Вычитание векторов

Вычита́ние векторо́в, или геометри́ческое вычитание векторов, — операция, обратная сложению, ставящая в соответствие двум векторам третий вектор — разность векторов, другими словами, по сумме векторов и одному слагаемому определяется второе слагаемое этой суммы^{[1][2][3][4][5]}. При этом разность ${\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {b} }$ двух векторов ${\displaystyle \mathbf {a} }$ и ${\displaystyle \mathbf {b} }$ — это третий вектор ${\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {a} -\mathbf {b} }$ такой, что ${\displaystyle \mathbf {c} +\mathbf {b} =\mathbf {a} }$ (см. рисунок справа с треугольником вычитания векторов). Разность векторов определяется через сумму векторов либо с использованием противоположного вектора, либо без^{[6][5][7][8][9][10]}. Первый вектор разности называется уменьшаемым, а второй — вычитаемым^{[3][4][5][11]}.

Вычита́ние векторо́в, или геометри́ческое вычита́ние векторо́в — операция, обратная сложению, ставящая в соответствие двум векторам третий вектор — разность векторов, другими словами, по сумме векторов и одному слагаемому определяется второе слагаемое этой суммы. Обозначается обычным знаком минус^{[1][2][3][4][5]}:

${\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {a} -\mathbf {b} .}$

Следующее определение разности аналогично определению разности чисел^[12].

Разность ${\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {b} }$ двух векторов ${\displaystyle \mathbf {a} }$ и ${\displaystyle \mathbf {b} }$ — это третий вектор ${\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {a} -\mathbf {b} }$ такой, что ${\displaystyle \mathbf {c} +\mathbf {b} =\mathbf {a} }$ (см. рисунок в начале статьи с треугольником вычитания векторов)^{[6][5][7][8][9][10][12]}.

Разность существует для любых двух векторов, что следует из следующего правила её построения^[12].

Правило построения разности векторов без обратного вектора состоит в следующем. Разность ${\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {b} }$ любых двух векторов ${\displaystyle \mathbf {a} }$ и ${\displaystyle \mathbf {b} }$, отложенных от одной точки, — это третий вектор ${\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {a} -\mathbf {b} }$, проведённый от конца вектора ${\displaystyle \mathbf {b} }$ к концу вектора ${\displaystyle \mathbf {a} }$ (см. рисунок в начале статьи с треугольником вычитания векторов)^{[5][7][8][10][12]}.

Операция вычитания векторов обладает следующими определяющими свойствами^[12]:

• всегда выполнима;
• однозначна, то есть из ${\displaystyle \mathbf {b} +\mathbf {x} =\mathbf {b} +\mathbf {y} }$ следует ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {y} .}$

Если на двух неколлинеарных векторах построить параллелограмм, то тогда одна диагональ этого параллелограмма будет представлять сумму этих двух векторов. а другая — их разность (см. рисунок справа с параллелограммом сложения векторов)^[10].

Вектор, противоположный данному вектору — вектор, равный по модулю данному и противоположно ему направленный. Вектор, противоположный нулевому вектору, определяется тоже как нулевой. Вектор, противоположный вектору ${\displaystyle \mathbf {a} }$, обозначается той же буквой с поставленным перед ней обычным знаком минус (см. рисунок справа)^{[6][9][10][11][12][13][14][15]}: ${\displaystyle -\mathbf {a} .}$

Также противоположный вектор можно определить как вектор ${\displaystyle \mathbf {0} -\mathbf {a} }$^[12].

Из определения противоположного вектора следуют равенства^{[11][14][15][16]}:

${\displaystyle -(-\mathbf {a} )=\mathbf {a} ,\quad |-\mathbf {a} |=|\mathbf {a} |,\quad \mathbf {a} +(-\mathbf {a} )=\mathbf {0} .}$

Теорема 1.

${\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {b} =\mathbf {a} +(-\mathbf {b} )}$

для любых векторов ${\displaystyle \mathbf {a} }$ и ${\displaystyle \mathbf {b} }$ (см. рисунок справа)^[14][16].

Доказательство. Из определения разности векторов получаем^[10][14]:

${\displaystyle (\mathbf {a} -\mathbf {b} )+\mathbf {b} =\mathbf {a} ,}$${\displaystyle \quad (\mathbf {a} -\mathbf {b} )+\mathbf {0} =\mathbf {a} +(-\mathbf {b} ),}$${\displaystyle \quad (\mathbf {a} -\mathbf {b} )=\mathbf {a} +(-\mathbf {b} ).}$

На основании этой теоремы можно определить понятие разности следующим образом^[11][14][16].

Разность ${\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {b} }$ двух векторов ${\displaystyle \mathbf {a} }$ и ${\displaystyle \mathbf {b} }$ — это третий вектор ${\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {a} +(-\mathbf {b} )}$ (см. рисунки справа)^[5][11][16].

Правило построения разности векторов с использованием обратного вектора состоит в следующем. Разность ${\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {b} }$ любых двух векторов ${\displaystyle \mathbf {a} }$ и ${\displaystyle \mathbf {b} }$ — это третий вектор ${\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {a} +(-\mathbf {b} )}$, проведённый от начала вектора ${\displaystyle \mathbf {a} }$ к концу вектора ${\displaystyle -\mathbf {b} }$, причём конец первого вектора совпадает с началом второго (см. рисунки справа)^[14].

Если взять за исходное второе определение разности векторов, то первое определение можно сформулировать в виде теоремы^[17].

Теорема 2. Вычитание векторов — операция, обратная сложению векторов, то есть по сумме векторов и одному из слагаемых находится второе слагаемое — разность суммы и первого слагаемого:

${\displaystyle \mathbf {b} +(\mathbf {a} -\mathbf {b} )=\mathbf {a} }$

для любых векторов ${\displaystyle \mathbf {a} }$ и ${\displaystyle \mathbf {b} }$ (см. рисунок в начале статьи и рисунок справа)^[17].

Доказательство. Вычислим^[1]:

${\displaystyle \mathbf {b} +(\mathbf {a} -\mathbf {b} )=\mathbf {a} +(-\mathbf {b} )+\mathbf {b} =\mathbf {a} +\mathbf {0} =\mathbf {a} .}$

Теорема 3. Вектор-слагаемое можно переносить из одной части равенства в другую с противоположным знаком^[1][16][18].

Доказательство. Пусть

${\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {b} =\mathbf {c} .}$

Тогда по теореме 2 получаем^[1][16][18]:

${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {b} +\mathbf {c} .}$

Итак, операции сложения и вычитания векторов имеют такие же свойства, какие известны в арифметике чисел^[16].

Теорема 4. Правило раскрытия скобок^[19].

${\displaystyle (\mathbf {a} _{1}-\mathbf {b} _{1})+(\mathbf {a} _{2}-\mathbf {b} _{2})+\cdots +(\mathbf {a} _{n}-\mathbf {b} _{n})=}$

${\displaystyle =(\mathbf {a} _{1}+\mathbf {a} _{2}+\cdots +\mathbf {a} _{n})-(\mathbf {b} _{1}+\mathbf {b} _{2}+\cdots +\mathbf {b} _{n}).}$

Так как длина отрезка не превосходит длины ломаной, соединяющей его концы, то выполняются неравенство треугольника: модуль разности двух векторов не больше разности модулей этих векторов^[20]:

${\displaystyle |\mathbf {a} -\mathbf {b} |\geqslant |\mathbf {a} |-|\mathbf {b} |,\quad |\mathbf {a} -\mathbf {b} |\geqslant |\mathbf {b} |-|\mathbf {a} |.}$

В случае коллинеарных векторов^[21]:

• если два вектора направлены одинаково, то модуль разности двух векторов равен разности модулей уменьшаемого и вычитаемого, если модуль уменьшаемого больше модуля вычитаемого:

${\displaystyle |\mathbf {a} -\mathbf {b} |=|\mathbf {a} |-|\mathbf {b} |,\quad |\mathbf {a} |\geqslant |\mathbf {b} |;}$

${\displaystyle |\mathbf {a} -\mathbf {b} |=|\mathbf {b} |-|\mathbf {a} |,\quad |\mathbf {b} |\geqslant |\mathbf {a} |.}$

Для модуля разности векторов возможны три случая (см. рисунок ниже)^[5]:

• ${\displaystyle |\mathbf {a} -\mathbf {b} |<|\mathbf {a} |;}$
• ${\displaystyle |\mathbf {a} -\mathbf {b} |=|\mathbf {a} |;}$
• ${\displaystyle |\mathbf {a} -\mathbf {b} |>|\mathbf {a} |.}$

Имеет место следующее тождество:

${\displaystyle 2|\mathbf {a} |^{2}+2|\mathbf {b} |^{2}=|\mathbf {a} +\mathbf {b} |^{2}+|\mathbf {a} -\mathbf {b} |^{2}}$,

другими словами, сумма квадратов сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей (см. рисунок с параллелограммом сложения и вычитания векторов в разделе Определение без использования противоположного вектора)^[22].

1. ↑ ^{1 2 3 4 5} Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления, 1975, Глава I. Линейные операции над векторами. § 3. Вычитание векторов, с. 22.
2. ↑ ^{1 2} Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 1965, § 2. Сложение… векторов…, с. 8, 10.
3. ↑ ^{1 2 3} Пытьев Ю. П. Вычитание, 1988.
4. ↑ ^{1 2 3} Вычитание, 1977.
5. ↑ ^{1 2 3 4 5 6 7 8} Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике, 1977, § 88. Вычитание векторов, с. 122.
6. ↑ ^{1 2 3} Пытьев Ю. П. Векторная алгебра', 1988, с. 108.
7. ↑ ^{1 2 3} Воднев В. Т. Математический словарь высшей школы: Общая часть, 1984, Разность векторов, с. 369.
8. ↑ ^{1 2 3} Атанасян Л. С. Геометрия. 7—9 классы, 2014, 85. Вычитание векторов, с. 198.
9. ↑ ^{1 2 3} Пытьев Ю. П. Векторная алгебра, 1977, стб. 633.
10. ↑ ^{1 2 3 4 5 6} Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 1965, § 2. Сложение… векторов…, с. 10.
11. ↑ ^{1 2 3 4 5} Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления, 1975, Глава I. Линейные операции над векторами. § 3. Вычитание векторов, с. 21.
12. ↑ ^{1 2 3 4 5 6 7} Болтянский В. Г., Яглом И. М. Векторы и их применения в геометрии, 1963, 2.4. Вычитание векторов, с. 304.
13. ↑ Воднев В. Т. Математический словарь высшей школы: Общая часть, 1984, Противоположный вектор, с. 356.
14. ↑ ^{1 2 3 4 5 6} Атанасян Л. С. Геометрия. 7—9 классы, 2014, 85. Вычитание векторов, с. 199.
15. ↑ ^{1 2} Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике, 1977, § 88. Противоположные векторы, с. 119.
16. ↑ ^{1 2 3 4 5 6 7} Болтянский В. Г., Яглом И. М. Векторы и их применения в геометрии, 1963, 2.4. Вычитание векторов, с. 305.
17. ↑ ^{1 2} Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления, 1975, Глава I. Линейные операции над векторами. § 3. Вычитание векторов, с. 21—22.
18. ↑ ^{1 2} Гусятников П. Б. Векторная алгебра в примерах и задачах, 1985, Глава 2. Векторы… § 2. Сумма векторов…, с. 22.
19. ↑ ^{1 2} Гусятников П. Б. Векторная алгебра в примерах и задачах, 1985, Глава 2. Векторы… § 2. Сумма векторов…, с. 23.
20. ↑ Гусятников П. Б. Векторная алгебра в примерах и задачах, 1985, Глава 2. Векторы… § 2. Сумма векторов…, с. 24.
21. ↑ Гусятников П. Б. Векторная алгебра в примерах и задачах, 1985, Глава 2. Векторы… § 2. Сумма векторов…, с. 25.
22. ↑ Погорелов А. В. Аналитическая геометрия, 1968, Глава IV. Векторы. § 1. Сложение и вычитание векторов, с. 69.

• Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.. Геометрия. 7—9 классы : учеб. для общеобразоват. организаций (рус.) / под науч. рук. акад. А. Н. Тихонова. — 2-е изд. — М.: «Просвещение», 2014. — 383 с., ил. — Доп. тираж 50 000 экз. — ISBN 978-5-09-032008-5.
• Болтянский В. Г., Яглом И. М. Векторы и их применения в геометрии // Энциклопедия элементарной математики (рус.) / гл. ред.: П. С. Александров, А. И. Маркушевич, А. Я. Хинчин; редакторы книги четвёртой: В. Г. Болтянский, И. М. Яглом. — М.: «Наука», 1963. — Т. 4 Геометрия. — С. 291—381. — 567 с., ил. — 20 000 экз.
• Воднев В. Т., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф.. Математический словарь высшей школы: Общая часть (рус.) / под. ред. проф. Ю. С. Богданова. — Минск: «Высшая школа», 1984. — 527 с., ил. — 41 000 экз.
• Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике (рус.). — 12-е, стереотип. — М.: «Наука», 1977. — 871 с., ил. — 150 000 тыс. экз.
• Вычитание // Математическая энциклопедия (рус.) / гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: «Советская энциклопедия», 1977. — Т. 1 А—Г. — Стб. 828. — 1152 стб., ил. — 150 000 экз.
• Гусятников П. Б., Резниченко С. В.. Векторная алгебра в примерах и задачах: Учеб. пособие для студентов инж.-тех. спец. вузов (рус.). — М.: «Высшая школа», 1985. — 232 с., ил. — 50 000 тыс. экз.
• Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления (рус.). — 9-е изд. — М.: «Наука», 1965. — 426,[1] с., ил.
• Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления (рус.). — М.: «Наука», 1975. — 336 с., ил. — 35 000 экз.
• Погорелов А. В. Аналитическая геометрия (рус.). — 3-е изд. — М.: «Наука», 1968. — 176 с., ил. — 200 000 экз.
• Противоположный вектор // Воднев В. Т., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф. Математический словарь высшей школы: Общая часть / Под. ред. Ю. С. Богданова. Минск: Высшая школа, 1984. 527 с., ил. С. 356.
• Пытьев Ю. П. Векторная алгебра // Математическая энциклопедия (рус.) / гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: «Советская энциклопедия», 1977. — Т. 1 А—Г. — Стб. 632—636. — 1152 стб., ил. — 150 000 экз.
• Пытьев Ю. П. Векторная алгебра // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. Ред. кол. С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. — М.: «Советская энциклопедия», 1988. — С. 107—109. — 847 с., ил. — 148 900 экз.
• Пытьев Ю. П. Вычитание // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. Ред. кол. С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. — М.: «Советская энциклопедия», 1988. — С. 135. — 847 с., ил. — 148 900 экз.

• Seymour Lipschutz, Marc Lars Lipson. Schaum's Outline of Linear Algebra (англ.). — Fourth edition. — New York: McGraw-Hill Book Company, 2009. — VI+425 p. — (Schaum’s Outline Series). — ISBN 978-0-07-154353-8.