𝜁(½)

${\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}}$ — математическая константа, частное значение дзета-функции Римана ${\displaystyle \zeta (s)}$ в точке ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}}$.

Приблизительно равна ${\displaystyle -1.46035450880958681288\ldots }$ (последовательность A059750 в OEIS).

Так как ряд Дирихле дзета-функции Римана ${\displaystyle \zeta (s)=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}}$ сходится только при ${\displaystyle \operatorname {Re} s>1}$, стандартное определение этой функции неприменимо для ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}}$. Однако, аналитическое продолжение ${\displaystyle \zeta (s)}$ существует на всей комплексной плоскости, за исключением единственного полюса ${\displaystyle s=1}$, и при ${\displaystyle \operatorname {Re} s>0}$ оно может быть выражено через эта-функцию Дирихле ${\displaystyle \eta (s)=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n^{s}}}}$ формулой ${\displaystyle \zeta (s)={\frac {\eta (s)}{1-2^{1-s}}}}$^[1]. Таким образом,

${\displaystyle \zeta \left({\frac {1}{2}}\right)={\frac {\eta \left({\frac {1}{2}}\right)}{1-2^{\frac {1}{2}}}}={\frac {1}{{\sqrt {2}}-1}}\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{\sqrt {n}}}}$^[2].

Этот ряд сходится очень медленно: чтобы получить его сумму с точностью до трёх знаков, необходимо сложить первый миллион слагаемых^[3].

Кроме того, при вещественных ${\displaystyle 0<s<1}$ верно эквивалентное определение ${\displaystyle \zeta (s)=\lim \limits _{N\rightarrow \infty }\left(\sum \limits _{n=1}^{N}{\frac {1}{n^{s}}}-{\frac {N^{1-s}}{1-s}}\right)}$, поэтому

${\displaystyle \zeta \left({\frac {1}{2}}\right)=\lim \limits _{N\rightarrow \infty }\left(\sum \limits _{n=1}^{N}{\frac {1}{\sqrt {n}}}-2{\sqrt {N}}\right)}$^[2].

Из разложения дзета-функции в ряд Лорана получается представление

${\displaystyle \zeta \left({\frac {1}{2}}\right)=-2+\gamma +\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\gamma _{n}}{2^{n}n!}}}$, где ${\displaystyle \gamma _{n}}$ — постоянные Стилтьеса, а ${\displaystyle \gamma =\gamma _{0}}$ — постоянная Эйлера — Маскерони^[4].

Ещё одно разложение в ряд:

${\displaystyle \zeta \left({\frac {1}{2}}\right)=-2\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {\sum \limits _{k=0}^{n}(-1)^{k}C_{n}^{k}{\sqrt {k+1}}}{n+1}}}$, где ${\displaystyle C_{n}^{k}}$ — биномиальные коэффициенты^[4].

Из интегрального представления эта-функции Дирихле следует:

${\displaystyle \zeta \left({\frac {1}{2}}\right)=-{\frac {1+{\sqrt {2}}}{\sqrt {\pi }}}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {1}{{\sqrt {x}}(1+e^{x})}}\,dx=-{\frac {2+{\sqrt {2}}}{\sqrt {\pi }}}\int \limits _{0}^{\infty }{\sqrt {x}}\operatorname {sch} ^{2}{x}\,dx}$, где ${\displaystyle \operatorname {sch} x}$ — гиперболический секанс^[4].

Наконец,

${\displaystyle \zeta \left({\frac {1}{2}}\right)=-{\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\{{\frac {1}{x}}\}}{\sqrt {x}}}\,dx}$, где ${\displaystyle \{x\}}$ — дробная часть^[4].

Представление ${\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}}$ в виде непрерывной дроби начинается следующим образом:

${\displaystyle -[1;2,5,1,4,6,1,1,2,6,1,1,2,1,1,1,37,3,2,1,2,4,1,368,2,1,23,\ldots ]}$^[4] (последовательность A161688 в OEIS).

Неизвестно, является ли число ${\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}}$ периодом^[5].

Рамануджан обнаружил, что для любых положительных чисел ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$, удовлетворяющих условию ${\displaystyle \alpha \beta =4\pi ^{3}}$, верно

${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{e^{n^{2}\alpha }-1}}={\frac {1}{4}}+{\frac {\pi ^{2}}{6\alpha }}+{\frac {\sqrt {\beta }}{4\pi }}\zeta \left({\frac {1}{2}}\right)+{\frac {\sqrt {\beta }}{4\pi }}\sum \limits _{m=1}^{\infty }{\frac {\cos {\sqrt {m\beta }}-\sin {\sqrt {m\beta }}-e^{-{\sqrt {m\beta }}}}{{\sqrt {m}}(\operatorname {ch} {\sqrt {m\beta }}-\cos {\sqrt {m\beta }})}}}$^[6].

Первая производная ${\displaystyle \zeta (s)}$ в точке ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}}$ выражается через ${\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}}$ следующим образом:

${\displaystyle \zeta '\left({\frac {1}{2}}\right)={\frac {1}{4}}(\pi +2\gamma +6\ln {2}+2\ln {\pi })\zeta \left({\frac {1}{2}}\right)}$^[1].

Это выражение можно получить дифференцированием функционального уравнения Римана (формулы дополнения для дзета-функции Римана); дальнейшим его дифференцированием можно выразить производные нечётного порядка ${\displaystyle \zeta ^{(2k+1)}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}}$ через производные чётного порядка ${\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}}$, ${\displaystyle \zeta ''{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}}$, …, ${\displaystyle \zeta ^{(2k)}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}}$^[7].

Модуль кси-функции Римана вещественного аргумента ${\displaystyle \Xi (t)=\xi {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}}$, где ${\displaystyle \xi (s)={\frac {s(s-1)}{2}}\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)}$, максимален при ${\displaystyle t=0}$, то есть ${\displaystyle |\Xi (t)|\leq \Xi (0)=-{\frac {\Gamma {\bigl (}{\tfrac {1}{4}}{\bigr )}\zeta \left({\tfrac {1}{2}}\right)}{8{\sqrt[{4}]{\pi }}}}=0.4971\ldots }$ для любого ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$^[8].

Для любого конечного ${\displaystyle N}$ верно неравенство ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{N-1}{\frac {1}{\sqrt {n}}}-2{\sqrt {N}}<\zeta \left({\frac {1}{2}}\right)}$; равенство достигается в пределе ${\displaystyle N\rightarrow \infty }$, как следует из одного из определений^[9].

При решении дифференциального уравнения в частных производных ${\displaystyle v{\frac {\partial }{\partial x}}f(v,x)={\mathcal {C}}f(v,x)}$ относительно функции распределения скорости и координаты броуновской частицы вводится милновская длина (англ. Milne length)^[10][11]. В случае уравнения с оператором Кляйна-Крамерса ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\mathrm {K} }={\frac {\partial }{\partial v}}\left(v+{\frac {\partial }{\partial v}}\right)}$ она имеет выражение

${\displaystyle x_{\mathrm {M} }(\alpha )={\frac {4\alpha ^{2}Q_{0}^{2}(\alpha ^{2})e^{2\alpha ^{2}}-1}{2\alpha }}}$, где ${\displaystyle \ln {Q_{0}(\alpha ^{2})}=-\ln {2\alpha }-\sum \limits _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}\Gamma {\bigl (}m+{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}\zeta {\bigl (}m+{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}}{m!\Gamma {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}(2m+1)}}\alpha ^{2m+1}}$,

откуда

${\displaystyle x_{\mathrm {M} }(0)=-\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}=1.4603545088\ldots }$^[12][13].

Используя приближённое функциональное уравнение, включающее в себя неполную гамма-функцию, значения дзета-функции Римана (и, более того, любой L-функции Дирихле) можно вычислить с точностью ${\displaystyle 2^{-p}}$ за время ${\displaystyle p^{{\frac {3}{2}}+o(1)}}$ с использованием памяти ${\displaystyle p^{1+o(1)}}$. Используя этот метод, Фредрик Юханссон смог вычислить миллион знаков ${\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}}$ за 17004 секунды (менее 5 часов) на одном ядре; по-видимому, это является рекордной точностью для значений дзета-функции Римана от нецелого аргумента^[14].

Для вычисления ${\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}}$ с точностью ${\displaystyle 2^{-p}}$ можно задать ${\displaystyle \alpha =O\left({\frac {1}{p}}\right)}$ в формуле Рамануджана; это сведёт к минимуму необходимое для достижения требуемой точности количество слагаемых и позволит получить алгоритм с сложностью ${\displaystyle p^{2+o(1)}}$^[15].

• Постоянная Апери
• Постоянная Эйлера — Маскерони

• Kainz, A. J.; Titulaer, U. M. (1991). The analytic structure of the stationary kinetic boundary layer for Brownian particles near an absorbing wall. Journal of Physics A: Mathematical and General. 24 (19): 4677—4695. Bibcode:1991JPhA...24.4677K. doi:10.1088/0305-4470/24/19/027.
• Kainz, A. J.; Titulaer, U. M. (1992). An accurate two-stream moment method for kinetic boundary layer problems of linear kinetic equations. Journal of Physics A: Mathematical and General. 25 (7): 1855—1874. Bibcode:1992JPhA...25.1855K. doi:10.1088/0305-4470/25/7/026.
• Bejoy, K. Choudhury (1995). The Riemann zeta-function and its derivatives. Proceedings of the Royal Society of London. Series A: Mathematical and Physical Sciences. 450 (1940): 477—499. doi:10.1098/rspa.1995.0096. ISSN 2053-9177. JSTOR 52768.
• Finch, S. R. 1.6.3. Apéry’s Constant, ζ(3). Series // Mathematical Constants. — Cambridge : Cambridge University Press, 2003. — P. 42—45.
• Ramachandran, Niranjan. Values of Zeta Functions at s = 1/2 (англ.). arXiv.org (14 марта 2005). Дата обращения: 9 января 2026.
• Kobayashi, Hisashi. Some results on the ξ(s) and Ξ(t) functions associated with Riemann's ζ(s) function (англ.). arXiv.org (5 марта 2016). Дата обращения: 14 января 2026.
• Shevtsova, Irina; Mattner, Lutz. An optimal Berry-Esseen type theorem for integrals of smooth functions (англ.). arXiv.org (8 января 2018). Дата обращения: 14 января 2026.
• Maji, Bibekananda; Gupta, Anushree. On Ramanujan’s formula for ζ(1/2) and ζ(2m+1) (англ.). ResearchGate (июнь 2021). doi:10.48550/arXiv.2106.04797. Дата обращения: 9 января 2026.
• Johansson, Fredrik. Rapid computation of special values of Dirichlet L-functions (англ.). arXiv.org (20 октября 2021). Дата обращения: 14 января 2026.

• Johansson, Fredrik. Zeta(1/2) to (a bit more than) 1M digits (англ.). Дата обращения: 14 января 2026.