi _{0}={\sqrt {n}}e^{-i\mu t}}$ с небольшим возмущением ${\displaystyle \delta \psi }$:

${\displaystyle \psi =\psi _{0}+\delta \psi .}$

Затем эта форма подставляется в зависящее от времени уравнение Гросса — Питаевского и его комплексно-сопряженное уравнение и линеаризуется до первого порядка по возмущению ${\displaystyle \delta \psi }$:

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \delta \psi }{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\delta \psi +V\delta \psi +g(2|\psi _{0}|^{2}\delta \psi +\psi _{0}^{2}\delta \psi ^{*}),}$

${\displaystyle -i\hbar {\frac {\partial \delta \psi ^{*}}{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\delta \psi ^{*}+V\delta \psi ^{*}+g(2|\psi _{0}|^{2}\delta \psi ^{*}+(\psi _{0}^{*})^{2}\delta \psi ).}$

Предполагая, что

${\displaystyle \delta \psi =e^{-i\mu t}{\big (}u({\boldsymbol {r}})e^{-i\omega t}-v^{*}({\boldsymbol {r}})e^{i\omega t}{\big )},}$

можно найти следующие связанные дифференциальные уравнения для амплитуд ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$, принимая ${\displaystyle e^{\pm i\omega t}}$ осциллирующие части как независимые компоненты:

${\displaystyle \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V+2gn-\hbar \mu -\hbar \omega \right)u-gnv=0,}$

${\displaystyle \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V+2gn-\hbar \mu +\hbar \omega \right)v-gnu=0.}$

Для однородной системы, когда ${\displaystyle V({\boldsymbol {r}})={\text{const}}}$, можно получить ${\displaystyle V=\hbar \mu -gn}$ из уравнения нулевого порядка. Предполагается, что ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ — плоские волнами с импульсом ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}}$. Это приводит к энергетическому спектру

${\displaystyle \hbar \omega =\epsilon _{\boldsymbol {q}}={\sqrt {{\frac {\hbar ^{2}|{\boldsymbol {q}}|^{2}}{2m}}\left({\frac {\hbar ^{2}|{\boldsymbol {q}}|^{2}}{2m}}+2gn\right)}}.}$

Для больших ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}}$, дисперсионное соотношение квадратично по ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}}$, как и следовало ожидать для обычных невзаимодействующих одночастичных возбуждений. Для малых ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}}$, дисперсионное соотношение линейно по импульсу:

${\displaystyle \epsilon _{\boldsymbol {q}}=s\hbar q,}$

где ${\displaystyle s={\sqrt {ng/m}}}$ — скорость звука в конденсате, также известная как второй звук. Тот факт, что ${\displaystyle \epsilon _{\boldsymbol {q}}/(\hbar q)>s}$ показывает, согласно критерию Ландау, что конденсат является сверхтекучим, то есть если объект перемещается в конденсате со скоростью, меньшей s, то ему будет энергетически невыгодно создавать возбуждения, и объект будет двигаться без диссипации, что является характеристикой сверхтекучести. Эксперименты с использованием остро сфокусированного лазера с синей расстройкой доказали наличие сверхтекучести конденсата^[19]. Такое же дисперсионное соотношение обнаруживается, когда конденсат выводится из микроскопического подхода к слабо взаимодействующему бозе-газу с использованием формализма вторичного квантования.

Оптическая потенциальная яма ${\displaystyle V_{\text{twist}}(\mathbf {r} ,t)=V_{\text{twist}}(z,r,\theta ,t)}$, образованная двумя встречными оптическими вихрями с длинами волн ${\displaystyle \lambda _{\pm }=2\pi c/\omega _{\pm }}$, эффективной шириной ${\displaystyle D}$ и топологическим зарядов ${\displaystyle \ell }$:

${\displaystyle E_{\pm }(\mathbf {r} ,t)\sim \exp \left(-{\frac {r^{2}}{2D^{2}}}\right)r^{|\ell |}\exp(-i\omega _{\pm }t\pm ik_{\pm }z+i\ell \theta ),}$

где ${\displaystyle \delta \omega =(\omega _{+}-\omega _{-})}$. В цилиндрической системе координат ${\displaystyle (z,r,\theta )}$ потенциальная яма имеет геометрию двойной спирали^[20]:

${\displaystyle V_{\text{twist}}(\mathbf {r} ,t)\sim V_{0}\exp \left(-{\frac {r^{2}}{D^{2}}}\right)r^{2|\ell |}\left(1+\cos[\delta \omega t+(k_{+}+k_{-})z+2\ell \theta ]\right).}$

В системе отсчёта, вращающейся с угловой скоростью ${\displaystyle \Omega =\delta \omega /2\ell }$, зависящее от времени уравнение Гросса — Питаевского с винтовым потенциалом имеет вид^[21]

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \Psi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V_{\text{twist}}(\mathbf {r} )+g|\Psi (\mathbf {r} ,t)|^{2}-\Omega {\hat {L}}\right)\Psi (\mathbf {r} ,t),}$

где ${\displaystyle {\hat {L}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial \theta }}}$ — оператор углового момента. Решение для волновой функции конденсата ${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}$ представляет собой суперпозицию двух фазово-сопряжённых вихрей материи-волны:

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)\sim \exp \left(-{\frac {r^{2}}{2D^{2}}}\right)r^{|\ell |}\times {\big (}\exp(-i\omega _{+}t+ik_{+}z+i\ell \theta )+\exp(-i\omega _{-}t-ik_{-}z-i\ell \theta ){\big )}.}$

Макроскопически наблюдаемый импульс конденсата равен

${\displaystyle \langle \Psi |{\hat {P}}|\Psi \rangle =N_{\text{at}}\hbar (k_{+}-k_{-}),}$

где ${\displaystyle N_{\text{at}}}$ — число атомов в конденсате. При жтом атомный ансамбль движется когерентно вдоль ${\displaystyle z}$ ось с групповой скоростью, направление которой определяется знаками топологического заряда ${\displaystyle \ell }$ и угловой скорости ${\displaystyle \Omega }$^[22]:

${\displaystyle V_{z}={\frac {2\Omega \ell }{k_{+}+k_{-}}}.}$

Угловой момент спирально захваченного конденсата равен нулю^[21]:

${\displaystyle \langle \Psi |{\hat {L}}|\Psi \rangle =N_{\text{at}}[\ell \hbar -\ell \hbar ]=0.}$

Численное моделирование холодного атомного ансамбля в спиральном потенциале показало, что отдельные атомные траектории внутри спиральной потенциальной ямы ограничены^[23].

Уравнение Гросса — Питаевского также может быть получено как полуклассический предел теории многих тел с s-волновыми взаимодействующими идентичными бозонами, представленными в терминах когерентных состояний^[24]. Полуклассический предел достигается для большого числа квантов, выражающих теорию поля либо в положительном P-представлении (обобщенное P-представление Глаубера — Сударшана), либо в представлении Вигнера.

Эффекты конечной температуры можно рассматривать в рамках обобщённого уравнения Гросса — Питаевского, включая рассеяние между конденсатными и неконденсатными атомами^{[25][26][27][28][29]}, из которого УГП может быть восстановлено в пределе низких температур^[30][31].

• Pethick, C. J. Bose–Einstein Condensation in Dilute Gases / C. J. Pethick, H. Smith. — Cambridge : Cambridge University Press, 2002. — ISBN 978-0-521-66580-3.
• Pitaevskii, L. P. Bose–Einstein Condensation / L. P. Pitaevskii, S. Stringari. — Oxford : Clarendon Press, 2003. — ISBN 978-0-19-850719-2.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика. Ч. I. // Теоретическая физика. — 5-e изд., стереот.. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — Т. V. — 616 с. — ISBN 5-9221-0054-8.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика. Ч. 2. // Теоретическая физика. — 3-e изд., стереот.. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — Т. IX. — 496 с. — ISBN 5-9221-0124-2.

• Trotter-Suzuki-MPI Trotter-Suzuki-MPI — это библиотека для крупномасштабного моделирования, основанная на разложении Троттера-Сузуки, которая также может решать уравнение Гросса-Питаевского.
• XMDS XMDS — это библиотека спектральных уравнений в частных производных, которую можно использовать для решения уравнения Гросса-Питаевского.