Функция Доусона

В математике функция Доусона, или интеграл Доусона (названная по имени Генри Гордона Доусона) — неэлементарная функция действительного переменного:

${\displaystyle F(x)=e^{-x^{2}}\int _{0}^{x}e^{t^{2}}\,dt.}$

Общие свойства

• Нечётная функция: ${\displaystyle F(-x)=-F(x)}$.
• Производная: ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}F(x)=1-2xF(x)}$.
• Неопределённый интеграл: ${\displaystyle \int F(x)\,dx={\frac {1}{2}}x^{2}{}_{2}F_{2}\left(1,1;{\frac {3}{2}},2;-x^{2}\right)}$, где ${\displaystyle {}_{2}F_{2}\left(a,b;c,d;z\right)}$ - обобщённая гипергеометрическая функция.
• Является дробной производной обратной экспоненты: ${\displaystyle D^{-1/2}e^{-x}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}F({\sqrt {x}})}$.
• Имеет максимум в точке, являющейся решением уравнения ${\displaystyle 1-{\sqrt {\pi }}e^{-x^{2}}x\,\mathrm {erfi} (x)=0}$: ${\displaystyle F(0,9241388730)=0,541044246}$ (последовательность A133841 в OEIS и последовательность A133842 в OEIS, соответственно).
• Имеет точку перегиба: ${\displaystyle F(1,5019752683)=0,4276866160}$ (последовательность A133843 в OEIS).
• Раскладывается в цепные дроби:

${\displaystyle F(z)={\cfrac {1}{1+{\cfrac {2z^{2}}{3-{\cfrac {4z^{2}}{5+{\cfrac {6z^{2}}{7-{\cfrac {8z^{2}}{9+\cdots }}}}}}}}}}}$

${\displaystyle F(z)={\cfrac {z}{1+2z^{2}-{\cfrac {4z^{2}}{3+2z^{2}-{\cfrac {8z^{2}}{5+2z^{2}-{\cfrac {12z^{2}}{7+2z^{2}-\cdots }}}}}}}}}$

Функция ошибок

Функция Доусона тесно связана с интегралом ошибок erf:

${\displaystyle F(x)={{\sqrt {\pi }} \over 2}e^{-x^{2}}\mathrm {erfi} (x)=-{i{\sqrt {\pi }} \over 2}e^{-x^{2}}\mathrm {erf} (ix)}$

где erfi является мнимой частью функции ошибок, erfi(x) = −i erf(ix).

Асимптотика

Для |x|, близких к нулю, F(x) ≈ x, а для |x| больших, F(x) ≈ 1/(2x). Более точно, вблизи начала координат имеет место разложение в ряд:

${\displaystyle F(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}\,2^{k}}{(2k+1)!!}}\,x^{2k+1}=x-{\frac {2}{3}}x^{3}+{\frac {4}{15}}x^{5}-\cdots }$

${\displaystyle F(x)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {(-2)^{n}}{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n+1)}}\,x^{2n+1}=x-{\frac {2}{3}}x^{3}+{\frac {4}{15}}x^{5}-\dots }$

(этот степенной ряд сходится при всех x) и, около ${\displaystyle +\infty }$, имеется асимптотическое разложение:

${\displaystyle F(x)={\frac {1}{2x}}+{\frac {1}{4x^{3}}}+{\frac {3}{8x^{5}}}+\dots +{\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{2^{n+1}x^{2n+1}}}+o(x^{-2n-2})}$

(которое, напротив, для всех x представляет собой расходящийся ряд).

Альтернативное определение

F(x) удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению

${\displaystyle {\frac {dF}{dx}}+2xF=1}$

с начальным условием F (0) = 0.

Иногда используют другое обозначение для функции Доусона: ${\displaystyle D_{+}(x)=e^{-x^{2}}\int _{0}^{x}e^{t^{2}}\,dt}$, тогда вводят "симметричную" её в нотации: ${\displaystyle D_{-}(x)=e^{x^{2}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt}$ ; в таких обозначениях:

${\displaystyle D_{+}(x)={{\sqrt {\pi }} \over 2}e^{-x^{2}}\mathrm {erfi} (x)}$ и

${\displaystyle D_{-}(x)={{\sqrt {\pi }} \over 2}e^{x^{2}}\mathrm {erf} (x)}$.

• Интеграл Френеля
• Функция ошибок

• Temme, N. M. (2010), «Error Functions, Dawson’s and Fresnel Integrals», in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F. et al., NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0521192255

• Cephes — Библиотека математических функций на C и C++
• Weisstein, Eric W. Интеграл Доусона (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Функция ошибок
• Реализации функции Доусона