Уравнение Монжа — Ампера

Уравнение Монжа — Ампера — дифференциальное уравнение в частными производными 2-го порядка. Его наиболее общая форма для функции ${\displaystyle z=z(x,y)}$ от двух независимых переменных может быть записана как:

${\displaystyle F(rt-s^{2},r,s,t,p,q,z,x,y)=0,}$

где используются стандартные обозначения для частных производных:

${\displaystyle p={\frac {\partial z}{\partial x}},q={\frac {\partial z}{\partial y}},r={\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}},s={\frac {\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}},t={\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}}.}$

Канонической формой уравнения Монжа — Ампера принято считать выражение:${\displaystyle rt-s^{2}=\Phi (x,y,z,p,q)}$, где ${\displaystyle \Phi }$ — заданная функция своих аргументов.

Тип уравнения определяется знаком детерминанта гессиана функции ${\displaystyle z}$ и поведением функции ${\displaystyle \Phi }$:

• Эллиптический тип: Если ${\displaystyle rt-s^{2}>0}$ на решении. В этом случае уравнение формально аналогично уравнению Пуассона, но является нелинейным.

• Гиперболический тип: Если ${\displaystyle rt-s^{2}<0}$ на решении. Аналогично нелинейному волновому уравнению.

• Параболический тип: Если ${\displaystyle rt-s^{2}=0}$ на решении.

Данная классификация является существенной, так как методы решения и их свойства кардинально различаются для эллиптического и гиперболического случаев.

Уравнения такого типа впервые рассматривались Монжем (1784) и Ампером (1820).

• Задача о поверхностях с предписанной гауссовой кривизной: Пусть ${\displaystyle \Omega }$ — область в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, и ${\displaystyle \kappa :\Omega \to \mathbb {R} }$ — заданная непрерывная функция. Задача состоит в нахождении функции ${\displaystyle z(x,y)}$, график которой (поверхность) в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ имеет гауссову кривизну ${\displaystyle K(x,y)=\kappa (x,y)}$ в каждой точке. Для поверхности, заданной графиком ${\displaystyle z=z(x,y)}$, гауссова кривизна выражается формулой:

${\displaystyle K(x,y)={\frac {rt-s^{2}}{(1+p^{2}+q^{2})^{2}}}}$.

Таким образом, задача сводится к решению эллиптического уравнения Монжа — Ампера:${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}\cdot {\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}}-({\frac {\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}})^{2}=\kappa (x,y)\cdot (1+({\frac {\partial z}{\partial x}})^{2}+({\frac {\partial z}{\partial y}})^{2})^{2}}$.

• Комплексное уравнение Монжа — Ампера и геометрия Кэлера: Пусть ${\displaystyle (M,\omega )}$ — компактное кэлерово многообразие размерности ${\displaystyle n}$. Любая другая метрика Кэлера в том же классе когомология может быть записана как ${\displaystyle \omega _{\varphi }=\omega +i\partial {\bar {\partial }}\varphi }$, где ${\displaystyle \varphi \in C^{\infty }(M)}$ — некоторая функция, а ${\displaystyle \partial }$ и ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$ — операторы Дольбо. Форма объема, ассоциированная с метрикой ${\displaystyle \omega _{\varphi }}$, есть ${\displaystyle \omega _{\varphi }^{n}}$. Задача нахождения метрики Кэлера — Эйнштейна с предписанной формой объема ${\displaystyle f\cdot \omega ^{n}}$ приводит к комплексному уравнению Монжа — Ампера:

${\displaystyle (\omega +i\partial {\bar {\partial }}\varphi )^{n}=f\cdot \omega ^{n}}$.

В локальных координатах, если ${\displaystyle \omega =i\sum g_{j{\bar {k}}}dz^{j}\wedge d{\bar {z}}^{k}}$, то это уравнение принимает вид:

${\displaystyle \det(g_{j{\bar {k}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{j}\partial {\bar {z}}^{k}}})=f\cdot \det(g_{j{\bar {k}}})}$, что является многомерным аналогом исходного уравнения. Гипотеза Калаби утверждает существование и единственность (с точностью до аддитивной константы) гладкого решения этого уравнения на компактном многообразии при условии ${\displaystyle \int _{M}f\omega ^{n}=\int _{M}\omega ^{n}}$.

• Задача оптимального транспорта по Монжу — Канторовичу: Пусть ${\displaystyle (X,\mu )}$ и ${\displaystyle (Y,\nu )}$ — два пространства с вероятностными мерами, и ${\displaystyle c:X\times Y\to \mathbb {R} }$ — функция стоимости. Задача Монжа состоит в нахождении измеримого отображения ${\displaystyle T:X\to Y}$, которое переправляет меру ${\displaystyle \mu }$ в меру ${\displaystyle \nu }$ (т.е. ${\displaystyle \nu (B)=\mu (T^{-1}(B))}$ для всех измеримых ${\displaystyle B\subset Y}$) и минимизирует полную стоимость ${\displaystyle \int _{X}c(x,T(x))d\mu (x)}$. При определенных условиях на функцию стоимости (например, ${\displaystyle c(x,y)=|x-y|^{2}/2}$) и меры, отображение ${\displaystyle T}$ является градиентом некоторой выпуклой функции ${\displaystyle \varphi }$: ${\displaystyle T(x)=\nabla \varphi (x)}$. Условие переправки меры ${\displaystyle \mu }$ в меру ${\displaystyle \nu }$ (известное как условие сохранения массы) приводит к уравнению Монжа — Ампера ${\displaystyle \mu }$-почти всюду:

${\displaystyle \nu (\nabla \varphi (x))\cdot |\det(D^{2}\varphi (x))|=\mu (x)}$. Это уравнение понимается в обобщенном смысле (Александрова), поскольку выпуклая функция ${\displaystyle \varphi }$ может быть не дважды дифференцируемой в классическом смысле. Теория регулярности для таких уравнений является центральной в задаче оптимального транспорта.

• Погорелов А. В. Многомерное уравнение Монжа — Ампера. — Наука, 1988.
• Туницкий Д. В. Уравнения Монжа — Ампера и тензориальные функторы. — 2009.
• Figalli, Alessio. The Monge-Ampère Equation and its Applications. — Zürich: European Mathematical Society (EMS), 2017. — (Zurich Lectures in Advanced Mathematics).