Формула Кубо

Формула Кубо представляет собой уравнение, которое выражает линейный отклик наблюдаемой величины в зависимости от нестационарного возмущения. Названа в честь Рёго Кубо, который впервые представил формулу в 1957 году^[1][2].

С помощью формулы Кубо можно вычислить зарядовую и спиновую восприимчивости систем электронов как отклик на приложенные электрические и магнитные поля. Также можно рассчитать реакцию на внешние механические силы и вибрации.

Рассмотрим квантовую систему, описываемую (не зависящим от времени) гамильтонианом ${\displaystyle H_{0}}$ . Среднее значение физической величины, описываемое оператором ${\displaystyle {\hat {A}}}$, можно оценить как:

${\displaystyle \langle {\hat {A}}\rangle ={1 \over Z_{0}}\operatorname {Tr} \,[{\hat {\rho _{0}}}{\hat {A}}]={1 \over Z_{0}}\sum _{n}\langle n|{\hat {A}}|n\rangle e^{-\beta E_{n}}}$

${\displaystyle {\hat {\rho _{0}}}=e^{-\beta {\hat {H}}_{0}}=\sum _{n}|n\rangle \langle n|e^{-\beta E_{n}}}$

куда ${\displaystyle Z_{0}=\operatorname {Tr} \,[{\hat {\rho }}_{0}]}$ — статистическая сумма. Предположим теперь, что в момент времени ${\displaystyle t=t_{0}}$ на систему начинает действовать внешнее возмущение. Это возмущение описывается дополнительной временной зависимостью гамильтониана: ${\displaystyle {\hat {H}}(t)={\hat {H}}_{0}+{\hat {V}}(t)\theta (t-t_{0}),}$ где ${\displaystyle \theta (t)}$ — функция Хевисайда, которая равна 1 для положительных моментов времени и 0 в противном случае и ${\displaystyle {\hat {V}}(t)}$ — эрмитово и определено для всех t, таким образом, что для положительного ${\displaystyle t-t_{0}}$, ${\displaystyle {\hat {H}}(t)}$ обладает полным набор действительных собственных значений ${\displaystyle E_{n}(t)\,,}$ но эти собственные значения могут изменяться со временем.

Однако теперь снова можно найти временную эволюцию матрицы плотности ${\displaystyle {\hat {\rho }}(t)}$ из правой части выражения для статистической суммы ${\displaystyle Z(t)=\operatorname {Tr} \,[{\hat {\rho }}(t)],}$ и оценить математическое ожидание как${\displaystyle \langle {\hat {A}}\rangle =\operatorname {Tr} \,[\rho (t)\,{\hat {A}}]/\operatorname {Tr} \,[{\hat {\rho }}(t)].}$

 Временная зависимость состояний ${\displaystyle |n(t)\rangle }$ полностью определяется уравнением Шредингера ${\displaystyle i\partial _{t}|n(t)\rangle ={\hat {H}}(t)|n(t)\rangle ,}$ что соответствует картине Шредингера. Но поскольку ${\displaystyle {\hat {V}}(t)}$ рассматривается как небольшое возмущение, то удобно использовать представление картины взаимодействия, ${\displaystyle |{\hat {n}}(t)\rangle ,}$ в низшем нетривиальном порядке. Зависимость от времени в этом представлении даётся выражением ${\displaystyle |n(t)\rangle =e^{-i{\hat {H}}_{0}t}|{\hat {n}}(t)\rangle =e^{-i{\hat {H}}_{0}t}{\hat {U}}(t,t_{0})|{\hat {n}}(t_{0})\rangle ,}$ где по определению для всех t и ${\displaystyle t_{0}}$, ${\displaystyle |{\hat {n}}(t_{0})\rangle =e^{i{\hat {H}}_{0}t_{0}}|n(t_{0})\rangle }$

В линейном порядке в ${\displaystyle {\hat {V}}(t)}$, получим ${\displaystyle {\hat {U}}(t,t_{0})=1-i\int _{t_{0}}^{t}dt'{\hat {V}}(t')}$ . Таким образом, среднее от ${\displaystyle {\hat {A}}(t)}$ с точностью до линейного порядка по возмущению равно

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\langle {\hat {A}}(t)\rangle &=&\langle {\hat {A}}\rangle _{0}-i\int _{t_{0}}^{t}dt'{1 \over Z_{0}}\sum _{n}e^{-\beta E_{n}}\langle n(t_{0})|{\hat {A}}(t){\hat {V}}(t')-{\hat {V}}(t'){\hat {A}}(t)|n(t_{0})\rangle \\&=&\langle {\hat {A}}\rangle _{0}-i\int _{t_{0}}^{t}dt'\langle [{\hat {A}}(t),{\hat {V}}(t')]\rangle _{0}\end{array}}}$

Угловые скобки ${\displaystyle \langle \rangle _{0}}$ означают равновесное среднее по невозмущённому гамильтониану ${\displaystyle H_{0}.}$ Следовательно, для первого порядка теории возмущения, среднее включает только собственные функции нулевого порядка, что обычно и происходит в теории возмущений. Это устраняет все сложности, которые в противном случае могли бы возникнуть для моментов времени ${\displaystyle t>t_{0}}$.

Вышеприведенное выражение верно для любых операторов. (см. также Вторичное квантование)^[3].