Эта-функция Дедекинда

Эта-функция Дедекинда — модулярная форма с весом 1/2, определённая на верхней комплексной полуплоскости:

${\displaystyle \eta (\tau )=e^{\frac {\pi i\tau }{12}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-e^{2n\pi i\tau }\right)}$.

Названа в честь Рихарда Дедекинда; находит применение как в теории эллиптических функций, так и в ряде приложений, в частности, используется в теории бозонных струн.

Для сокращённой записи часто используется замена ${\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }}$, в этом случае определение функции выражается следующим образом:

${\displaystyle \eta (\tau )=q^{\frac {1}{24}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-q^{n}\right)}$.

Возведение выражения эта-функции в 24-ю степень и умножение на ${\displaystyle 2\pi ^{12}}$ даёт:

${\displaystyle \Delta (\tau )=(2\pi )^{12}\eta ^{24}(\tau )}$,

где ${\displaystyle \Delta }$ — модулярный дискриминант. Присутствие числа 24 может быть объяснено, в частности, связью с 24-мерной решёткой Лича .

Эта-функция голоморфна на верхней полуплоскости, но не может быть аналитически продолжена за её пределы.

Функция удовлетворяет следующим функциональным уравнениям^[1]:

${\displaystyle \eta (\tau +1)=e^{\frac {\pi i}{12}}\eta (\tau )}$,

${\displaystyle \eta \left(-{\frac {1}{\tau }}\right)={\sqrt {-i\tau }}\,\eta (\tau )}$.

Во втором уравнении ветвь квадратного корня выбирается таким образом, что ${\displaystyle {\sqrt {-i\tau }}=1}$ при ${\displaystyle \tau =i}$.

Для ${\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {Z} }$ таковых, что ${\displaystyle ad-bc=1}$, притом либо ${\displaystyle c>0}$, либо ${\displaystyle c=0}$ и ${\displaystyle d=1}$ преобразование:

${\displaystyle \tau \mapsto {\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}}$

принадлежит модулярной группе; тогда:

${\displaystyle \eta \left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=\epsilon (a,b,c,d)\left(c\tau +d\right)^{\frac {1}{2}}\eta (\tau )}$,

где:

${\displaystyle \epsilon (a,b,c,d)={\begin{cases}e^{\frac {bi\pi }{12}}&c=0,\,d=1,\\e^{i\pi \left({\frac {a+d}{12c}}-s(d,c)-{\frac {1}{4}}\right)}&c>0.\end{cases}}}$

Здесь ${\displaystyle s(h,k)}$ — сумма Дедекинда:

${\displaystyle s(h,k)=\sum _{n=1}^{k-1}{\frac {n}{k}}\left({\frac {hn}{k}}-\left\lfloor {\frac {hn}{k}}\right\rfloor -{\frac {1}{2}}\right)}$.

Эти функциональные уравнения показывают, что эта-функция является модулярной формой веса 1/2 и уровня 1 для определённого характера метаплектического двойного покрытия порядка 24 модулярной группы, и может быть использована для определения других модулярных форм. В частности, модулярный дискриминант эллиптической функции Вейерштрасса:

${\displaystyle \omega _{2}=\tau \omega _{1}}$

можно определить как:

${\displaystyle \Delta (\tau )=(2\pi \omega _{1})^{12}\eta (\tau )^{24}}$,

что является модулярной формой с весом 12. Иногда опускают множитель ${\displaystyle 2\pi ^{12}}$, чтобы разложение в ряд имело целые коэффициенты.

Из тройного произведения Якоби следует, что эта-функция (с точностью до множителя) является тета-функцией Якоби для специальных значений аргументов^[2]:

${\displaystyle \eta (\tau )=\sum _{n=1}^{\infty }\chi (n)\exp \left({\frac {\pi in^{2}\tau }{12}}\right)}$.

где ${\displaystyle \chi (n)}$ — характер Дирихле по модулю 12, при этом ${\displaystyle \chi (\pm 1)=1}$ и ${\displaystyle \chi (\pm 5)=-1}$. В явном виде:

${\displaystyle \eta (\tau )=e^{\frac {\pi i\tau }{12}}\vartheta \left({\frac {\tau +1}{2}};3\tau \right).}$

Функция Эйлера:

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi (q)&=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-q^{n}\right)\\&=q^{-{\frac {1}{24}}}\eta (\tau ),\end{aligned}}}$

имеет степенной ряд в силу тождества Эйлера:

${\displaystyle \phi (q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{\frac {3n^{2}-n}{2}}}$.

Используя теорему Эйлера о пятиугольных числах для ${\displaystyle {\mathfrak {I}}(\tau )>0}$ эта-функция может быть выражена как:

${\displaystyle \eta (\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi in}e^{3\pi i\left(n+{\frac {1}{6}}\right)^{2}\tau }}$,

это доказывается подстановкой ${\displaystyle x=2\pi i\tau }$ в теореме Эйлера о пятиугольных числах с определением эта-функции.

Другой способ обнаружить эта-функцию — следующий предел:

${\displaystyle \lim _{z\to 0}{\frac {\vartheta _{1}(z|\tau )}{z}}=2\pi \eta ^{3}(\tau )}$,

или, что аналогично:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}(2n+1)q^{\frac {(2n+1)^{2}}{8}}=\eta ^{3}(\tau )}$,

где ${\displaystyle \vartheta _{1}(z|\tau )}$ — тета-функция Якоби и ${\displaystyle \vartheta _{1}(z|\tau )=-\vartheta _{11}(z;\tau )}$.

Поскольку эта-функцию легко вычислить численно из степенного ряда, при вычислениях часто бывает полезно выражать через неё другие функции, если это возможно. Кроме того, произведения и отношения эта-функций, называемые эта-частными, могут быть использованы для выражения большого разнообразия модулярных форм.

Теория алгебраических характеров аффинных алгебр Ли порождает большой класс ранее неизвестных тождеств для эта-функции. Эти тождества следуют из формулы характеров Вейля — Каца, а точнее, из так называемых «тождеств знаменателей». Сами характеры позволяют строить обобщения тета-функции Якоби, преобразующиеся под действием модулярной группы; это и приводит к таким тождествам. Примером одного из таких новых тождеств^[3] является:

${\displaystyle \eta (8\tau )\eta (16\tau )=\sum _{m,n\in \mathbb {Z} \atop m\leq |3n|}(-1)^{m}q^{(2m+1)^{2}-32n^{2}}}$

где ${\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }}$ — ${\displaystyle q}$ -аналог или «деформация» наибольшего веса модуля.

Из связи с функцией Эйлера и знания её частных значений следует:

${\displaystyle {\begin{aligned}\eta (i)&={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2\pi ^{\frac {3}{4}}}}\\[6pt]\eta \left({\tfrac {1}{2}}i\right)&={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{\frac {7}{8}}\pi ^{\frac {3}{4}}}}\\[6pt]\eta (2i)&={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{\frac {11}{8}}\pi ^{\frac {3}{4}}}}\\[6pt]\eta (3i)&={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2{\sqrt[{3}]{3}}\left(3+2{\sqrt {3}}\right)^{\frac {1}{12}}\pi ^{\frac {3}{4}}}}\\[6pt]\eta (4i)&={\frac {{\sqrt[{4}]{-1+{\sqrt {2}}}}\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{\frac {29}{16}}\pi ^{\frac {3}{4}}}}\\[6pt]\eta \left(e^{\frac {2\pi i}{3}}\right)&=e^{-{\frac {\pi i}{24}}}{\frac {{\sqrt[{8}]{3}}\,\Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)^{\frac {3}{2}}}{2\pi }}\end{aligned}}}$

Эта-частные определяются частными вида:

${\displaystyle \prod _{0<d\mid N}\eta (d\tau )^{r_{d}}}$

где ${\displaystyle d}$ — неотрицательное целое число, а ${\displaystyle r_{d}}$ — любое целое число. Линейные комбинации эта-частных при мнимых квадратичных аргументах могут быть алгебраическими, а комбинации эта-частных могут быть даже целыми. Например, для:

${\displaystyle {\begin{aligned}j(\tau )&=\left(\left({\frac {\eta (\tau )}{\eta (2\tau )}}\right)^{8}+2^{8}\left({\frac {\eta (2\tau )}{\eta (\tau )}}\right)^{16}\right)^{3}\\j_{2A}(\tau )&=\left(\left({\frac {\eta (\tau )}{\eta (2\tau )}}\right)^{12}+2^{6}\left({\frac {\eta (2\tau )}{\eta (\tau )}}\right)^{12}\right)^{2}\\j_{3A}(\tau )&=\left(\left({\frac {\eta (\tau )}{\eta (3\tau )}}\right)^{6}+3^{3}\left({\frac {\eta (3\tau )}{\eta (\tau )}}\right)^{6}\right)^{2}\\j_{4A}(\tau )&=\left(\left({\frac {\eta (\tau )}{\eta (4\tau )}}\right)^{4}+4^{2}\left({\frac {\eta (4\tau )}{\eta (\tau )}}\right)^{4}\right)^{2}=\left({\frac {\eta ^{2}(2\tau )}{\eta (\tau )\,\eta (4\tau )}}\right)^{24}\end{aligned}}}$

с 24-й степенью модулярной функции Вебера ${\displaystyle {\mathfrak {f}}(\tau )}$ имеет место:

${\displaystyle {\begin{aligned}j\left({\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}\right)&=-640320^{3},&e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx 640320^{3}+743.99999999999925\dots \\j_{2A}\left({\frac {\sqrt {-58}}{2}}\right)&=396^{4},&e^{\pi {\sqrt {58}}}&\approx 396^{4}-104.00000017\dots \\j_{3A}\left({\frac {1+{\sqrt {-{\frac {89}{3}}}}}{2}}\right)&=-300^{3},&e^{\pi {\sqrt {\frac {89}{3}}}}&\approx 300^{3}+41.999971\dots \\j_{4A}\left({\frac {\sqrt {-7}}{2}}\right)&=2^{12},&e^{\pi {\sqrt {7}}}&\approx 2^{12}-24.06\dots \end{aligned}}}$

и дальнейшие значения, появляющиеся в рядах Рамануджана — Сато.

Эта-частные также могут быть полезным инструментом для описания базисов модулярных форм, которые трудно вычислить и выразить напрямую. В 1959 году Моррис Ньюман доказал, что если эта-частное ${\displaystyle \eta _{g}}$ имеет вид:

${\displaystyle \prod _{0<d\mid N}\eta (d\tau )^{r_{d}}}$

и выполняется:

${\displaystyle \sum _{0<d\mid N}dr_{d}\equiv 0{\pmod {24}}}$ и

${\displaystyle \quad \sum _{0<d\mid N}{\frac {N}{d}}r_{d}\equiv 0{\pmod {24}}}$,

тогда ${\displaystyle \eta _{g}}$ является модулярной формой веса ${\displaystyle k}$ для конгруэнтной подгруппы ${\displaystyle \Gamma _{0}(N)}$ (с точностью до голоморфности), где^[4]:

${\displaystyle k={\frac {1}{2}}\sum _{0<d\mid N}r_{d}}$.

Этот результат был улучшен в 2019 году таким образом, что обратное справедливо для случаев, когда ${\displaystyle N}$ взаимно просто с 6. Остаётся открытым вопрос о строгости исходной теоремы для всех целых чисел ${\displaystyle N}$^[5]. Это также распространяется на утверждение, что любое модулярное эта-частное для любой подгруппы конгруэнтности уровня ${\displaystyle n}$ также должно быть модулярной формой для группы ${\displaystyle \Gamma (N)}$. Хотя эти теоремы характеризуют модулярные эта-частные, условие голоморфности должно быть проверено отдельно^[6][7]: если ${\displaystyle \eta _{g}}$ — эта-частное, удовлетворяющее соответствующим условиям для целого числа ${\displaystyle N}$, а ${\displaystyle c}$ и ${\displaystyle d}$ — взаимно простые целые числа, то порядок исчезновения в точке возврата равен:

${\displaystyle {\frac {N}{24}}\sum _{0<\delta |N}{\frac {\gcd \left(d,\delta \right)^{2}r_{\delta }}{\gcd \left(d,{\frac {N}{d}}\right)d\delta }}}$.

Эти теоремы дают эффективный способ создания голоморфных модулярных эта-частных, однако этого может быть недостаточно для построения базиса векторного пространства модулярных форм и касп-форм. Полезная теорема об ограничении числа рассматриваемых модулярных эта-частных утверждает, что голоморфное модулярное эта-частное с весом ${\displaystyle k}$ на ${\displaystyle \Gamma _{0}(N)}$ должно удовлетворять:

${\displaystyle \sum _{0<d\mid N}|r_{d}|\leqslant \prod _{p\mid N}\left({\frac {p+1}{p-1}}\right)^{\min {\bigl (}2,{\text{ord}}_{p}(N){\bigr )}}}$,

где ${\displaystyle \operatorname {ord} _{p}(N)}$ обозначает наибольшее целое число ${\displaystyle m}$ такое, что ${\displaystyle p^{m}}$ делит ${\displaystyle N}$.

• Apostol T. M. Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory (англ.). — 2nd. — Springer-Verlag, 1990. — Vol. 41. — ISBN 3-540-97127-0.
• Koblitz N. Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms (англ.). — 2nd. — Springer-Verlag, 1993. — Vol. 97. — ISBN 3-540-97966-2.
• Воскресенская Г. В. Эта-функция Дедекинда в современных исследованиях // Итоги науки и техники. Современная математика и её приложения. — ВИНИТИ, 2017. — Т. 136. — С. 103—137.