Условия ⟨1ᵐ⟩ и ⟨0ᵐ⟩

Условие ${\displaystyle \langle 1^{m}\rangle }$ — условие для булевой функции, требующее, чтобы для любых ${\displaystyle m}$ единиц функции была общая единичная компонента^[1]. Другие обозначения условия: ${\displaystyle 1^{m}}$^[2], ${\displaystyle \langle A^{m}\rangle }$^[3], ${\displaystyle [A_{m}{:}]}$^[4].

Условие ${\displaystyle \langle 0^{m}\rangle }$ — условие для булевой функции, требующее, чтобы для любых ${\displaystyle m}$ нулей функции была общая нулевая компонента^[1]. Другие обозначения условия: ${\displaystyle 0^{m}}$^[2], ${\displaystyle \langle a^{m}\rangle }$^[5], ${\displaystyle [{:}a_{m}]}$^[6].

${\displaystyle m}$ может быть натуральным числом большим или равным ${\displaystyle 2}$ или бесконечностью.

Для фиксированного ${\displaystyle m}$ множество функций, удовлетворяющих условию ${\displaystyle \langle 1^{m}\rangle }$, является замкнутым классом; обозначения: ${\displaystyle T_{0,m}}$^[7], ${\displaystyle I^{m}}$^[2], ${\displaystyle F_{8}^{m}}$^[4]. Двойственно, для фиксированного ${\displaystyle m}$ множество функций, удовлетворяющих условию ${\displaystyle \langle 0^{m}\rangle }$, является замкнутым классом; обозначения: ${\displaystyle T_{1,m}}$^[7], ${\displaystyle O^{m}}$^[2], ${\displaystyle F_{4}^{m}}$^[8]. Для этих классов имеются следующие цепочки строгих включений:

${\displaystyle T_{0}\supset T_{0,2}\supset T_{0,3}\supset \ldots \supset T_{0,\infty }}$;

${\displaystyle T_{1}\supset T_{1,2}\supset T_{1,3}\supset \ldots \supset T_{1,\infty }}$^[9].

${\displaystyle T_{0}}$ и ${\displaystyle T_{1}}$ здесь классы функций, сохраняющих 0 и 1 соответственно.

Примеры функций, которые удовлетворяют условию ${\displaystyle \langle 1^{\infty }\rangle }$, но не удовлетворяют условию ${\displaystyle \langle 0^{2}\rangle }$: ${\displaystyle 0}$^[10],${\displaystyle \land ,\not \leftarrow }$. Примеры функций, которые удовлетворяют условию ${\displaystyle \langle 0^{\infty }\rangle }$, но не удовлетворяют условию ${\displaystyle \langle 1^{2}\rangle }$: ${\displaystyle 1}$^[3],${\displaystyle \lor ,\rightarrow }$. Пример функции, которая сохраняет 0, но не удовлетворяет условию ${\displaystyle \langle 1^{2}\rangle }$ — дизъюнкция. Пример функции, которая сохраняет 1, но не удовлетворяет условию ${\displaystyle \langle 0^{2}\rangle }$ — конъюнкция. Примеры функций, которые удовлетворяют условию ${\displaystyle \langle 1^{m}\rangle }$, но не удовлетворяет условию ${\displaystyle \langle 1^{m+1}\rangle }$:

${\displaystyle h_{m}(x_{1},\ldots ,x_{m+1})}$ — равна ${\displaystyle 1}$, если хотя бы ${\displaystyle m}$ её аргументов равны ${\displaystyle 1}$, иначе ${\displaystyle 0}$^[11];

${\displaystyle h_{m}'(x_{1},\ldots ,x_{m+1})}$ — равна ${\displaystyle 1}$, если ровно ${\displaystyle m}$ её аргументов равны ${\displaystyle 1}$, иначе ${\displaystyle 0}$.

Двойственно, примеры функций, которые удовлетворяют условию ${\displaystyle \langle 0^{m}\rangle }$, но не удовлетворяет условию ${\displaystyle \langle 0^{m+1}\rangle }$:

${\displaystyle h_{m}^{*}(x_{1},\ldots ,x_{m+1})}$ — равна ${\displaystyle 0}$, если хотя бы ${\displaystyle m}$ её аргументов равны ${\displaystyle 0}$, иначе ${\displaystyle 1}$;

${\displaystyle h_{m}^{\prime *}(x_{1},\ldots ,x_{m+1})}$ — равна ${\displaystyle 0}$, если ровно ${\displaystyle m}$ её аргументов равны ${\displaystyle 0}$, иначе ${\displaystyle 1}$^[12].

Функция ${\displaystyle h_{2}(x,y,z)=h_{2}^{*}(x,y,z)}$ есть функция голосования. Для ${\displaystyle m>2}$ функции ${\displaystyle h_{m}}$ и ${\displaystyle h_{m}^{*}}$ не совпадают.

Класс ${\displaystyle T_{0,2}}$ является предполным в ${\displaystyle T_{0}}$; класс ${\displaystyle T_{0,m}}$ для ${\displaystyle 2<m<\infty }$ является предполным в ${\displaystyle T_{0,m-1}}$; класс ${\displaystyle T_{0,\infty }}$ не предполон нигде. В ${\displaystyle T_{0,m},m<\infty }$ три предполных класса: ${\displaystyle T_{0,m+1}}$, ${\displaystyle T_{0,m}\cap T_{1}}$ и ${\displaystyle T_{0,m}\cap M}$. В ${\displaystyle T_{0,\infty }}$ два предполных класса: ${\displaystyle T_{0,\infty }\cap T_{1}}$ и ${\displaystyle T_{0,\infty }\cap M}$^[9]. Примеры базисов для ${\displaystyle T_{0,m},m<\infty }$: ${\displaystyle \{h_{m}'(x_{1},\ldots ,x_{m+1})\}}$, ${\displaystyle \{h_{m}(x_{1},\ldots ,x_{m+1}),x\not \leftarrow y\}}$ и ${\displaystyle \{h_{m}(x_{1},\ldots ,x_{m+1}),(x\lor y)(x\lor z)xyz,0\}}$. Примеры базисов для ${\displaystyle T_{0,\infty }}$: ${\displaystyle \{x\not \leftarrow y\}}$ и ${\displaystyle \{x({\overline {y}}\lor z),0\}}$. Минимальное количество элементов в базисе — 1, максимальное — для ${\displaystyle m<\infty }$ равно 3, а для ${\displaystyle m=\infty }$ равно 2. В классах ${\displaystyle T_{0,m}}$ есть шефферовы функции.

Класс ${\displaystyle T_{1,2}}$ является предполным в ${\displaystyle T_{1}}$; класс ${\displaystyle T_{1,m}}$ для ${\displaystyle 2<m<\infty }$ является предполным в ${\displaystyle T_{1,m-1}}$; класс ${\displaystyle T_{1,\infty }}$ не предполон нигде. В ${\displaystyle T_{1,m},m<\infty }$ три предполных класса: ${\displaystyle T_{1,m+1}}$, ${\displaystyle T_{1,m}\cap T_{0}}$ и ${\displaystyle T_{1,m}\cap M}$. В ${\displaystyle T_{1,\infty }}$ два предполных класса: ${\displaystyle T_{1,\infty }\cap T_{0}}$ и ${\displaystyle T_{1,\infty }\cap M}$^[9]. Примеры базисов для ${\displaystyle T_{1,m},m<\infty }$: ${\displaystyle \{h_{m}^{\prime *}(x_{1},\ldots ,x_{m+1})\}}$, ${\displaystyle \{h_{m}^{*}(x_{1},\ldots ,x_{m+1}),x\rightarrow y\}}$ и ${\displaystyle \{h_{m}^{*}(x_{1},\ldots ,x_{m+1}),xy\lor xz\lor x\lor y\lor z,1\}}$. Примеры базисов для ${\displaystyle T_{1,\infty }}$: ${\displaystyle \{x\rightarrow y\}}$ и ${\displaystyle \{x\lor {\overline {y}}z,1\}}$^[12]. Минимальное количество элементов в базисе — 1, максимальное — для ${\displaystyle m<\infty }$ равно 3, а для ${\displaystyle m=\infty }$ равно 2. В классах ${\displaystyle T_{0,m}}$ есть шефферовы функции.

Классы ${\displaystyle T_{0,m}}$ и ${\displaystyle T_{1,m}}$ двойственны друг другу.

Ни один из классов ${\displaystyle T_{0,m}}$ и ${\displaystyle T_{1,m}}$ нельзя представить как пересечение системы замкнутых классов, не содержащих один из классов ${\displaystyle T_{0,m}}$ и ${\displaystyle T_{1,m}}$. Пересечение ${\displaystyle T_{0,m}}$ и ${\displaystyle T_{0,n}}$ для ${\displaystyle m<n}$ даст ${\displaystyle T_{0,n}}$; пересечение ${\displaystyle T_{1,m}}$ и ${\displaystyle T_{1,n}}$ для ${\displaystyle m<n}$ даст ${\displaystyle T_{1,n}}$. Пересечение ${\displaystyle T_{0,m}}$ с ${\displaystyle T_{0}}$ даст ${\displaystyle T_{0,m}}$; пересечение ${\displaystyle T_{1,m}}$ с ${\displaystyle T_{1}}$ даст ${\displaystyle T_{1,m}}$. Пересечение ${\displaystyle T_{0,m}}$ с классом конъюнкций с константами ${\displaystyle K}$ даст класс конъюнкций с нулями ${\displaystyle K\cap T_{0}}$; пересечение ${\displaystyle T_{1,m}}$ с классом дизъюнкций с константами ${\displaystyle D}$ даст класс дизъюнкций с единицами ${\displaystyle D\cap T_{1}}$.

Пересечение ${\displaystyle T_{0,m}}$ с классом линейных функций ${\displaystyle L}$ даст класс селекторов с нулями; аналогично при пересечении с классом дизъюнкций с константами ${\displaystyle D}$ и с классом несущественных функций ${\displaystyle U}$:

${\displaystyle T_{0,m}\cap L=T_{0,m}\cap D=T_{0,m}\cap U=U\cap T_{0}}$.

Пересечение ${\displaystyle T_{1,m}}$ с классом линейных функций ${\displaystyle L}$ даст класс селекторов с единицами; аналогично при пересечении с классом конъюнкций с константами ${\displaystyle K}$ и с классом несущественных функций ${\displaystyle U}$:

${\displaystyle T_{1,m}\cap L=T_{1,m}\cap K=T_{1,m}\cap U=U\cap T_{1}}$.

Пересечение классов ${\displaystyle T_{0,2}}$ и ${\displaystyle T_{1,2}}$ даст класс монотонных самодвойственных функций ${\displaystyle M\cap S}$; аналогично при пересечении ${\displaystyle T_{0,2}}$ с классом самодвойственных функций и при пересечении ${\displaystyle T_{1,2}}$ с классом самодвойственных функций:

${\displaystyle T_{0,2}\cap T_{1,2}=T_{0,2}\cap S=T_{1,2}\cap S=M\cap S}$^[13].

Для ${\displaystyle m,n\geq 3}$ пересечение классов ${\displaystyle T_{0,n}}$ и ${\displaystyle T_{1,m}}$ даст класс селекторов ${\displaystyle U\cap T_{0}\cap T_{1}}$; аналогично при пересечении ${\displaystyle T_{0,m}}$ с классом самодвойственных функций и при пересечении ${\displaystyle T_{1,n}}$ с классом самодвойственных функций:

${\displaystyle T_{0,m}\cap T_{1,n}=T_{0,m}\cap S=T_{1,n}\cap S=U\cap T_{0}\cap T_{1}}$.

Пересечение ${\displaystyle T_{0,m}}$ с классом констант ${\displaystyle C}$ даст класс нулей ${\displaystyle C\cap T_{0}}$; пересечение ${\displaystyle T_{1,m}}$ с классом констант ${\displaystyle C}$ даст класс единиц ${\displaystyle C\cap T_{1}}$.

Пересечение ${\displaystyle T_{0,m}}$ с классом монотонных функций ${\displaystyle M}$, с классом ${\displaystyle T_{0}}$, а также с обоими классами ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle T_{0}}$, даёт новые классы, которые непредставимы в виде пересечений ${\displaystyle T_{0},T_{1},M,S,L,K,D,U,C}$ и не совпадают ни с одним из классов ${\displaystyle T_{0,m},T_{1,m}}$; аналогично и для ${\displaystyle T_{1,m}}$. Верно даже большее: все классы видов

${\displaystyle T_{0,m},T_{1,m},T_{0,m}\cap M,T_{1,m}\cap M,T_{0,m}\cap T_{1},T_{1,m}\cap T_{0},T_{0,m}\cap T_{1}\cap M,T_{1,m}\cap T_{1}\cap M}$

попарно различны и ни один из них не является пересечением каких-либо из указанных выше классов.

Монотонные функции, удовлетворяющие условию ${\displaystyle \langle 1^{m}\rangle }$, образуют замкнутый класс ${\displaystyle T_{0,m}\cap M}$ (обозначение Поста ${\displaystyle F_{7}^{m}}$ ^[4]). Класс ${\displaystyle T_{0,2}\cap M}$ является предполным в ${\displaystyle T_{0,2}}$ и в ${\displaystyle M\cap T_{0}}$; класс ${\displaystyle T_{0,m}\cap M}$ для ${\displaystyle 2<m<\infty }$ является предполным в ${\displaystyle T_{0,m}}$ и в ${\displaystyle T_{0,m-1}\cap M}$; класс ${\displaystyle T_{0,\infty }\cap M}$ является предполным в ${\displaystyle T_{0,\infty }}$. В ${\displaystyle T_{0,m}\cap M,m<\infty }$ два предполных класса: ${\displaystyle T_{0,m+1}\cap M}$ и ${\displaystyle T_{0,m}\cap T_{1}\cap M}$. В ${\displaystyle T_{0,\infty }\cap M}$ два предполных класса: ${\displaystyle T_{0,\infty }\cap T_{1}\cap M}$ и ${\displaystyle K\cap T_{0}}$^[9]. Пример базиса для ${\displaystyle T_{0,m}\cap M,m<\infty }$: ${\displaystyle \{h_{m}(x_{1},\ldots ,x_{m+1}),0\}}$. Пример базиса для ${\displaystyle T_{0,\infty }\cap M}$: ${\displaystyle \{x(y\lor z),0\}}$^[12]. В базисе всегда ровно 2 функции. В классах ${\displaystyle T_{0,m}\cap M}$ нет шефферовых функций.

Монотонные функции, удовлетворяющие условию ${\displaystyle \langle 0^{m}\rangle }$, образуют замкнутый класс ${\displaystyle T_{1,m}\cap M}$ (обозначение Поста ${\displaystyle F_{3}^{m}}$ ^[8]). Класс ${\displaystyle T_{1,2}\cap M}$ является предполным в ${\displaystyle T_{1,2}}$ и в ${\displaystyle M\cap T_{1}}$; класс ${\displaystyle T_{1,m}\cap M}$ для ${\displaystyle 2<m<\infty }$ является предполным в ${\displaystyle T_{1,m}}$ и в ${\displaystyle T_{1,m-1}\cap M}$; класс ${\displaystyle T_{1,\infty }\cap M}$ является предполным в ${\displaystyle T_{1,\infty }}$. В ${\displaystyle T_{1,m}\cap M,m<\infty }$ два предполных класса: ${\displaystyle T_{1,m+1}\cap M}$ и ${\displaystyle T_{1,m}\cap T_{0}\cap M}$. В ${\displaystyle T_{1,\infty }\cap M}$ два предполных класса: ${\displaystyle T_{1,\infty }\cap T_{0}\cap M}$ и ${\displaystyle D\cap T_{1}}$^[9]. Пример базиса для ${\displaystyle T_{1,m}\cap M,m<\infty }$: ${\displaystyle \{h_{m}^{*}(x_{1},\ldots ,x_{m+1}),1\}}$. Пример базиса для ${\displaystyle T_{1,\infty }\cap M}$: ${\displaystyle \{x\lor yz,1\}}$^[12]. В базисе всегда ровно 2 функции. В классах ${\displaystyle T_{1,m}\cap M}$ нет шефферовых функций.

Классы ${\displaystyle T_{0,m}\cap M}$ и ${\displaystyle T_{1,m}\cap M}$ двойственны друг другу.

Функции, сохраняющие константы и удовлетворяющие условию ${\displaystyle \langle 1^{m}\rangle }$, образуют замкнутый класс ${\displaystyle T_{0,m}\cap T_{1}}$ (обозначение Поста ${\displaystyle F_{5}^{m}}$ ^[4]). Класс ${\displaystyle T_{0,2}\cap T_{1}}$ является предполным в ${\displaystyle T_{0,2}}$ и в ${\displaystyle T_{0}\cap T_{1}}$; класс ${\displaystyle T_{0,m}\cap T_{1}}$ для ${\displaystyle 2<m<\infty }$ является предполным в ${\displaystyle T_{0,m}}$ и в ${\displaystyle T_{0,m-1}\cap T_{1}}$; класс ${\displaystyle T_{0,\infty }\cap T_{1}}$ является предполным в ${\displaystyle T_{0,\infty }}$. В ${\displaystyle T_{0,m}\cap T_{1},m<\infty }$ два предполных класса: ${\displaystyle T_{0,m+1}\cap T_{1}}$ и ${\displaystyle T_{0,m}\cap T_{1}\cap M}$. В ${\displaystyle T_{0,\infty }\cap T_{1}}$ один предполный класс: ${\displaystyle T_{0,\infty }\cap T_{1}\cap M}$^[9]. Пример базиса для ${\displaystyle T_{0,m}\cap T_{1},m<\infty }$: ${\displaystyle \{h_{m}(x_{1},\ldots ,x_{m+1}),x(y\lor {\overline {z}})\}}$. Пример базиса для ${\displaystyle T_{0,\infty }\cap T_{1}}$: ${\displaystyle \{x(y\lor {\overline {z}})\}}$.

Функции, сохраняющие константы и удовлетворяющие условию ${\displaystyle \langle 0^{m}\rangle }$, образуют замкнутый класс ${\displaystyle T_{1,m}\cap T_{0}}$ (обозначение Поста ${\displaystyle F_{1}^{m}}$ ^[8]). Класс ${\displaystyle T_{1,2}\cap T_{0}}$ является предполным в ${\displaystyle T_{1,2}}$ и в ${\displaystyle T_{0}\cap T_{1}}$; класс ${\displaystyle T_{1,m}\cap T_{0}}$ для ${\displaystyle 2<m<\infty }$ является предполным в ${\displaystyle T_{1,m}}$ и в ${\displaystyle T_{1,m-1}\cap T_{0}}$; класс ${\displaystyle T_{1,\infty }\cap T_{0}}$ является предполным в ${\displaystyle T_{1,\infty }}$. В ${\displaystyle T_{1,m}\cap T_{0},m<\infty }$ два предполных класса: ${\displaystyle T_{1,m+1}\cap T_{0}}$ и ${\displaystyle T_{1,m}\cap T_{0}\cap M}$. В ${\displaystyle T_{1,\infty }\cap T_{0}}$ один предполный класс: ${\displaystyle T_{1,\infty }\cap T_{0}\cap M}$^[9]. Пример базиса для ${\displaystyle T_{1,m}\cap T_{0},m<\infty }$: ${\displaystyle \{h_{m}^{*}(x_{1},\ldots ,x_{m+1}),x\lor y{\overline {z}}\}}$. Пример базиса для ${\displaystyle T_{1,\infty }\cap T_{0}}$: ${\displaystyle \{x\lor y{\overline {z}}\}}$.

Классы ${\displaystyle T_{0,m}\cap T_{1}}$ и ${\displaystyle T_{1,m}\cap T_{0}}$ двойственны друг другу.

Монотонные функции, сохраняющие константы и удовлетворяющие условию ${\displaystyle \langle 1^{m}\rangle }$, образуют замкнутый класс ${\displaystyle T_{0,m}\cap T_{1}\cap M}$ (обозначение Поста ${\displaystyle F_{6}^{m}}$ ^[4]). Класс ${\displaystyle T_{0,2}\cap T_{1}\cap M}$ является предполным в ${\displaystyle T_{0,2}\cap M}$, ${\displaystyle T_{0,2}\cap T_{1}}$ и в ${\displaystyle M\cap T_{0}\cap T_{1}}$; класс ${\displaystyle T_{0,m}\cap T_{1}\cap M}$ для ${\displaystyle 2<m<\infty }$ является предполным в ${\displaystyle T_{0,m}\cap M}$, ${\displaystyle T_{0,2}\cap T_{1}}$ и в ${\displaystyle T_{0,m-1}\cap T_{1}\cap M}$; класс ${\displaystyle T_{0,\infty }\cap T_{1}\cap M}$ является предполным в ${\displaystyle T_{0,\infty }\cap M}$ и ${\displaystyle T_{0,\infty }\cap T_{1}}$. В ${\displaystyle T_{0,2}\cap M\cap T_{1}}$ два предполных класса: ${\displaystyle T_{0,3}\cap M\cap T_{1}}$ и ${\displaystyle M\cap S}$. В ${\displaystyle T_{0,m}\cap T_{1}\cap M,2<m<\infty }$ один предполный класс ${\displaystyle T_{0,m+1}\cap T_{1}\cap M}$. В ${\displaystyle T_{0,\infty }\cap T_{1}\cap M}$ один предполный класс: ${\displaystyle K\cap T_{0}\cap T_{1}}$. Пример базиса для ${\displaystyle T_{0,2}\cap T_{1}\cap M}$: ${\displaystyle \{h_{2}(x,y,z),x(y\lor z)\}}$. Пример базиса для ${\displaystyle T_{0,m}\cap T_{1}\cap M,2<m<\infty }$: ${\displaystyle \{h_{m}(x_{1},\ldots ,x_{m+1})\}}$. Пример базиса для ${\displaystyle T_{0,\infty }\cap T_{1}\cap M}$: ${\displaystyle \{x(y\lor z)\}}$.

Монотонные функции, сохраняющие константы и удовлетворяющие условию ${\displaystyle \langle 0^{m}\rangle }$, образуют замкнутый класс ${\displaystyle T_{1,m}\cap T_{0}\cap M}$ (обозначение Поста ${\displaystyle F_{2}^{m}}$ ^[8]). Класс ${\displaystyle T_{1,2}\cap T_{0}\cap M}$ является предполным в ${\displaystyle T_{1,2}\cap M}$, ${\displaystyle T_{1,2}\cap T_{0}}$ и в ${\displaystyle M\cap T_{0}\cap T_{1}}$; класс ${\displaystyle T_{1,m}\cap T_{0}\cap M}$ для ${\displaystyle 2<m<\infty }$ является предполным в ${\displaystyle T_{1,m}\cap M}$, ${\displaystyle T_{1,2}\cap T_{0}}$ и в ${\displaystyle T_{1,m-1}\cap T_{0}\cap M}$; класс ${\displaystyle T_{1,\infty }\cap T_{0}\cap M}$ является предполным в ${\displaystyle T_{1,\infty }\cap M}$ и ${\displaystyle T_{1,\infty }\cap T_{0}}$. В ${\displaystyle T_{1,2}\cap M\cap T_{0}}$ два предполных класса: ${\displaystyle T_{1,3}\cap M\cap T_{0}}$ и ${\displaystyle M\cap S}$. В ${\displaystyle T_{1,m}\cap T_{0}\cap M,2<m<\infty }$ один предполный класс ${\displaystyle T_{1,m+1}\cap T_{0}\cap M}$. В ${\displaystyle T_{1,\infty }\cap T_{0}\cap M}$ один предполный класс: ${\displaystyle K\cap T_{1}\cap T_{0}}$. Пример базиса для ${\displaystyle T_{1,2}\cap T_{0}\cap M}$: ${\displaystyle \{h_{2}(x,y,z),x\lor yz\}}$. Пример базиса для ${\displaystyle T_{1,m}\cap T_{0}\cap M,2<m<\infty }$: ${\displaystyle \{h_{m}^{*}(x_{1},\ldots ,x_{m+1})\}}$. Пример базиса для ${\displaystyle T_{1,\infty }\cap T_{0}\cap M}$: ${\displaystyle \{x\lor yz\}}$.

Классы ${\displaystyle T_{0,m}\cap T_{1}\cap M}$ и ${\displaystyle T_{1,m}\cap T_{0}\cap M}$ двойственны друг другу.

• Марченков С. С. Замкнутые классы булевых функций (рус.). — M.: ФИЗМАТЛИТ, 2000. — 128 p. — ISBN 5-9221-0066-1.
• Угольников, А. Б. О замкнутых классах Поста (рус.) // Изв. вузов. Матем. : журнал. — М.: Soviet Math. (Iz. VUZ), 1988. — 16 февраля (т. 32, вып. 7). — С. 79-88.
• Шестопал Г. А. Простые базисы в замкнутых классах функций алгебры логики (рус.) // Докл. АН СССР : доклад. — 1966. — Т. 168, вып. 5. — С. 1023-1026.
• Яблонский С. В., Гаврилов Г. П., Кудрявцев В. Б. Функции алгебры логики и классы Поста (рус.) / под ред. В. В. Донченко. — М.: Наука, 1966. — 120 с. — 10 000 экз.
• Lau, D. Function Algebras on Finite Sets: A Basic Course on Many-Valued Logic and Clone Theory (англ.). — Springer, 2006. — 668 p.
• Post E. L. The Two-Valued Iterative Systems Of Mathematical Logic. — 1941.