Эрдёш, Пал

Пал Э́рдёш^[13] (венг. Erdős Pál; 26 марта 1913, Будапешт — 20 сентября 1996, Варшава) — венгерский математик, один из наиболее продуктивных математиков XX века. Работал в самых разных областях современной математики: комбинаторика, теория графов, теория чисел, математический анализ, теория приближений, теория множеств и теория вероятностей. Лауреат множества математических наград, включая премию Вольфа (1983/1984). Основатель премии Эрдёша.

Количество написанных им научных статей, как и число соавторов этих статей, не имеет аналогов среди современных ему математиков (более 1400)^[14].

Родился в Будапеште (тогда Австро-Венгерская империя) и был старшим ребёнком в образованной еврейской семье. Его родители получили математическое образование и работали учителями. Мать — Анна (Йоханна) Вильгельм (1880—1971), родом из Поважска-Бистрицы, — некоторое время была директором школы (1919—1920), отец — Лайош Эрдёш (до политики мадьяризации имён — Энгландер, 1879—1942) — был призван в действующую армию в годы Первой мировой войны, попал в плен на русском фронте и провёл несколько лет в плену в Сибири^[15].

Ещё в раннем детстве проявил выдающиеся математические способности, в четырёхлетнем возрасте перемножая в уме четырёхзначные числа. В школьные годы неоднократно выигрывал математические олимпиады. В 1930 году поступил в Будапештский университет. В возрасте 19 лет нашёл альтернативное доказательство постулата Бертрана, гораздо более простое, чем ранее известные. Спустя 4 года после поступления в университет не только досрочно окончил обучение, но и защитил диссертацию. В Венгрии, как и в соседней Германии, набирал силу антисемитизм, поэтому в 1934 году принял приглашение переехать в Великобританию и занять должность в Манчестерском университете^[16].

В 1938 году уехал в США, около года работал в принстонском Институте перспективных исследований, затем перешёл в Пенсильванский университет. Не получил американского гражданства, но с началом маккартизма заслужил репутацию политически подозрительной личности; в результате после Международного конгресса математиков в Амстердаме (1954 год) ему запретили въезд в США. Эрдёш перешёл в израильский Технион, где провёл более десяти лет^[17].

В дальнейшем проводил жизнь в постоянных путешествиях по миру. Неутомимо работал до последнего дня. По отзывам друзей, учёный злоупотреблял крепким кофе и амфетаминами. Умер от сердечного приступа во время конференции в Польше, в кармане у него был билет на самолёт до Вильнюса, где должна была состояться его следующая конференция. Похоронен вместе с отцом и сестрой в Будапеште на Еврейском кладбище на улице Козма^[18].

Член Венгерской академии наук и Нидерландской королевской академии наук, Американской академии искусств и наук (1974), иностранный член НАН США (1980) и Лондонского королевского общества (1989). Подписал «Предупреждение учёных человечеству» (1992)^[19].

Начиная с конца 1930-х годов и до самой смерти стиль жизни Эрдёша можно охарактеризовать как «странствующий математик»: он путешествовал между научными конференциями и домами коллег по всему миру, появлялся на пороге со словами «мой мозг открыт» и оставался на время, необходимое для совместной подготовки нескольких статей, чтобы уехать дальше ещё через несколько дней. Щедро делился с окружающими своими математическими идеями и сам легко откликался на чужие идеи. Большинство статей написал с соавторами, общее количество которых было около пяти сотен. Традиционно в математике совместная статья является скорее исключением, чем правилом, в связи с чем этот феномен породил шуточный наукометрический показатель «число Эрдёша» (длина кратчайшего пути от автора до Эрдёша по совместным публикациям).

До конца жизни говорил по-английски с сильным венгерским акцентом до такой степени, что в любой части света венгры безошибочно определяли соотечественника, даже издалека услышав его английскую речь^[20].

На вопрос журналиста, не слишком ли он пессимистичен, Эрдёш ответил, что в нашей судьбе пессимистично только одно: «Человек живёт недолго и надолго умирает»^[21].

Будучи агностиком-атеистом, он, тем не менее, утверждал существования «Книги» (The Book) — сущности, в которой Бог записал самые лучшие, наиболее элегантные доказательства математических теорем. Выступая с лекцией в 1985 году, он сказал: «Вы не обязаны верить в Бога, но вы должны верить в Книгу». Эрдёш сомневался в существовании Бога, в шутку он называл его SF (сокращение от "Supreme Fascist", т. е. «Верховный Фашист»), обвиняя его в том, что тот прячет его носки и венгерские паспорта, а также оставляет самые элегантные математические доказательства при себе. Когда он видел особенно красивое математическое доказательство, он восклицал: «Это из Книги!» Позже это вдохновило на создание книги под названием «Доказательства из Книги».

Ниже указаны лишь некоторые результаты Эрдёша.

• Доказал, что существует такое число ${\displaystyle c<1}$, что для бесконечно многих простых чисел ${\displaystyle p}$ выполняется неравенство ${\displaystyle p'-p<c\log p}$, где ${\displaystyle p'}$— следующее простое число.
• Доказал, что для любой константы ${\displaystyle c>0}$ существует бесконечно много простых чисел ${\displaystyle p}$, таких что

${\displaystyle p'-p>c{\frac {\log p\log \log p}{(\log \log \log p)^{2}}}}$.

• Получил (параллельно с А. Сельбергом и независимо от него) первое элементарное доказательство асимптотического закона распределения простых чисел.
• Дал краткое доказательство расходимости ряда ${\displaystyle \sum \limits _{p}{\frac {1}{p}}}$ (с суммированием по всем простым) элементарными методами^[22].

• Доказал, что для ${\displaystyle 4\leq k<n}$ и ${\displaystyle l\geq 2}$ уравнение ${\displaystyle C_{n}^{k}=m^{l}}$ не имеет решений в целых числах.
• В арифметической комбинаторике получил первые результаты по теореме сумм-произведений^[23], а в аддитивной комбинаторике впервые поставил вопросы, касающиеся множества разностей выпуклых множеств^[24].

• Вероятностный метод

• Вместе с Дьёрдем Секерешем для диагональных чисел Рамсея доказал неравенство

${\displaystyle (1+o(1)){\frac {s2^{s/2}}{{\sqrt {2}}e}}\leq R(s,s)\leq (1+o(1)){\frac {4^{s-1}}{\sqrt {\pi s}}}.}$.

• Теорема Эрдёша — Радо — обобщение теоремы Рамсея на бесконечные множества.

• Теорема Эрдёша — Секереша: всякая последовательность различных вещественных чисел длины ${\displaystyle (a-1)(b-1)+1}$ содержит возрастающую подпоследовательность длины ${\displaystyle a}$ или убывающую длины ${\displaystyle b}$.

• Теорема де Брёйна — Эрдёша — проективный аналог теоремы Сильвестра.
• Теорема Эрдёша — Эннинга — утверждение о том, что бесконечное множество точек на плоскости может иметь целые расстояния между точками множества лишь когда все точки лежат на одной прямой.
• Теорема Эрдёша — Сёкефальви-Надя — утверждение о том, что многоугольник без самопересечений может быть преобразован в выпуклый многоугольник посредством конечного числа зеркальных отражений компонент связности выпуклой оболочки («карманов»).

Значительную часть наследия Эрдёша составляют сотни сформулированных им открытых задач, за решение которых он назначал денежные призы. Работа над ними продолжается с использованием цифровых платформ (например, проекта «Erdős Problems») и методов искусственного интеллекта.

В январе 2026 года получил известность случай с открытой задачей 1975 года, касающейся делимости факториалов (в базе данных — «Задача 728»). Использование больших языковых моделей позволило обнаружить решение в существующей научной литературе, которое ранее оставалось незамеченным. Филдсовский лауреат Теренс Тао отметил этот случай как важный пример изменения формата научной работы. По мнению Тао, современные инструменты позволяют не только автоматизировать поиск, но и перешли к «динамическому» созданию научных текстов, где ИИ помогает адаптировать доказательства для разного уровня понимания, сохраняя при этом строгость аргументации^[25][26].

• 1945 — Стипендия Гуггенхайма^[27]
• 1946 — Стипендия Гуггенхайма
• 1951 — Премия Коула по теории чисел
• 1957 — Премия имени Кошута
• 1983 — Государственная премия Венгрии
• 1983/84 — Премия Вольфа по математике
• 1991 — Золотая медаль Венгерской академии наук

• Список математических утверждений и объектов, названных в честь Эрдёша

• Руэ, Хуанхо. Вечный странник // Искусство подсчёта. Комбинаторика и перечисление (глава 3). — М.: Де Агостини, 2014. — 144 с. — (Мир математики: в 45 томах, том 34). — ISBN 978-5-9774-0729-8.
• Мартин Айгнер, Гюнтер Циглер. Доказательства из книги. — М.: Мир, 2006. — 255 с. — ISBN 5-03-003690-3.

• Волков М. В. Пол Эрдёш: необычная жизнь и необычайная математика // МИФ. — 1998—1999. — № 2.
• Джон Дж. О’Коннор и Эдмунд Ф. Робертсон. Эрдёш, Пал (англ.) — биография в архиве MacTutor.
•  N — это число — документальный фильм об Эрдёше (1993), режиссёр — Джордж Пол Ксиксери