Ядро Дирихле

Ядро Дирихле — ${\displaystyle 2\pi }$-периодическая функция, задаваемая следующей формулой^[1][2]:

${\displaystyle D_{n}(x)=\sum _{k=-n}^{n}{\frac {e^{ikx}}{2}}={\frac {1}{2}}+\sum _{k=1}^{n}\cos(kx)={\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)x\right)}{2\sin(x/2)}}.}$

Функция названа в честь французско-немецкого математика Дирихле. Данная функция является ядром, свёртка с которым даёт частичную сумму тригонометрического ряда Фурье. Это позволяет аналитически оценивать соотношения между исходной функцией и её приближениями в пространстве ${\displaystyle L_{2}[-\pi ,\pi ]}$.

Пусть ${\displaystyle f(x)}$ — интегрируема на ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$ и ${\displaystyle 2\pi }$-периодическая, тогда ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ~\forall n\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle S_{n}(f;x)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x+u){\frac {\sin(n+{\frac {1}{2}})u}{2\sin {\frac {u}{2}}}}du={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x+u)D_{n}(u)du}$

Эта формула является одной из важнейших в теории рядов Фурье.

Рассмотрим n-ную частичную сумму ряда Фурье.

${\displaystyle S_{n}(f;x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum \limits _{k=1}^{n}(a_{k}\cos(kx)+b_{k}\sin(kx))\qquad (1)}$

${\displaystyle S_{n}(f;x)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(t)dt+\sum _{k=1}^{n}\left[\left({\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(t)\cos(kt)dt\right)\cos(kx)+\left({\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(t)\sin(kt)dt\right)\sin(kx)\right]\qquad (2)}$

${\displaystyle S_{n}(f;x)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(t)\left[{\frac {1}{2}}+\sum _{k=1}^{n}\left(\cos(kt)\cos(kx)+\sin(kt)\sin(kx)\right)\right]dt\qquad (3)}$

Применяя формулу косинуса разности к выражению, стоящему под знаком суммы, получим:

${\displaystyle S_{n}(f;x)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(t)\left[{\frac {1}{2}}+\sum _{k=1}^{n}\left(\cos(k(t-x)\right)\right]dt\qquad (4)}$

Рассмотрим сумму косинусов: ${\displaystyle {\frac {1}{2}}+\cos \alpha +\cos(2\alpha )+...+\cos(n\alpha )}$

Умножим каждое слагаемое на ${\displaystyle 2\sin({\frac {\alpha }{2}})}$ и преобразуем по формуле ${\displaystyle 2\sin \alpha \cos \beta =\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )}$

${\displaystyle 2\sin({\frac {\alpha }{2}})\left({\frac {1}{2}}+\cos \alpha +\cos(2\alpha )+...+\cos(n\alpha )\right)=\sin {\frac {\alpha }{2}}-\sin {\frac {\alpha }{2}}+\sin {\frac {3\alpha }{2}}-\sin {\frac {3\alpha }{2}}+...+\sin(n+{\frac {1}{2}})\alpha =\sin(n+{\frac {1}{2}})\alpha }$

Применяя это преобразование к формуле (4), получим:

${\displaystyle S_{n}(f;x)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(t){\frac {\sin(n+{\frac {1}{2}})(t-x)}{2\sin {\frac {t-x}{2}}}}dt\qquad (5)}$

Сделаем замену переменного ${\displaystyle u=t-x}$

${\displaystyle S_{n}(f;x)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi -x}^{\pi -x}f(x+u){\frac {\sin(n+{\frac {1}{2}})u}{2\sin {\frac {u}{2}}}}du={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x+u){\frac {\sin(n+{\frac {1}{2}})u}{2\sin {\frac {u}{2}}}}du\qquad (6)}$

• ${\displaystyle D_{n}(x)}$ — функция ${\displaystyle 2\pi }$-периодическая и четная.
• ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ~\int \limits _{-\pi }^{\pi }D_{n}(u)du={\pi }}$

• Сопряжённое ядро Дирихле
• Ядро Фейера
• Ядро Джексона