Эффективная оценка

Эффекти́вная оце́нка в математической статистике — наилучшая оценка в классе ${\displaystyle \mathrm {K} }$ в среднеквадратичном смысле.^[1]

Оценка ${\displaystyle {\widehat {\theta }}_{1}\in \mathrm {K} }$ параметра ${\displaystyle \theta }$ называется эффективной оценкой в классе ${\displaystyle \mathrm {K} }$, если для любой другой оценки ${\displaystyle {\widehat {\theta }}_{2}\in \mathrm {K} }$ выполняется неравенство ${\displaystyle M_{\theta }({\widehat {\theta }}_{1}-\theta )^{2}\leqslant M_{\theta }({\widehat {\theta }}_{2}-\theta )^{2}}$ для любого ${\displaystyle \theta }$.

Особую роль в математической статистике играют несмещенные оценки. Если несмещенная оценка ${\displaystyle {\widehat {\theta }}_{1}}$ является эффективной оценкой в классе несмещенных и дисперсия совпадает с оценкой в неравенстве Крамера — Рао, то такую статистику принято называть просто эффективной.

В классе ${\displaystyle \mathrm {K} _{b}=\{E({\widehat {\theta }})=c(\theta )\}}$, где ${\displaystyle c(\theta )}$ — некоторая функция, эффективная оценка ${\displaystyle {\widehat {\theta }}}$ существует и единственна (с точностью до значений на множестве ${\displaystyle A}$, вероятность которого равна нулю: ${\displaystyle P(x\in A)=0}$).

Некоторые оценки могут быть неэффективны на малых выборках, но обладать преимуществами при больших. Для таких случаев обычно рассматриваются состоятельные оценки, у которых дисперсия стремится к нулю при росте объёма выборки. Поэтому сравнение проводят по скорости сходимости, то есть фактически по дисперсии (ковариационной матрице) случайной величины (вектора) ${\displaystyle {\sqrt {n}}{\hat {\theta }}}$^{[уточнить]}. В частности, асимптотически нормальная оценка, при которой имеет место сходимость по распределению ${\displaystyle {\sqrt {n}}({\hat {\theta }}-\theta ){\xrightarrow {d}}N(0,V)}$ является асимптотически эффективной, если асимптотическая ковариационная матрица ${\displaystyle V}$ минимальна в данном классе оценок.

• Статистическая оценка