Центр Штейнера

Центр Штейнера — центр тяжести кривизны Гаусса поверхности тела.

Пусть ${\displaystyle K\subset \mathbb {R} ^{n}}$ — выпуклое тело и ${\displaystyle h_{K,p}}$ его опорная функция с центром в точке ${\displaystyle p}$. Точка ${\displaystyle p}$ является центром Штейнера тела ${\displaystyle K}$ если

${\displaystyle \int \limits _{\,u\in \mathbb {S} ^{n-1}\,}h_{K,p}(u)\cdot u=0.}$

Пусть ${\displaystyle k(K)}$ обозначает центр Штейнера тела ${\displaystyle K}$.

• Центр Штейнера существует и единственнен для любого выпуклого тела.

• Центр Штейнера суммы Минковского двух тел есть сумма центров этих тел. То есть

  ${\displaystyle k(K_{1}+K_{2})=k(K_{1})+k(K_{2}).}$

• Отображение ${\displaystyle K\mapsto k(K)}$ липшицево относительно метрики Хаусдорфа; то есть существует константа ${\displaystyle L_{n}}$ такая, что

  ${\displaystyle |k(K_{1})-k(K_{2})|\leq L_{n}\cdot |K_{1}-K_{2}|_{H},}$

где ${\displaystyle |K_{1}-K_{2}|_{H},}$ обозначает расстояние Хаусдорфа от ${\displaystyle K_{1}}$ до ${\displaystyle K_{2}}$.

• Константа ${\displaystyle L_{n}}$ наименьшая для всех возможных выборов центров ${\displaystyle k(K)\in K}$.^[1]
• ${\displaystyle L_{1}=1}$, ${\displaystyle L_{2}={\tfrac {1}{\pi }}}$, ${\displaystyle L_{3}={\tfrac {3}{2}}}$. В общем случае,

${\displaystyle L_{n}={\tfrac {2}{\sqrt {\pi }}}\cdot {\frac {\Gamma ({\tfrac {n}{2}}+1)}{\Gamma ({\tfrac {n}{2}}+{\tfrac {1}{2}})}},}$

где ${\displaystyle \Gamma }$ обозначает гамма-функцию.

• Точка Штейнера — одна из замечательных точек треугольника.

• Грюнбаум Б. Этюды по комбинаторной геометрии и теории выпуклых тел. — 1971.