Абу Джафар аль-Хазин

Абу́ Джафа́р Муха́ммад ибн аль-Ха́сан аль-Ха́зин аль-Хураса́ни (перс. ابوجعفر خازن خراسانی‎; умер ок. 971) — персидский астроном и математик, уроженец Хорасана, работал в Рее^[3].

Аль-Хазин вероятно происходил из семьи из юго-западной Аравии, из древнего царства Саба. Однако сам он родился и работал в Хорасане — восточном регионе Ирана, и потому в исламских источниках носил нисбу «аль-Хурасани»^[3].

Он жил и работал во времена расцвета Буидской династии (945–1055), при дворе которой в городе Рей (ныне пригород Тегерана) пользовался покровительством эмира Адуд ад-Даулы. Этот период ознаменовался интенсивным развитием наук и искусства. Рей, по описанию современников, был крупным культурным и научным центром, славившимся архитектурой и образовательными учреждениями^[3].

В 959/960 году аль-Хазин по поручению визиря измерял наклон эклиптики с помощью большого астрономического кольца диаметром около 4 метров^[3].

Аль-Хазин составил комментарий к X книге «Начал» Евклида. Написал «Книгу об изображении сферы на плоскости», «Книгу о решении кубического уравнения с помощью конических сечений», «Книгу о расстояниях и объёмах», «Книгу о наблюдательных инструментах», «Зидж тимпанов», «Большое введение в науку о звёздах», «Книгу об уравнении Солнца» и ряд других сочинений.

Аль-Хазин известен как автор астрономического труда «Зидж ас-Сафа’их» («Таблицы дисков астролябии»), высоко оцененного последующими астрономами. В нём описывались усовершенствованные астрономические инструменты, в том числе уникальный тип астролябии с дисками, снабжёнными таблицами и пояснениями к ним. Копия этого инструмента хранилась в Германии, но была утрачена во время Второй мировой войны. Сохранилась лишь её фотография^[3].

Аль-Хазин также составил комментарий к «Альмагесту» Птолемея, однако он был подвергнут критике аль-Бируни за излишнюю многословность. Сохранился лишь один фрагмент комментария, содержащий обсуждение сферичности Вселенной и 19 геометрических положений, часть из которых основана на трудах Архимеда. Среди них — изящное доказательство, что равносторонний треугольник обладает наибольшей площадью среди треугольников с данным периметром. Однако попытки обобщения на многоугольники сопровождались некорректными доказательствами^[3].

Одним из значительных вкладов аль-Хазина стала критика геоцентрической модели Птолемея. Он утверждал, что если бы Солнце двигалось по кругу вокруг точки, не совпадающей с Землёй, его видимый диаметр должен был бы меняться в течение года. Поскольку таких изменений он не наблюдал, он предложил альтернативную модель — эквант, в которой Солнце движется по окружности с центром в Земле, но с неравномерной скоростью, которая выглядит равномерной из точки, смещённой от центра (экванта)^[3].

В математике аль-Хазин работал в области теории чисел. Его деятельность, вероятно, была вдохновлена трудами математика аль-Худжанди, который утверждал невозможность целочисленного решения уравнения ${\displaystyle x^{3}+y^{3}=z^{3}}$ — случая ${\displaystyle n=3}$ Великой теоремы Ферма. Аль-Хазин в письме опроверг доказательство аль-Худжанди, назвав его «ошибочным и неполным». Это положило начало математической переписке между арабскими математиками того времени^[3].

Аль-Хазин решал задачи, связанные с пифагоровыми тройками. В частности, он доказал невозможность двух нечётных катетов в пифагоровой тройке и невозможность получения квадрата из суммы двух квадратов с «дважды чётными» ${\displaystyle (x=4k)}$ сторонами. Также он исследовал квадратичные диофантовы уравнения вида ${\displaystyle x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}=X^{2}}$. Для случаев ${\displaystyle n=2}$ и ${\displaystyle n=3}$ он привёл явные формулы решений. Несмотря на то что он остановился на ${\displaystyle n=3}$, им была выдвинута обобщённая гипотеза, причём предложенный параметрический подход можно адаптировать для любого ${\displaystyle n}$^[4].

В трактате аль-Хазина можно найти множество утверждений о представлении чисел в виде суммы квадратов и их доказательства. Например:^[4]

• Если число разлагается на сумму двух квадратов, то его квадрат тоже разлагается на сумму двух квадратов.
• Если каждое из двух чисел разлагается на сумму квадратов, то существует два различных разложения их произведения на сумму квадратов. В частности, аль-Хазин привёл один из первых известных случаев разложения квадратичной формы:

${\displaystyle (p^{2}+q^{2})(r^{2}+s^{2})=(pr+qs)^{2}+(ps-qr)^{2}=(pr-qs)^{2}+(ps+qr)^{2}}$

Одним из его ключевых результатов была задача: при данном натуральном ${\displaystyle a}$ найти натуральные числа ${\displaystyle x,y,z}$, удовлетворяющие условиям: ${\displaystyle x^{2}+a=y^{2}}$ и ${\displaystyle x^{2}-a=z^{2}}$^[3].

Аль-Хазин доказал, что это возможно тогда и только тогда, когда ${\displaystyle a=2uv}$ и ${\displaystyle u^{2}+v^{2}=x^{2}}$ для некоторых натуральных чисел ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$. В качестве примеров он привёл:^[3]

• ${\displaystyle a=24}$: ${\displaystyle 5^{2}+24=7^{2}}$, ${\displaystyle 5^{2}-24=1^{2}}$;
• ${\displaystyle a=96}$: ${\displaystyle 10^{2}+96=14^{2}}$, ${\displaystyle 10^{2}-96=2^{2}}$.

В его работах зафиксирован один из самых ранних примеров полиномиального сравнения по модулю. Он рассматривал квадратичное сравнение ${\displaystyle x^{2}+1\equiv 0{\pmod {5}}}$ и нашёл его решения^[4].

Также аль-Хазин изучал вещественные числа. Он привёл следующее определение рациональной и иррациональной величины:^[5]

• Теория чисел в средневековом исламском мире
• Развитие числовой системы в исламском мире

• Матвиевская Г. П. Учение о числе на средневековом Ближнем и Среднем Востоке. Ташкент: Фан, 1967.
• Calvo E. Khāzin: Abū Jaʿfar Muḥammad ibn al‐Ḥusayn al‐Khāzin al‐Khurāsānī. In: The Biographical Encyclopedia of Astronomers. — Springer, 2007.

• Джон Дж. О’Коннор и Эдмунд Ф. Робертсон. Абу Джафар аль-Хазин (англ.) — биография в архиве MacTutor.
• Pingree D. ABŪ JAʿFAR ḴĀZEN (Encyclopædia Iranica).
• Dold-Samplonius, Yvonne (2008) [1970-80]. Al-Khāzin, Abū Ja'far Muḥammad Ibn Al-Ḥasan Al-Khurāsānī. Complete Dictionary of Scientific Biography. Encyclopedia.com.