abc-гипотеза

Согласно гипотезе Била, если ${\displaystyle A^{x}+B^{y}=C^{z}}$ (${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$, ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$ — натуральные и ${\displaystyle x,\;y,\;z>2}$), то ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$ имеют общий делитель.

Докажем гипотезу Била для достаточно больших ${\displaystyle z}$ от противного. Предположим, существует бесконечное количество ${\displaystyle z}$, для которых гипотеза Била неверна. Применим abc-гипотезу, согласно которой:

${\displaystyle C^{z}\leqslant K(\varepsilon )\cdot \left(\operatorname {rad} (A^{x}B^{y}C^{z})\right)^{1+\varepsilon }}$

Учтём, что ${\displaystyle \operatorname {rad} (A^{x}B^{y}C^{z})=\operatorname {rad} (ABC)\leqslant ABC}$. Поэтому:

${\displaystyle C^{z}\leqslant K(\varepsilon )\cdot \left(\operatorname {rad} (ABC)\right)^{1+\varepsilon }\leqslant K(\varepsilon )\cdot (ABC)^{1+\varepsilon }}$

Поскольку из условий теоремы очевидно, что ${\displaystyle A<C}$ и ${\displaystyle B<C}$, то ${\displaystyle ABC\leqslant C^{3}}$. Тогда:

${\displaystyle C^{z}\leqslant K(\varepsilon )\cdot C^{3+3\varepsilon }}$

Прологарифмировав обе части неравенства и разделив на ${\displaystyle \log C}$, получим ограничение сверху на величину ${\displaystyle z}$:

${\displaystyle z\leqslant {\frac {\log K(\varepsilon )}{\log C}}+3+3\varepsilon }$,        (*)

причём, отношение ${\displaystyle {\frac {\log K(\varepsilon )}{\log C}}}$ должно быть конечным, поскольку, по условию ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$ — натуральные (то есть ${\displaystyle A,B\geqslant 1\;\Rightarrow \;C\geqslant 2}$)

Таким образом, можно найти некоторое конечное значение ${\displaystyle z}$, для которого неравенство (*) не выполняется, то есть abc-гипотеза здесь несправедлива, а значит сделанное предположение о неверности гипотезы Била для достаточно больших ${\displaystyle z}$ ошибочно. Для оставшегося конечного количества ${\displaystyle z}$ справедливость гипотезы Била можно доказать численно.