Функция Буземана

Функция Буземана — определённый тип функций на метрическом пространстве. Грубо говоря, функцию Буземана можно рассматривать как «расстояние до бесконечно удалённой точки».

Эти функции введены Буземаном при изучении глобальных свойств метрических пространств^[1].  Позже, они были использованы в теории вероятностей для исследования асимптотических перколяций^[2].

Пусть ${\displaystyle (X,d)}$ — метрическое пространство. Назовём лучом кривую ${\displaystyle \gamma \colon [0,\infty )\to X}$, которая минимизирует расстояние везде вдоль своей длины, то есть для всех ${\displaystyle t,t'\in [0,\infty )}$ в естественной параметризации выполняется

${\displaystyle d{\big (}\gamma (t),\gamma (t'){\big )}={\big |}t-t'{\big |}}$.

Функция Буземана для луча γ, ${\displaystyle B_{\gamma }\colon X\to \mathbb {R} }$, определяется как предел

${\displaystyle B_{\gamma }(x)=\lim _{t\to \infty }{\big (}d{\big (}\gamma (t),x{\big )}-t{\big )}}$

• Из неравенства треугольника следует, что

  ${\displaystyle |d(\gamma (t),x)-t|\leq d(\gamma (0),x)}$

для любого ${\displaystyle x\in X}$. В то же время функция

${\displaystyle t\mapsto d(\gamma (t),x)-t}$

невозрастающая. Поэтому функция Буземана всегда определена для любого луча ${\displaystyle \gamma }$.

• При больших ${\displaystyle t}$ и фиксированном ${\displaystyle x}$

  ${\displaystyle d{\big (}\gamma (t),x{\big )}\approx t+B_{\gamma }(x).}$

• В пространстве Лобачевского, линии уровня функций Буземана образуют орисферы.