Целочисленный квантовый эффект Холла

Целочисленный квантовый эффект Хо́лла (ЦКЭХ)^[2] — мак­ро­ско­пический кван­то­вый эф­фект, про­яв­ляю­щий­ся в кван­то­ва­нии хол­лов­ско­го со­про­тив­ле­ния и ис­чез­но­ве­нии удель­но­го со­про­тив­ле­ния^[3]. Эффект квантования холловского сопротивления или проводимости двумерного электронного газа^[4][5][6] был открыт Клаусом фон Клитцингом совместно с Герхардом Дордой и Майклом Пеппером в 1980 году^[7][4], за что в 1985 году получил Нобелевскую премию^[8].

Является квантово-механической версией классического эффекта Холла^{[К 1]}, который наблюдается в двумерных электронных системах, при достаточно низких температурах и сильных магнитных полях^[10], в которых сопротивление Холла ${\displaystyle R_{xy}}$ демонстрирует ступенчатую зависимость, принимающие определённые постоянные значения на плато равные^[11]:

Квантовый эффект Холла ${\displaystyle R_{xy}={\frac {V_{\text{Холл}}}{I_{\text{к}}}}={\frac {h}{e^{2}\nu }}\,,}$

где ${\displaystyle V_{\text{Холл}}}$ — напряжение Холла, ${\displaystyle I_{\text{к}}}$ — ток канала, ${\displaystyle e}$ — элементарный заряд, а ${\displaystyle h}$ — постоянная Планка. В общем случае множитель ${\displaystyle \nu }$ может принимать значения в целых числах (${\displaystyle \nu =1,2,3,\dots }$). Для графена^[12] были найдены также плато с ${\displaystyle \nu =0,\pm 2,\pm 6,\dots }$. Яркой особенностью целочисленного квантового эффекта Холла является сохранение квантования холловского сопротивления при изменении концентрации электронов или внешнего магнитного поля даже при наличии беспорядка^[13].

В 1957 году в лабораториях Белла Карл Фрош и Линкольн Дерик изготовили первые полевые транзисторы на основе диоксида кремния, а также первые транзисторы, в которых сток и исток были расположены рядом на поверхности^[14]. Впоследствии в 1960 году в Bell Labs группа продемонстрировала работающий МОП-транзистор^[15][16]. Это позволило физикам изучить поведение электронов в почти идеальном двумерном газе^[17]. В МОП-транзисторе электроны проводимости перемещаются в тонком приповерхностном слое, а напряжение «затвора» управляет числом носителей заряда в этом слое. Это позволяет исследователям изучать квантовые эффекты в высокочистых МОП-транзисторах при температурах жидкого гелия^[17].

Целочисленное квантование проводимости Холла было первоначально предсказано исследователями Токийского университета Цунэя Андо, Юкио Мацумото и Ясутада Уэмура в 1975 году на основе приблизительного расчёта, который они сами не считали верным^[18]. В 1978 году исследователи из Университета Гакусюин Дзюнъити Вакабаяси и Синдзи Кавадзи впоследствии наблюдали этот эффект в экспериментах, проведённых на инверсионном слое МОП-транзисторов^[19].

В 1980 году Клаус фон Клитцинг, работая в лаборатории сильных магнитных полей в Гренобле с разработанными Михаэлем Пеппером и Герхардом Дордой образцами МОП-транзисторов на основе кремния, сделал неожиданное открытие. Он показал, что сопротивление Холла точно квантуется. Одновременно продольное сопротивление на этих плато обращалось в нуль, указывая на состояние с бездиссипативным током на краях образца^[20][17]. За это открытие фон Клитцинг был удостоен Нобелевской премии по физике 1985 года^[21]. Связь между точным квантованием и калибровочной инвариантностью была впоследствии предложена Робертом Лафлином^[22], который связал квантованную проводимость с квантованным переносом заряда в зарядовом насосе Лафлина^[23][24]. В 1982 году Д. Таулесс с коллегами предложили связать КЭХ с топологическими инвариантами зон электронной структуры​^[25]. В их работе был введён целочисленный топологический индекс — число Черна, возникающий из интеграла от кривизны Берри по заполненной зоне Бриллюэна, который соответствовал наблюдаемому целому числу ν на холловских плато. Таким образом, квантованная проводимость ${\displaystyle \sigma _{xy}=\nu e^{2}/h}$ интерпретировалась как топологически защищённая характеристика системы, нечувствительная к беспорядку^[26][27][28]. Одновременно Б. Гальперин показал, что на границах образца обязательно существуют однонаправленные бездиссипативные краевые состояния, которые переносят ток при ${\displaystyle \sigma _{xx}=0}$ и связывают целочисленное квантование с условием одновременного зануления продольного сопротивления^[29][30]. Аргументы Лафлина и Таулесса имели изъяны, в частности из-за зависимости результата от определённых граничных условий, и рассматривались не как исчерпывающее объяснение КЭХ, поэтому вполследствии не раз уточнялись. Математически строгое описание КЭХ появилось в 2015 году^[31][27]. В 2016 году за теоретические открытия топологических фазовых переходов и топологических фаз вещества Д. Таулесс получил Нобелевскую премию по физике^[32].

Явление, открытое Холлом в 1879 году, состоит в том, что в проводнике с током, помещённом в магнитное поле, перпендикулярное направлению тока, возникает электрическое поле в направлении, перпендикулярном направлениям тока и магнитного поля. Сила Лоренца F_L=eBv заставляет электроны отклоняться в направлении, перпендикулярном их скорости v. В результате происходит накопление разноимённых зарядов на краях проводника, и между боковыми гранями образца возникнет разность потенциалов V_H, а внутри него — электрическое поле E_H, называемое полем Холла и уравновешивающее силу Лоренца^[34].

Ток через образец равен I=nevS, где n — концентрация электронов, S — площадь поперечного сечения проводника: S=bd, где b — его ширина, d — толщина^[35]. Условие равенства силы Лоренца и силы, вызванной холловским полем, есть eE_H=eV_h/b=evB, откуда следует, что V_H=bvB=IvB/nevd=IB/end=IR_H, где R_H называется холловским сопротивлением. В двумерных системах R_H=B/en_s, где n_s — поверхностная концентрация электронов^[35].

R_H — это отношение возникающей поперечной разности потенциалов к продольному току, R_H=R_xy=V_y/I_x. При этом продольное сопротивление R_L=R_xx=V_x/I_x, слабо зависит от индукции магнитного поля, оставаясь по величине близким к своему значению при B=0^[36].

Проводимость для вырождённого двумерного электронного газа в перпендикулярном магнитном поле ${\displaystyle B}$ описывается классическими формулами Друде — Лоренца^[37]:

${\displaystyle \sigma _{xx}=\sigma _{yy}={\frac {e^{2}n_{s}\tau /m_{e}}{1+\omega _{c}^{2}\tau ^{2}}},\,\sigma _{xy}=-\sigma _{yx}=\omega _{c}\tau \sigma _{xx}\,,}$

где ω_c=eB/m_e — циклотронная частота, e — элементарный заряд, m_e — эффективная масса электрона, τ — время рассеяния. Эти формулы применимы^{[К 2]} при условии слабого магнитного поля (${\displaystyle \omega _{c}\tau \ll 1}$), когда τ не зависит от энергии, а спектр энергии изотропен^[37].

На классические заряженные частицы, движущиеся в магнитном поле, действует сила Лоренца. Эта сила заставляет частицу двигаться по окружности с угловой скоростью ω_c. Согласно квантовой теории частицы, совершающие периодическое движение, обладают только дискретными значениями энергии, поэтому у заряженных частиц в магнитном поле появляются уровни энергии, называемые уровнями Ландау. Энергия k-го уровня, если пренебречь составляющей импульса вдоль напраления магнитного поля ${\displaystyle p_{z}}$ и наличием спина у частицы, определяется выражением^[38]:

${\displaystyle E_{k}=\left(k+{\frac {1}{2}}\right)\hbar \omega _{c}}$.

Двумерный электронный газ^[39] конечной ширины ${\displaystyle -W/2\leq x\leq W/2}$ и длины ${\displaystyle -L/2\leq y\leq L/2}$ в магнитном поле ${\displaystyle B}$ вдоль оси ${\displaystyle z}$ и электрическом поле ${\displaystyle E}$ вдоль ${\displaystyle x}$ испытывает напряжение ${\displaystyle V=EW}$ между границами, что влияет на холловскую проводимость даже в бесстолкновительном пределе ${\displaystyle 1/\tau \to 0}$^[40]. Гамильтониан электрона:

${\displaystyle H={\frac {1}{2m_{e}}}\left(\mathbf {p} -{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)^{2}-eEx}$,

где ${\displaystyle \mathbf {p} =-i\hbar \nabla }$ — оператор импульса, а ${\displaystyle \mathbf {A} =(0,Bx,0)}$ — векторный потенциал в калибровке Ландау^[40]. При ${\displaystyle W,L\to \infty }$ волновые функции осциллятора:

${\displaystyle \psi _{n,k}(x,y)={\frac {1}{\sqrt {L}}}e^{iky}\phi _{n}(x-x_{k})}$,

где ${\displaystyle x_{k}=kl_{H}^{2}-eEl_{H}^{2}/\hbar \omega _{c}}$, ${\displaystyle l_{H}={\sqrt {\hbar c/eB}}}$ — магнитная длина, ${\displaystyle \omega _{c}=eB/m_{e}c}$ — циклотронная частота, а ${\displaystyle \phi _{n}(x)}$ — полином Эрмита. Спектр энергии^[41]:

${\displaystyle E_{n,k}=\hbar \omega _{c}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)+eEl_{H}^{2}k-{\frac {e^{2}E^{2}l_{H}^{2}}{2\hbar \omega _{c}}}}$.

Для конечной ширины ${\displaystyle W}$ края моделируются как потенциальные стенки при ${\displaystyle x=\pm W/2}$, что изменяет спектр энергии и приводит к появлению краевых состояний с волновыми функциями:

${\displaystyle \psi _{s,k}(x,y)=A_{s,k}e^{iky}\left[{\frac {D_{s}\left({\frac {x-x_{k}}{l_{H}/{\sqrt {2}}}}\right)}{D_{s}\left({\frac {-W/2+x_{k}}{l_{H}/{\sqrt {2}}}}\right)}}-{\frac {D_{s}\left(-{\frac {x-x_{k}}{l_{H}/{\sqrt {2}}}}\right)}{D_{s}\left({\frac {W/2+x_{k}}{l_{H}/{\sqrt {2}}}}\right)}}\right]}$,

с энергией^[42]:

${\displaystyle E_{s,k}=\hbar \omega _{c}\left(s+{\frac {1}{2}}\right)+eEl_{H}^{2}k-{\frac {e^{2}E^{2}l_{H}^{2}}{2\hbar \omega _{c}}}}$.

При ${\displaystyle W\gg l_{H}}$ значения ${\displaystyle s}$ почти целые в центре, но изменяются на краях, где формируются краевые состояния, поддерживающие ток вдоль границ^[43].

Холловская проводимость вычисляется путём интегрирования плотности тока по ${\displaystyle x}$ для всех занятых состояний:

${\displaystyle I_{y}=-{\frac {e}{\hbar L}}\sum _{n,k}{\frac {\partial E_{n,k}}{\partial k}}\,n_{F}(E_{n,k}-\mu )}$,

где функция Ферми ${\displaystyle n_{F}(E_{n,k}-\mu )}$ выбирает заполненные состояния^[44].

Энергетический спектр двумерного электронного газа дискретный и каждый энергетический уровень обладает следующим вырождением (число орбит, которые могут принадлежать уровню Ландау):

${\displaystyle N_{H}={\frac {S}{2s_{0}}}={\frac {SeB}{\hbar c}}={\frac {S}{2\pi l_{B}^{2}}}={\frac {BS}{\Phi _{0}}}}$,

где ${\displaystyle \Phi _{0}}$ — квант магнитного потока. Это аналогично плотной упаковке циклотронных орбит в двумерном слое. Эту же величину можно получить, если представить, что из всех частиц двумерного электронного газа, расположенных в интервале энергий, равных ${\displaystyle \hbar \omega _{c}}$ (то есть произведение двумерной плотности состояний ${\displaystyle D_{0}={\frac {m}{\pi \hbar ^{2}}}}$ на энергию ${\displaystyle \hbar \omega _{c}}$), формируется отдельный уровень Ландау. Концентрация электронов в двумерном электронном газе в магнитном поле определяется по формуле ${\displaystyle n_{s}=NN_{H}}$, если уровень Ферми попадает в щель между уровнями Ландау. В общем случае частичное заполнение одного из уровней Ландау характеризуется так называемым фактором заполнения ${\displaystyle \nu ={\frac {n_{s}}{N_{H}}}={\frac {n_{s}h}{eB}}}$ — отношение концентрации двумерного электронного газа к вырождению уровней Ландау. Он может принимать как целые, так и дробные значения^[39].

Число состояний на уровне Ландау при конечной ширине ${\displaystyle W}$ равно ${\displaystyle \sum _{k}={\frac {LW}{2\pi l_{H}^{2}}}}$, и холловская проводимость:

${\displaystyle \sigma _{yx}=-{\frac {e^{2}}{h}}\nu }$,

где ${\displaystyle \nu }$ — фактор заполнения, отражающий число заполненных уровней Ландау^[44].

Роберт Лафлин связывает квантуемую проводимость с калибровочной инвариантностью. При калибровочном преобразовании ${\displaystyle A_{y}\to A_{y}+2\pi \phi /L}$, где ${\displaystyle \phi }$ — магнитный поток, волновой вектор ${\displaystyle k}$ сдвигается ${\displaystyle k\to k-(2\pi e/c\hbar )\phi /L}$. При ${\displaystyle \phi =\phi _{0}=c\hbar /|e|}$ спектр энергии остаётся неизменным, но состояния смещаются на ${\displaystyle 2\pi /L}$, что приводит к полному току^[45]:

${\displaystyle I_{y\phi _{0}}=-{\frac {e\phi _{0}}{h}}\sum _{n}(E_{n,k_{n+1}}-E_{n,-k_{n}})}$,

где суммирование ограничено уровнями Ландау, пересекающими уровень Ферми. В пределе ${\displaystyle L\to \infty }$, ${\displaystyle E_{n,k_{n+1}}-E_{n,-k_{n}}=eV}$, что возвращает к формуле для холловской проводимости. Этот результат демонстрирует, что квантование холловской проводимости обусловлено калибровочной инвариантностью, с краевыми состояниями, поддерживающими квантование при изменении потока^[45].

Альтернативно, сопротивление Холла описывается следующим выражением^[37]:

${\displaystyle \rho _{xy}={\frac {h}{e^{2}}}\cdot {\frac {1}{\nu }}}$,

где ${\displaystyle \nu =2\pi l_{H}^{2}n}$ — фактор заполнения, а ${\displaystyle l_{H}={\sqrt {\hbar /(|e|B)}}}$ — магнитная длина. Эта формула остается справедливой даже при сильных магнитных полях (${\displaystyle \omega _{c}\tau \gg 1}$) и не зависит от беспорядка в системе. При нулевой температуре фактор заполнения ${\displaystyle \nu }$ становится ступенчатой функцией:

${\displaystyle \nu =\sum _{n=0}^{\infty }\Theta (\mu -\hbar \omega _{c}(N+{\frac {1}{2}}))}$,

где ${\displaystyle \mu }$ — химический потенциал, ${\displaystyle \Theta (x)}$ — функция Хевисайда. Такое ступенчатое поведение приводит к наблюдаемым квантованным плато на графиках сопротивления Холла, где ${\displaystyle \rho _{xy}}$ принимает дискретные значения, пропорциональные ${\displaystyle 1/\nu }$, что характеризует целочисленный квантовый эффект Холла^[46].

Экспериментальное наблюдение целочисленного квантового эффекта Холла впервые было продемонстрировано Клаусом фон Клитцингом^[47]. В его эксперименте использовался двумерный электронный газ, созданный в полевом МОП-транзисторе на основе кремния. Измерения проводились при температуре 1,5 К и магнитном поле 18 Т, с изменением концентрации электронов с помощью напряжения на затворе^[48]. Сопротивление Холла ${\displaystyle \rho _{xy}}$ показало квантованные плато, соответствующие целым значениям ${\displaystyle k}$, таким что^[47]:

${\displaystyle \rho _{xy}={\frac {h}{e^{2}k}}}$,

при этом продольное сопротивление ${\displaystyle \rho _{xx}}$ обращалось в ноль на этих плато, что указывало на отсутствие диссипативного переноса^[48].

Уже первая работа по квантовому эффекту Холла — «Новый метод определения постоянной тонкой структуры с высокой точностью по квантованию холловского сопротивления» — показала, что возможно его применение в качестве стандарта сопротивления^[7]. Дальнейшие эксперименты, проведённые Цуи и Госсардом, подтвердили эти результаты в гетероструктурах GaAs/AlGaAs при 4,2 К и магнитных полях до 10 Т. Квантование сопротивления достигло точности порядка ${\displaystyle 10^{-5}}$, а позднее — ${\displaystyle 10^{-8}}$. Квантовый эффект Холла наблюдался на графене при комнатной температуре благодаря большим энергетическим промежуткам между уровнями Ландау, порядка ${\displaystyle 10^{3}}$ К^[49]. В настоящее время известно, что значения квантованного сопротивления Холла не зависят от качества образца и его материала. Поэтому, начиная с 1990 года, калибровки сопротивлений основаны на КЭХ с фиксированным значением R_K-90 = 25 812,807 Ω^[50]. Однако после переопределения основных физических констант в 2019 году значение кванта электрического сопротивления составляет R_K = h/e² = 25 812,80745 Ω.^[51]

Двумерный электронный газ может формироваться в различных структурах. В кремниевых МОП-транзисторах положительное напряжение на затворе притягивает электроны к границе раздела кремния и диоксида кремния, образуя 2DEG. Электроны занимают только нижнюю подзону зоны проводимости, что обеспечивает двумерный характер проводимости, необходимый для наблюдения квантового эффекта Холла. В гетероструктурах GaAs/AlGaAs разница в ширине запрещенной зоны вызывает накопление электронов на границе раздела, где они ограничены потенциальной ямой и занимают только нижнюю подзону^[52].

Двумерный электронный газ в магнитном поле, окружённый диэлектрическими слоями с атомами примесей, испытывает рассеяние на случайном двумерном потенциале, создаваемом этими примесями. Это рассеяние приводит к конечному значению сопротивления ${\displaystyle \rho _{xx}}$. Примеси моделируются как одинаковые δ-центры, распределённые в фиксированных позициях, искажающие спектр электронов за счёт изменения уровней Ландау^[53]. В случае редких примесей их число меньше числа доступных состояний на уровне Ландау, из-за чего часть состояний остаётся на уровне Ландау, а остальные отщепляются, образуя дискретные состояния, связанные с примесями^[54]. Энергия отщепленных состояний зависит от силы примеси и расстояния до слоя 2DEG, и её можно аппроксимировать с использованием функций Грина. Для слабых примесей отщеплённые состояния находятся рядом с уровнями Ландау, немного выше исходных значений, и определяются параметрами примесного потенциала и магнитной длиной. В случае конечного радиуса взаимодействия примеси появляется дополнительное количество отщеплённых состояний, плотность которых можно оценить, учитывая зависимость от магнитной длины и концентрации примесей^[55]. Холловская проводимость остаётся неизменной при наличии примесей, несмотря на уменьшение числа токонесущих состояний, так как вклад оставшихся состояний увеличивается для компенсации. Такое сохранение холловской проводимости при рассеянии на примесях подчёркивает баланс в транспортных свойствах системы, несмотря на изменения плотности состояний, вызванные примесями^[56].

Случайный потенциал в двумерной системе с магнитным полем можно разделить на три составляющие: потенциал с большим корреляционным радиусом ${\displaystyle V_{w}}$, рассеянный потенциал ${\displaystyle V_{scat}}$ с малым радиусом взаимодействия и плавный потенциал ${\displaystyle V_{s}}$, который изменяется медленно^[57]. Плавный потенциал приводит к дрейфу центра орбиты электрона по эквипотенциальным линиям с классической скоростью ${\displaystyle v_{d}=|\nabla V_{s}|/m_{e}\omega _{c}}$, направленной строго в одну сторону благодаря магнитному полю^[58]. Каждое состояние на уровне Ландау в приближении занимает площадь ${\displaystyle 2\pi l_{H}^{2}}$, а плотность состояний определяется с учётом случайных флуктуаций потенциала^[59]. Введение случайного плавного потенциала приводит к образованию закрашенных областей, ограниченных эквипотенциальными линиями, соответствующими разным энергиям. В зависимости от замкнутости этих линий состояния могут быть локализованными или делокализованными, при этом делокализованные состояния существуют лишь при определённой энергии ${\displaystyle \varepsilon _{c}}$, что описывается моделью перколяции. При энергии ${\displaystyle \varepsilon \rightarrow \varepsilon _{c}}$ корреляционная длина ${\displaystyle \xi _{cl}\approx |\varepsilon -\varepsilon _{c}|^{-\nu _{cl}}}$, где индекс ${\displaystyle \nu _{cl}=4/3}$, характеризует размер связанных областей^[60]. Эффект туннелирования между эквипотенциальными линиями становится значимым, когда они подходят друг к другу на расстояние порядка ${\displaystyle l_{H}}$. Для таких состояний используется трансфер-матрица, описывающая вероятности прохождения и отражения. Применение квантового туннелирования увеличивает корреляционную длину до ${\displaystyle \xi \approx |V_{0}-\varepsilon |^{-\nu _{q}}}$ с критическим индексом ${\displaystyle \nu _{q}=7/3}$^[61].

Квантование холловской проводимости (${\displaystyle G_{xy}=1/R_{xy}}$) обладает важным свойством быть чрезвычайно точным^[62]. Было обнаружено, что фактические измерения проводимости Холла являются целыми или дробными величинами, кратными ${\displaystyle {\tfrac {e^{2}}{h}}}$ лучше, чем одна часть на миллиард^[63]. Это позволило определить новую практическую стандартную единицу для электрического сопротивления, основанную на кванте сопротивления, заданном константой фон Клитцинга ${\displaystyle R_{K}}$. Квантовый эффект Холла также обеспечивает чрезвычайно точное независимое определение постоянной тонкой структуры, величины, имеющей фундаментальное значение в квантовой электродинамике.

В 1990 году фиксированное условное значение ${\displaystyle R_{K-90}}$, равное 25 812,807 Ω, было определено для использования в калибровках сопротивления по всему миру. 16 ноября 2018 года 26-е заседание Генеральной конференции по мерам и весам приняло решение зафиксировать точные значения ${\displaystyle h}$ (постоянной Планка) и ${\displaystyle e}$ (элементарного заряда)^[64], и, соответственно, равное R_K = h/e² = 25 812,80745 Ω.^[51]

Комментарии

Источники

• Квантовый эффект Холла в двумерных системах Архивная копия от 31 августа 2004 на Wayback Machine — научно-популярная статья в электронном журнале МИФ, № 2, (1998—1999).
• Квазичастицы с удивительными свойствами в твёрдых телах Архивная копия от 7 мая 2013 на Wayback Machine — научно-популярная лекция на Элементы.ру
• Tong, D. (2016), Lectures on the Quantum Hall Effect, arXiv, Дата обращения: 3 мая 2025 {{citation}}: Проверьте значение |author= (справка)Википедия:Обслуживание CS1 (множественные имена: authors list) (ссылка)
• Goerbig, M. O. (2009), Quantum Hall Effects, arXiv, Дата обращения: 3 мая 2025