Выпуклый многосторонник

Вы́пуклый многосторо́нник^{[комм 1]} (англ. convex multilateral^[1][2]) — фигура на плоскости, которую можно представить как пересечение конечного числа замкнутых полуплоскостей^[3].

Простейший выпуклый многосторонник — это односторонник, то есть замкнутая полуплоскость^[3].

Треугольник — простейший ограниченный выпуклый многосторонник; при ${\displaystyle n\geqslant 3}$ выпуклые трёхсторонники, четырёхсторонники^[4] и так далее бывают ограниченные и неограниченные. Отрезок — пример выпуклого ограниченного четырёхсторонника^[3].

Выпуклый многоугольник — то же самое, что и ограниченный выпуклый многосторонник^[5].

Выпуклый многогранник — обобщение на трёхмерное пространство выпуклого многосторонника^[6].

Рассмотрим выпуклый многосторонник ${\displaystyle M}$, который образован пересечением следующего множества ${\displaystyle n}$ замкнутых полуплоскостей^[3]:

${\displaystyle S=\{H_{1},\,H_{2},\,\dots ,\,H_{n}\}}$.

Лишняя полуплоскость — полуплоскость из множества замкнутых полуплоскостей ${\displaystyle S}$, образовывающих выпуклый многосторонник ${\displaystyle M}$, которая содержит пересечение всех остальных плоскостей из ${\displaystyle S}$^[3].

Лишнюю полуплоскость можно удалить из множества замкнутых полуплоскостей ${\displaystyle S}$, определяющих многосторонник ${\displaystyle M}$, при этом ${\displaystyle M}$ не изменится и будет определён меньшим числом полуплоскостей^[3].

Выпуклый ${\displaystyle n}$-сторонник — выпуклый многосторонник, образованный пересечением ${\displaystyle n}$ замкнутых полуплоскостей, среди которых нет лишних^[3][7].

Простейший выпуклый многосторонник — это односторонник, то есть просто замкнутая полуплоскость^[3].

Выпуклые двусторонники — это углы, меньшие ${\displaystyle 180^{\circ }}$, и полосы, а также прямые, которые представляются как пересечение двух замкнутых полуплоскостей. Выпуклые односторонники и двусторонники всегда не ограничены^[3].

• Выпуклые двусторонники
• Угол меньше ${\displaystyle 180^{\circ }}$
• Полоса
• Прямая

Треугольник — простейший ограниченный выпуклый многосторонник; при ${\displaystyle n\geqslant 3}$ выпуклые трёхсторонники, четырёхсторонники и так далее бывают ограниченные и неограниченные. Отрезок — пример выпуклого ограниченного четырёхсторонника^[3].

• Выпуклые трёхсторонники
• Луч
• Точка
• Угол без треугольника
• Полуполоса
• Треугольник

• Выпуклые четырёхсторонники
• Точка
• Отрезок
• Ограниченный четырёхсторонник
• Неограниченный четырёхсторонник

Произвольная выпуклая фигура, расположенная на прямой (точка, отрезок, луч или вся прямая), есть выпуклый многосторонник^[8].

Нульмерный выпуклый многосторонник — это точка. Одномерные выпуклые многосторонники — отрезок, луч и прямая. Двумерные выпуклые многосторонники — все остальные выпуклые многосторонники^[8].

• Одномерные выпуклые многосторонники
• Отрезок как выпуклый четырёхсторонник
• Луч как выпуклый трёхсторонник
• Прямая как выпуклый двусторонник

Рассмотрим некоторый выпуклый ${\displaystyle n}$-сторонник ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle n}$ полуплоскостей ${\displaystyle H_{1},\,H_{2},\,\dots ,\,H_{k}}$, пересечение которых определяет ${\displaystyle M}$. Обозначим через ${\displaystyle l_{1},\,l_{2},\,\dots ,\,l_{k}}$ граничные прямые соответственно полуплоскостей ${\displaystyle H_{1},\,H_{2},\,\dots ,\,H_{k}}$^[8].

Предложение 1. Каждая из описанных прямых ${\displaystyle l_{1},\,l_{2},\,\dots ,\,l_{k}}$ представляет собой опорную прямую данной фигуры ${\displaystyle M}$^[8].

Доказательство. Поскольку, по условию, фигура ${\displaystyle M}$ полностью принадлежит полуплоскости ${\displaystyle H_{i}}$, ${\displaystyle i=1,\,2,\,\dots ,\,k}$, то она находится по одну сторону от прямой ${\displaystyle l_{i}}$. Предположим, что прямая ${\displaystyle l_{i}}$ совсем не имеет общих точек с фигурой ${\displaystyle M}$, получим, что полуплоскость ${\displaystyle H_{i}}$ лишняя, что противоречит тому условию, что ${\displaystyle M}$ — выпуклый ${\displaystyle n}$-сторонник и среди плоскостей ${\displaystyle H_{1},\,H_{2},\,\dots ,\,H_{k}}$ нет лишних^[8]. □

Рассмотрим свойства двумерного выпуклого многосторонника ${\displaystyle M}$^[8].

Предложение 1. Каждая прямая ${\displaystyle l_{i}}$ из опорных прямых ${\displaystyle l_{1},\,l_{2},\,\dots ,\,l_{k}}$ пересекается с границей двумерного выпуклого многосторонника ${\displaystyle M}$ либо по отрезку, либо по лучу, либо целиком лежит на границе ${\displaystyle M}$^[8].

Доказательство. Поскольку, по условию, фигура ${\displaystyle M}$ полностью принадлежит полуплоскости ${\displaystyle H_{i}}$, ${\displaystyle i=1,\,2,\,\dots ,\,k}$, то она находится по одну сторону от прямой ${\displaystyle l_{i}}$. Предположим, что прямая ${\displaystyle l_{i}}$ имеет только одну общую граничную точку с границей фигуры ${\displaystyle M}$, получим, что полуплоскость ${\displaystyle H_{i}}$ лишняя, что противоречит тому условию, что ${\displaystyle M}$ — выпуклый ${\displaystyle n}$-сторонник и среди плоскостей ${\displaystyle H_{1},\,H_{2},\,\dots ,\,H_{k}}$ нет лишних^[8]. □

• Множества пересечений опорной прямой и границы фигуры
• Отрезок
• Луч
• Прямая

Сторона выпуклого многосторонника — часть опорной прямой выпуклого многосторонника, принадлежащей его границе^[6].

У выпуклого ${\displaystyle n}$-сторонника ${\displaystyle n}$ сторон^[6].

Вершина выпуклого многосторонника — конец стороны выпуклого многосторонника^[6].

Альтернативное определение: сторона выпуклого многосторонника — вся опорная прямая выпуклого многосторонника^[6][9].

Рассмотрим двумерный выпуклый ${\displaystyle n}$-сторонник ${\displaystyle M}$ при ${\displaystyle n\geqslant 2}$. Граница такого многосторонника ${\displaystyle M}$ есть ${\displaystyle n}$-звенная ломаная. Если многосторонник ${\displaystyle M}$ ограничен, то эта ломаная замкнута, если не ограничен, то эта ломаная включает два луча. В первом случае у многосторонника ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$ вершин, во втором — ${\displaystyle n-1}$^[6].

1. ↑ Термин «Выпуклый многосторонник» в английской Википедии ни в каком виде не встречается.

1. ↑ Edward Otto. Nomography, 1963, 16.3, с. 151.
2. ↑ Keivan Borna. Sweep line algorithm for convex hull revisited, 2019, 3 Related works, с. 3.
3. ↑ ^{1 2 3 4 5 6 7 8 9 10} Болтянский В. Г., Яглом И. М. Выпуклые фигуры и тела, 1966, 3.2. Выпуклые многосторонники и многогранники, с. 209.
4. ↑ David Fraivert. The theory of a convex quadrilateral…, 2016, Introduction: Definitions and Fundamental Theorem, с. 2.
5. ↑ Болтянский В. Г., Яглом И. М. Выпуклые фигуры и тела, 1966, 3.4. Выпуклые многоугольники и многовершинники, с. 215.
6. ↑ ^{1 2 3 4 5 6} Болтянский В. Г., Яглом И. М. Выпуклые фигуры и тела, 1966, 3.2. Выпуклые многосторонники и многогранники, с. 211.
7. ↑ Яглом И. М. Комплексные числа и их применение в геометрии, 1963, § 16*. Приложения и примеры, с. 171.
8. ↑ ^{1 2 3 4 5 6 7 8} Болтянский В. Г., Яглом И. М. Выпуклые фигуры и тела, 1966, 3.2. Выпуклые многосторонники и многогранники, с. 210.
9. ↑ Сидоров Л. А. Многоугольник, 1982, стб. 751.

• Болтянский В. Г., Яглом И. М. Выпуклые фигуры и тела // Энциклопедия элементарной математики (рус.) / гл. ред.: П. С. Александров, А. И. Маркушевич, А. Я. Хинчин; редакторы книги пятой: В. Г. Болтянский, И. М. Яглом. — М.: «Наука», 1966. — Т. 5 Геометрия. — С. 181—269. — 624 с., ил. — 25 000 экз.
• Сидоров Л. А. Многоугольник // Математическая энциклопедия (рус.) / гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: «Советская энциклопедия», 1982. — Т. 3 Коо—Од. — Стб. 749—752. — 1184 стб., ил. — 150 000 экз.
• Яглом И. М. Комплексные числа и их применение в геометрии (рус.). — М.: Физматгиз, 1963. — 192 с., ил. — 43 000 экз.
• Keivan Borna. Sweep line algorithm for convex hull revisited (англ.) // Journal of Algorithms and Computation : журнал / editorial board: Dara Moazzami. — Tehran: University of Tehran, 2019. — June (vol. 51, iss. 1). — P. 1—14. — ISSN 2476-2784. — doi:10.22059/jac.2019.71276.
• David Fraivert. The theory of a convex quadrilateral and a circle that forms “Pascal points” – the properties of “Pascal points” on the sides of a convex quadrilateral (англ.) // Journal of Mathematical Sciences: Advances and Applications : журнал / editorial board: Pooja Agrawal. — Prayagraj: Scientific Advances Publishers, 2016. — July (vol. 40, iss. 1). — P. 1—34. — ISSN 0974-5750. — doi:10.18642/jmsaa_7100121666.
• Edward Otto. Nomography = Nomografia (англ.) / translated by Janina Smólska. — Oxford · London · New York · Paris: Pergamon Press, 1963. — 315 p.