Форма Бовиля — Богомолова

Форма Бови́ля — Богомо́лова (также Бови́ля — Богомо́лова — Фуджи́ки) — квадратичная форма, существующая на вторых когомологиях ${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {C} )}$ компактного гиперкэлерова многообразия. Названа в честь Арно Бовиля и Фёдора Богомолова.

Пусть ${\displaystyle \sigma }$ — образующая в ${\displaystyle H^{2,0}(X,\mathbb {C} )}$, выбранная так, чтобы ${\displaystyle \int _{X}(\sigma {\overline {\sigma }})^{n}=1}$ (то есть симплектическая форма). Тогда всякая 2-форма допускает разложение на ходжевы компоненты: ${\displaystyle \alpha =\lambda \sigma +\mu {\overline {\sigma }}+\beta ;\beta \in H^{1,1}(X)}$. Определим квадратичную форму следующей формулой:

${\displaystyle q(\alpha )=\lambda \mu +n/2\int _{X}\beta ^{2}(\sigma {\overline {\sigma }})^{n-1}}$

1. Пусть ${\displaystyle {\mathfrak {X}}\to B}$ — универсальная локальная деформация ${\displaystyle X}$ (её база ${\displaystyle B}$ будет шаром). Тогда для ${\displaystyle t\in B}$, достаточно близких к ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle q({\sigma }_{t})=0}$, ${\displaystyle q({\sigma }_{t},{\overline {{\sigma }_{t}}})>0}$ (в последней формуле ${\displaystyle q}$ обозначает симметричную билинейную форму, построенную по выше определённой квадратичной форме).
2. Отображение, ставящее точке ${\displaystyle t\in B}$ точку, соответствующую форме ${\displaystyle {\sigma }_{t}}$ в проективизации вторых когомологий ${\displaystyle \mathbb {P} (H^{2}(X,\mathbb {C} ))}$, является, более того, локальным изоморфизмом с множеством нулей формы ${\displaystyle q}$ (локальная теорема Торелли).
3. ${\displaystyle q|_{H^{2}(X,\mathbb {R} )}}$ — невырожденная форма сигнатуры ${\displaystyle (3,b_{2}(X)-3)}$, где ${\displaystyle b_{2}}$ — второе число Бетти.
4. Соотношение Фуджики: если ${\displaystyle \alpha \in H^{2}(X,\mathbb {R} );{q(\alpha )}^{n}=c\int _{X}{\alpha }^{2n}}$, где ${\displaystyle c}$ — некоторая константа, не зависящая от комплексной структуры на ${\displaystyle X}$ (а только от его топологии).

• Global Torelli theorem for hyperkaehler manifolds, Misha Verbitsky