Формула Бине — Коши

Формула Бине́ — Коши́ — теорема об определителе произведения двух прямоугольных матриц, при условии, что оно является квадратной матрицей. Доказана в начале XIX века французскими математиками Ж. Бине и О. Коши.

Произведение двух прямоугольных матриц ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ дает квадратную матрицу порядка ${\displaystyle m}$, если ${\displaystyle A}$ имеет ${\displaystyle n}$ столбцов и ${\displaystyle m}$ строк, а матрица ${\displaystyle B}$ имеет ${\displaystyle m}$ столбцов и ${\displaystyle n}$ строк. Миноры матриц ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ одинакового порядка, равного наименьшему из чисел ${\displaystyle n}$ и ${\displaystyle m}$, называются соответствующими друг другу, если они стоят в столбцах (матрицы ${\displaystyle A}$) и строках (матрицы ${\displaystyle B}$) с одинаковыми номерами.

Определитель матрицы ${\displaystyle AB}$ равен нулю, если ${\displaystyle n<m}$, и равен сумме попарных произведений соответствующих друг другу миноров порядка ${\displaystyle m}$, если ${\displaystyle n\geqslant m}$ (сумма берется по всем наборам столбцов матрицы ${\displaystyle A}$ и строк матрицы ${\displaystyle B}$ с возрастающими номерами ${\displaystyle i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{m}}$)^[1].

• В случае ${\displaystyle n<m}$ формула ${\displaystyle |AB|=0}$ очевидна. Действительно, так как столбцы матрицы ${\displaystyle AB}$ являются линейными комбинациями столбцов матрицы ${\displaystyle A}$, то в случае, когда число столбцов матрицы ${\displaystyle AB}$ больше числа столбцов матрицы ${\displaystyle A}$, матрица ${\displaystyle AB}$, очевидно, является вырожденной (то есть её определитель равен нулю).
• В случае ${\displaystyle n=m}$ формула Бине — Коши принимает хорошо известный вид: ${\displaystyle |AB|=|A|\,|B|}$.
• В случае ${\displaystyle n>m}$ доказательство формулы Бине — Коши более сложно^[1].

Пусть

${\displaystyle A=\left({\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{n}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{n}\\\end{matrix}}\right),\quad B=\left({\begin{matrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\\\vdots &\vdots \\a_{n}&b_{n}\\\end{matrix}}\right).}$

Тогда

${\displaystyle A\,B=\left({\begin{matrix}a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\ldots +a_{n}^{2}&a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\ldots +a_{n}b_{n}\\a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\ldots +a_{n}b_{n}&b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+\ldots +b_{n}^{2}\\\end{matrix}}\right),}$

и соответствующие миноры имеют вид

${\displaystyle \left|{\begin{matrix}a_{i}&b_{i}\\a_{j}&b_{j}\\\end{matrix}}\right|}$

при всех ${\displaystyle i<j}$, принимающих значения от ${\displaystyle 1}$ до ${\displaystyle n}$.

Формула Бине — Коши в этом случае дает равенство

${\displaystyle (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\ldots +a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+\ldots +b_{n}^{2})-(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\ldots +a_{n}b_{n})^{2}=\sum _{i<j}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2},}$

из которого (в случае, когда все ${\displaystyle a_{i}}$ и ${\displaystyle b_{i}}$ являются вещественными числами) вытекает неравенство Коши — Буняковского^[1]:

${\displaystyle (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\ldots +a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+\ldots +b_{n}^{2})\geqslant (a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\ldots +a_{n}b_{n})^{2}.}$

• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1966.
• Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. — М.: Наука, 1984.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — М.: Физматлит, 2009.

• Доказательство теоремы (Лекция В.П. Григорьева, МЭИ)