Функции Крылова

Функции Крылова (функции Крылова — Дункана^[1]) — система из четырёх функций, представляющих собой общее решение дифференциального уравнения:

${\displaystyle {\frac {d^{4}y}{dx^{4}}}=ay}$.

(1)

Общее решение уравнения (1) при ${\displaystyle a\geq 0}$ выражается как линейная комбинация четырёх функций:

${\displaystyle y(x)=C_{1}\cdot \operatorname {K} _{1}(\beta x)+C_{2}\cdot \operatorname {K} _{2}(\beta x)+C_{3}\cdot \operatorname {K} _{3}(\beta x)+C_{4}\cdot \operatorname {K} _{4}(\beta x)}$,

где ${\displaystyle \beta ={\sqrt[{4}]{a}}}$.

Обычно в качестве функций ${\displaystyle \operatorname {K} _{1}(x)}$, ${\displaystyle \operatorname {K} _{2}(x)}$, ${\displaystyle \operatorname {K} _{3}(x)}$, ${\displaystyle \operatorname {K} _{4}(x)}$ используются ${\displaystyle e^{x}}$, ${\displaystyle e^{-x}}$, ${\displaystyle \sin x}$ и ${\displaystyle \cos x}$, но в задачах теории упругости используются функции ${\displaystyle \operatorname {K} _{1}(x)}$, ${\displaystyle \operatorname {K} _{2}(x)}$, ${\displaystyle \operatorname {K} _{3}(x)}$, ${\displaystyle \operatorname {K} _{4}(x)}$ специального вида, называемые функциями Крылова в честь математика А. Н. Крылова, который применил эти функции для описания изгиба балки, лежащей на упругом основании^[2]. Иногда их обозначают символами ${\displaystyle \operatorname {S} (x)}$, ${\displaystyle \operatorname {T} (x)}$, ${\displaystyle \operatorname {U} (x)}$, ${\displaystyle \operatorname {V} (x)}$^[3].

Независимо были введены английским учёным У. Дж. Дунканом^[4].

Функции Крылова выражаются следующим образом:^[3]

${\displaystyle \operatorname {K} _{1}(x)={\frac {1}{2}}(\operatorname {ch} x+\cos x)}$,

${\displaystyle \operatorname {K} _{2}(x)={\frac {1}{2}}(\operatorname {sh} x+\sin x)}$,

${\displaystyle \operatorname {K} _{3}(x)={\frac {1}{2}}(\operatorname {ch} x-\cos x)}$,

${\displaystyle \operatorname {K} _{4}(x)={\frac {1}{2}}(\operatorname {sh} x-\sin x)}$.

Основное свойство функций Крылова в том, что производная от любой из них даёт предыдущую:

${\displaystyle \operatorname {K} _{1}(x)=\operatorname {K} _{2}'(x)=\operatorname {K} _{3}''(x)=\operatorname {K} _{4}'''(x)=\operatorname {K} _{1}^{IV}(x)}$.

Кроме того выполнены следующие начальные условия: при ${\displaystyle x=0}$, первая функция равна 1, а все остальные равны 0:

${\displaystyle \operatorname {K} _{1}(0)=1}$, ${\displaystyle \operatorname {K} _{2}(0)=\operatorname {K} _{3}(0)=\operatorname {K} _{4}(0)=0}$.

При ${\displaystyle a<0}$ решение уравнения (1) выражается через функции

${\displaystyle \operatorname {\Phi } _{1}(x)=\operatorname {ch} x\cdot \cos x}$,

${\displaystyle \operatorname {\Phi } _{2}(x)=\operatorname {sh} x\cdot \sin x}$,

${\displaystyle \operatorname {\Phi } _{3}(x)=\operatorname {sh} x\cdot \cos x}$,

${\displaystyle \operatorname {\Phi } _{4}(x)=\operatorname {ch} x\cdot \sin x}$,

которые называются функциями Крылова — Власова^[5] в честь В.З. Власова. Общим решением уравнения (1) при ${\displaystyle a<0}$ является линейная комбинация четырёх функций ${\displaystyle \operatorname {\Phi } _{i}(\beta x)}$ (при ${\displaystyle i=1,2,3,4}$), где ${\displaystyle \beta ={\sqrt[{4}]{-a/4}}}$.

Чаще при решении задач используются различные комбинации функций Крылова — Власова, которые также называют функциями Крылова:^[6][7]

${\displaystyle \operatorname {V} _{1}(x)=\operatorname {ch} x\cdot \cos x=\operatorname {\Phi } _{1}(x)}$,

${\displaystyle \operatorname {V} _{2}(x)={\frac {1}{2}}\left(\operatorname {ch} x\cdot \sin x+\operatorname {sh} x\cdot \cos x\right)={\frac {1}{2}}\left(\operatorname {\Phi } _{4}(x)+\operatorname {\Phi } _{3}(x)\right)}$,

${\displaystyle \operatorname {V} _{3}(x)={\frac {1}{2}}\operatorname {sh} x\cdot \sin x={\frac {1}{2}}\operatorname {\Phi } _{2}(x)}$,

${\displaystyle \operatorname {V} _{4}(x)={\frac {1}{4}}\left(\operatorname {ch} x\cdot \sin x-\operatorname {sh} x\cdot \cos x\right)={\frac {1}{4}}\left(\operatorname {\Phi } _{4}(x)-\operatorname {\Phi } _{3}(x)\right)}$.

Основные свойства функций Крылова в этом случае почти сохраняются:

${\displaystyle \operatorname {V} _{1}(x)=\operatorname {V} _{2}'(x)=\operatorname {V} _{3}''(x)=\operatorname {V} _{4}'''(x)=-{\frac {1}{4}}\operatorname {V} _{1}^{IV}(x)}$.

${\displaystyle \operatorname {V} _{1}(0)=1}$, ${\displaystyle \operatorname {V} _{2}(0)=\operatorname {V} _{3}(0)=\operatorname {V} _{4}(0)=0}$.

• Тригонометрические функции
• Гиперболические функции

• Крылов А. Н. О расчёте балок, лежащих на упругом основании. — Л.: АН СССР, 1931. — 154 с.