Линейная операция

Лине́йная опера́ция над векторами — операция сложения векторов либо операция умножения вектора на число^[1]^[2]^[3]^[4]^[5]^[6]^[7]. Иногда к этим двум операциям добавляют операцию вычитания векторов^[8].

Определение

Линейные операции над векторами — операции сложения векторов, вычитания векторов и умножения вектора на скаляр. Эти операции называются линейными потому, что если над векторами $\mathbf {a}$ , $\mathbf {b}$ , $\mathbf {c}$ и $\mathbf {d}$ выполнить конечное количество произвольных действий сложения, вычитания и умножения на скаляр, то в результате получится новый вектор — линейная комбинация исходных векторов

\alpha \mathbf {a} +\beta \mathbf {b} +\gamma \mathbf {c} +\delta \mathbf {d}

,

где $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ – скаляры (действительные числа)^[8].

Сложение векторов

Сложе́ние векторо́в, или геометри́ческое сложе́ние векторо́в^[9] (англ. addition of vectors) — операция, ставящая в соответствие двум векторам третий вектор — сумму векторов^[10]. При этом сумма $\mathbf {a} +\mathbf {b}$ двух векторов $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$ — это третий вектор $\mathbf {c} =\mathbf {a} +\mathbf {b}$ , проведённый из начала одного вектора к концу второго, причём конец первого вектора совпадает с началом второго (правило треугольника). Сумма векторов геометрически строится с помощью правил — алгоритмов построения вектора суммы по векторам-слагаемым (см. рисунок с треугольником сложения векторов справа)^[11]^[4]^[12]^[9]^[13].

Три вектора $\mathbf {a}$ , $\mathbf {b}$ и $\mathbf {c} =\mathbf {a} +\mathbf {b}$ всегда компланарны, то есть параллельны одной плоскости^[14].

Векторы, которые складываются, называются слагаемыми векторами, а результат сложения — геометрической суммой, или результирующим вектором^[15].

Результат сложения векторов не зависит от расположения первого слагаемого, при его изменении треугольник сложения будет параллельно перенесён^[12].

Существуют два действия, обратных сложению векторов^[16]:

Законы сложения

Операция сложения в математике в векторной алгебре векторов как геометрическое построение по правилу многоугольника возникла как обобщение операции вычисления равнодействующей силы в механике. Правомерность названия «сложение» заключается также и в том, что операция сложения векторов подчиняется тем же двум законам, что и арифметическая операция сложения чисел, а именно^[17]:

Эти законы и аналогичные законы для сложения чисел записываются одинаково. Что не только важно, но и удобно, поскольку позволяет работать с векторными равенствами, не переучиваясь, так же, как с числовыми равенствами. Эта аналогия распространяется и на вычитание векторов, а также действия с равенствами векторов^[18].

Вычитание векторов

Вычита́ние векторо́в, или геометри́ческое вычита́ние векторо́в (англ. subtraction of vectors) — операция, обратная сложению, ставящая в соответствие двум векторам третий вектор — разность векторов, другими словами, по сумме векторов и одному слагаемому определяется второе слагаемое^[19]^[20]^[21]^[22]^[23]. При этом разность $\mathbf {a} -\mathbf {b}$ двух векторов $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$ — это третий вектор $\mathbf {c} =\mathbf {a} -\mathbf {b}$ такой, что $\mathbf {c} +\mathbf {b} =\mathbf {a}$ (см. рисунок справа с треугольником вычитания векторов)^[24]^[25]^[26]^[27]^[28]^[23]. Первый вектор разности называется уменьшаемым, а второй — вычитаемым^[29]^[21]^[22]^[23].

Умножение вектора на число

Умноже́ние ве́ктора на число́ (англ. scalar multiplication of a vector) – операция, ставящая в соответствие вектору и числу другой коллинеарный вектор — произведение вектора на это число^[30]. При этом произведение вектора и числа в случае ненулевых вектора и числа — новый вектор, у которого^[31]^[26]^[27]:

модуль равен произведению модуля исходного вектора на абсолютную величину числа;
направление, совпадающее с направлением исходного вектора, если число положительно, и противоположное, если число отрицательно (см. рисунок справа).

Обозначение произведения вектора $\mathbf {a}$ и скаляра $\lambda$ следующее^[31]^[26]^[27]:

\mathbf {a} \lambda

или

\lambda \mathbf {a} .

В итоге получаем^[31]:

|\lambda \mathbf {a} |=|\mathbf {a} \lambda |=|\lambda ||\mathbf {a} |.

Произведение вектора и числа равно нулевому вектору тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю^[31]^[26]^[27]:

\lambda \mathbf {0} =0\mathbf {a} =\mathbf {0} .

Существуют два действия, обратных умножению вектора на число:

Законы умножения на скаляр

Три закона умножения вектора на скаляр те же самые, что и законы умножения чисел^[31]:

переместительности (коммутативность):

\lambda \mathbf {a} =\mathbf {a} \lambda

;

сочетательности (ассоциативность):

\lambda (\mu \mathbf {a} )=(\lambda \mu )\mathbf {a}

;

распределительности (дистрибутивность):

(\mathbf {a} +\mathbf {b} )\lambda =\mathbf {a} \lambda +\mathbf {b} \lambda

;

(\lambda +\mu )\mathbf {a} =\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {a}

.

Разложение вектора

Геометрическое вычитание векторов — операция, обратная геометрическому сложению векторов. Кроме неё, обратной операцией к сложению векторов является геометрическое разложение вектора, или просто разложение вектора — операция представления данного вектора в виде замыкающей нескольких векторов. Геометрически строится ломаная линия, которую замыкает данный вектор. Но так эту операцию определить нельзя, и чтобы её определить, нужно наложить на геометрические слагаемые определённые условия^[16].

Применение линейных операций

Применение линейных операций — использование линейных операций над векторами:

для решения математических и физических задач. Рассмотрим несколько примеров решения задач разной степени трудности с применением векторов. Использование векторов делает предложенные задачи^[32]:

вычислительными, то есть сводит чисто геометрические рассуждения (с треугольниками, трапециями, средними линиями. медианами и так далее) к вычислениям с векторами, обычно достаточно простыми;
решаемыми при желании без помощи чертежей, которые обычно представляют только один частный случай задачи, что вызывает сомнение в их универсальности;
параллельное доказательство похожих (и, возможно, различно сформулированных) планиметрических и стереометрических закономерностей.

Коллинеарность и компланарность точек

Задача 1. Три точки $A$ , $B$ и $C$ , где

{\overrightarrow {OA}}=\mathbf {a}

,

{\overrightarrow {OB}}=\mathbf {b}

,

{\overrightarrow {OC}}=\mathbf {c}

,

\mathbf {c} =\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {b}

,

тогда и только тогда коллинеарны, то есть лежат на одной прямой, когда (см. рисунок справа)

\lambda +\mu =1

.

Исключение: коллинеарность векторов $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$ , когда три точки $A$ , $B$ и $C$ всегда лежат на одной прямой при любых числах $\lambda$ и $\mu$ ^[33].

Решение^[34]

1. Необходимость. Пусть три точки $A$ , $B$ и $C$ лежат на одной прямой (см. рисунок справа вверху). Тогда векторы ${\overrightarrow {AB}}=\mathbf {b} -\mathbf {a}$ и ${\overrightarrow {AC}}=\mathbf {c} -\mathbf {a}$ коллинеарны, то есть

\mathbf {c} -\mathbf {a} =\mu (\mathbf {b} -\mathbf {a} )

,

следовательно,

\mathbf {c} =\mathbf {a} +\mu (\mathbf {b} -\mathbf {a} )=(1-\mu )\mathbf {a} +\mu \mathbf {b}

,

но разложение вектора $\mathbf {c}$ по векторам $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$ единственно при их неколлинеарности, поэтому окончательно получаем^[33]:

\lambda =1-\mu

,

\quad \lambda +\mu =1

.

2. Достаточность. Обратно, пусть $\lambda +\mu =1$ , тогда

\mathbf {c} -\mathbf {a} =\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {b} -\mathbf {a} =\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {b} -(\lambda +\mu )\mathbf {a} =\mu (\mathbf {b} -\mathbf {a} )

,

поэтому векторы ${\overrightarrow {AC}}=\mathbf {c} -\mathbf {a}$ и ${\overrightarrow {AB}}=\mathbf {b} -\mathbf {a}$ коллинеарны и отложены от одной и той же точки $A$ , следовательно, три точки $A$ , $B$ и $C$ лежат на одной прямой^[34].

Замечание. Уравнение $\mathbf {c} =\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {b}$ с ограничением $\lambda +\mu =1$ — относительно полюса $O$ векторное уравнение прямой, которая проходит через две заданные точки $A$ и $B$ , $\mathbf {a} ={\overrightarrow {OA}}$ , $\mathbf {b} ={\overrightarrow {OB}}$ , $\mathbf {c} ={\overrightarrow {OC}}$ . При этом значения коэффициентов $\lambda$ и $\mu$ вычисляются как частные векторов^[35]:

\lambda ={\frac {\overrightarrow {BC}}{\overrightarrow {BA}}};

\quad \mu ={\frac {\overrightarrow {AC}}{\overrightarrow {AB}}}.

Задача 1'. Найти такой радиус-вектор ${\overrightarrow {OC}}=\mathbf {c}$ , который делит отрезок $AB$ в данном отношении ${\frac {x}{y}}=\nu$ ^[35]^[36]^[37].^[38]

Решение. Используя полученные результаты, имеем, учитывая, что в данном случае коэффициенты $\lambda ,\mu \geqslant 0$ ^[35]:

{\frac {AC}{CB}}={\frac {x}{y}}=\nu

,

{\frac {AC}{AB}}={\frac {AC}{AC+CB}}={\frac {x}{x+y}}=\mu

,

\lambda =1-\mu ={\frac {y}{x+y}}

,

\mathbf {c} =\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {b} ={\frac {y\mathbf {a} +x\mathbf {b} }{x+y}}={\frac {\mathbf {a} +\nu \mathbf {b} }{1+\nu }}

.

Можно провести вычисления короче^[36]:

{\overrightarrow {AC}}=\nu {\overrightarrow {CB}}

,

\mathbf {c} -\mathbf {a} =\nu (\mathbf {b} -\mathbf {c} )

,

\mathbf {c} ={\frac {\mathbf {a} +\nu \mathbf {b} }{1+\nu }}

.

В частности, при ${\frac {AC}{CB}}={\frac {x}{y}}=\nu =1$ имеем:

\mathbf {c} =\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {b} ={\frac {\mathbf {a} +\mathbf {b} }{2}}

,

другими словами, радиус-вектор середины отрезка равен полусумме радиусов-векторов его концов^[36]^[39].

Задача 2. Четыре точки $A$ , $B$ , $C$ и $D$ , где

{\overrightarrow {OA}}=\mathbf {a}

,

{\overrightarrow {OB}}=\mathbf {b}

,

{\overrightarrow {OC}}=\mathbf {c}

,

{\overrightarrow {OD}}=\mathbf {d}

,

\mathbf {d} =\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {b} +\mu \mathbf {c}

,

тогда и только тогда компланарны, то есть лежат в одной плоскости, когда (см. рисунок справа)

\lambda +\mu +\nu =1

.

Исключение: компланарность векторов $\mathbf {a}$ , $\mathbf {b}$ и $\mathbf {c}$ , когда четыре точки $A$ , $B$ , $C$ и $D$ всегда лежат в одной плоскости при любых числах $\lambda$ , $\mu$ и $\nu$ ^[35].

Решение^[40]

1. Необходимость. Пусть четыре точки $A$ , $B$ , $C$ и $D$ лежат в одной плоскости. Тогда векторы ${\overrightarrow {AB}}=\mathbf {b} -\mathbf {a}$ , ${\overrightarrow {AC}}=\mathbf {c} -\mathbf {a}$ и ${\overrightarrow {AF}}=\mathbf {d} -\mathbf {a}$ компланарны, то есть

\mathbf {d} -\mathbf {a} =\mu (\mathbf {b} -\mathbf {a} )+\nu (\mathbf {c} -\mathbf {a} )

,

следовательно,

\mathbf {d} =\mathbf {a} +\mu (\mathbf {b} -\mathbf {a} )+\nu (\mathbf {c} -\mathbf {a} )=(1-\mu -\nu )\mathbf {a} +\mu \mathbf {b} +\nu \mathbf {c}

,

но разложение вектора $\mathbf {d}$ по векторам $\mathbf {a}$ , $\mathbf {b}$ и $\mathbf {c}$ единственно при их некомпланарности, поэтому окончательно получаем^[40]:

\lambda =1-\mu -\nu

,

\quad \lambda +\mu +\nu =1

.

2. Достаточность. Обратно, пусть $\lambda +\mu +\nu =1$ , тогда

\mathbf {d} -\mathbf {a} =\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {b} +\nu \mathbf {c} -\mathbf {a} =\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {b} +\nu \mathbf {c} -(\lambda +\mu +\nu )\mathbf {a} =\mu (\mathbf {b} -\mathbf {a} )+\nu (\mathbf {c} -\mathbf {a} )

,

поэтому векторы ${\overrightarrow {AD}}=\mathbf {d} -\mathbf {a}$ , ${\overrightarrow {AB}}=\mathbf {b} -\mathbf {a}$ и ${\overrightarrow {AC}}=\mathbf {c} -\mathbf {a}$ компланарны и отложены от одной и той же точки $A$ , следовательно, четыре точки $A$ , $B$ , $C$ и $D$ лежат в одной плоскости^[41].

Замечание. Уравнение $\mathbf {d} =\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {b} +\mu \mathbf {c}$ с ограничением $\lambda +\mu +\nu =1$ — относительно полюса $O$ векторное уравнение плоскости, которая проходит через три заданные точки $A$ , $B$ и $C$ , $\mathbf {a} ={\overrightarrow {OA}}$ , $\mathbf {b} ={\overrightarrow {OB}}$ , $\mathbf {c} ={\overrightarrow {OC}}$ , $\mathbf {d} ={\overrightarrow {OD}}$ ^[41].

Построение треугольника

Здесь приведены две задачи на построение треугольника.

Задача 3. Найти условие, которому отвечают три вектора, образующие треугольник (см. рисунок справа)^[42].

Решение. Рисунок справа показывает, что искомое условие для трёх векторов следующее:

\mathbf {a} +\mathbf {b} +\mathbf {c} =0

,

потому что тогда и только тогда ломаная линия $BCAB$ будет замкнута и получится треугольник^[42].

Задача 4. Доказать, что всегда можно построить треугольник с тремя сторонами, равными и параллельными трём медианам данного треугольника $ABC$ (см. рисунок справа)^[42]^[43].

Решение 1. Пусть $A'$ , $B'$ и $C'$ — середины сторон треугольника соответственно $BC$ , $CA$ и $AB$ . Разложим векторы ${\overrightarrow {AA'}}$ , ${\overrightarrow {BB'}}$ и ${\overrightarrow {CC'}}$ , которые представляют медианы треугольника, по векторам $\mathbf {a}$ , $\mathbf {b}$ и $\mathbf {c}$ . Разложим медиану ${\overrightarrow {AA'}}$ :

{\overrightarrow {BA'}}={\frac {1}{2}}{\overrightarrow {BC}}={\frac {1}{2}}\mathbf {a}

,

{\overrightarrow {AA'}}={\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BA'}}=\mathbf {c} +{\frac {1}{2}}\mathbf {a}

,

аналогично

{\overrightarrow {BB'}}=\mathbf {a} +{\frac {1}{2}}\mathbf {b}

,

{\overrightarrow {CC'}}=\mathbf {b} +{\frac {1}{2}}\mathbf {c}

,

и проверяем условие того, что векторы ${\overrightarrow {AA'}}$ , ${\overrightarrow {BB'}}$ и ${\overrightarrow {CC'}}$ составляют треугольник — условие задачи 3^[44]:

\mathbf {a} +\mathbf {b} +\mathbf {c} =0

,

{\overrightarrow {AA'}}+{\overrightarrow {BB'}}+{\overrightarrow {CC'}}=\mathbf {c} +{\frac {1}{2}}\mathbf {a} +\mathbf {a} +{\frac {1}{2}}\mathbf {b} +\mathbf {b} +{\frac {1}{2}}\mathbf {c} ={\frac {3}{2}}(\mathbf {a} +\mathbf {b} +\mathbf {c} )=0

.

Решение 2. Разложим векторы ${\overrightarrow {AA'}}$ , ${\overrightarrow {BB'}}$ и ${\overrightarrow {CC'}}$ по векторам $\mathbf {a}$ , $\mathbf {b}$ и $\mathbf {c}$ по-другому, как в задачи 1':

{\overrightarrow {AA'}}={\frac {\mathbf {c} +(-\mathbf {b} )}{2}},\quad {\overrightarrow {BB'}}={\frac {\mathbf {a} +(-\mathbf {c} )}{2}},\quad {\overrightarrow {CC'}}={\frac {\mathbf {b} +(-\mathbf {a} )}{2}},

и после сложения этих трёх равенств получаем^[43]:

{\overrightarrow {AA'}}+{\overrightarrow {BB'}}+{\overrightarrow {CC'}}={\frac {\mathbf {c} +(-\mathbf {b} )+\mathbf {a} +(-\mathbf {c} )+\mathbf {b} +(-\mathbf {a} )}{2}}=0

.

Совпадение середин отрезков

Здесь представлены по сути две одинаковые задачи, но по-разному сформулированные и по-разному решённые.

Задача 5. Два вектора ${\overrightarrow {AB}}$ и ${\overrightarrow {CD}}$ (на прямой, плоскости или в пространстве) равны тогда и только тогда. когда совпадают середины отрезков $AD$ и $BC$ ^[45].

Решение. 1. Необходимость. Докажем, что если два вектора равны: ${\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {CD}}$ , а точка $P$ — середина отрезка $AD$ , то есть ${\overrightarrow {AP}}={\overrightarrow {PD}}$ , то тогда $P$ — также середина отрезка $BC$ . Действительно,

{\overrightarrow {BP}}={\overrightarrow {AP}}-{\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {PD}}-{\overrightarrow {CD}}={\overrightarrow {PD}}+{\overrightarrow {DC}}={\overrightarrow {PC}}

,

то есть $P$ — середина отрезка $BC$ ^[46].

2. Достаточность. Докажем, что если середины отрезков $AD$ и $BC$ совпадают в точке $P$ :

{\overrightarrow {AP}}={\overrightarrow {PD}},\quad {\overrightarrow {BP}}={\overrightarrow {PC}}

,

то тогда векторы ${\overrightarrow {AB}}$ и ${\overrightarrow {CD}}$ равны. Действительно,

{\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {AP}}+{\overrightarrow {PB}}={\overrightarrow {PD}}+{\overrightarrow {CP}}={\overrightarrow {CP}}+{\overrightarrow {PD}}={\overrightarrow {CD}}

,

то есть векторы ${\overrightarrow {AB}}$ и ${\overrightarrow {CD}}$ равны^[47].

Задача 6. Доказать, что если две диагонали произвольного четырёхугольника делят друг друга пополам, то такой четырёхугольник — параллелограмм^[44].

Решение. Пусть $\mathbf {a}$ , $\mathbf {b}$ , $\mathbf {c}$ и $\mathbf {d}$ — радиус-векторы четырёх последовательных вершин четырёхугольника $ABCD$ (см. рисунок справа). Тогда, по задаче 1',

\mathbf {e'} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {a} +\mathbf {c} )

—

радиус-вектор середины одной диагонали, а

\mathbf {e''} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {b} +\mathbf {d} )

—

радиус-вектор середины другой диагонали. Поскольку диагонали делят друг друга пополам, то их середины совпадают:

{\frac {1}{2}}(\mathbf {a} +\mathbf {c} )={\frac {1}{2}}(\mathbf {b} +\mathbf {d} )

,

\mathbf {b} -\mathbf {a} =\mathbf {c} -\mathbf {d}

,

другими словами, вектор $\mathbf {b} -\mathbf {a}$ равен и параллелен вектору $\mathbf {c} -\mathbf {d}$ . Поскольку эти векторы представляют противоположные стороны четырёхугольника $ABCD$ , то $ABCD$ — параллелограмм^[48].

Пересечение трёх прямых в одной точке

Задача 7. Доказать, что медианы произвольного треугольника пересекаются в одной точке и найти радиус-вектор этой точки^[41].

Решение^[49]

Пусть вершины произвольного треугольника $A$ , $B$ и $C$ имеют радиус-векторы соответственно $\mathbf {r} _{1}={\overrightarrow {OA}}$ , $\mathbf {r} _{2}={\overrightarrow {OB}}$ и $\mathbf {r} _{3}={\overrightarrow {OC}}$ . Обозначим через $A'$ , $B'$ и $C'$ середины сторон соответственно $BC$ , $CA$ и $AB$ (см. рисунок справа). Тогда, по задаче 1', радиус-вектор

\mathbf {r} '={\overrightarrow {OA'}}={\frac {1}{2}}(\mathbf {r} _{2}+\mathbf {r} _{2}),

следовательно, по задаче 1, уравнение прямой, проходящей через две точки $A$ и $A'$ , то есть уравнение медианы $AA'$ ,

\mathbf {r} =\lambda \mathbf {r} _{1}+(1-\lambda ){\frac {1}{2}}(\mathbf {r} _{1}+\mathbf {r} _{3})=\lambda \mathbf {r} _{1}+{\frac {1-\lambda }{2}}(\mathbf {r} _{2}+\mathbf {r} _{3}),

где $\mathbf {r}$ — произвольный радиус-вектор. Аналогично уравнение медианы $BB'$ следующее^[41]:

\mathbf {r} =\mu \mathbf {r} _{2}+{\frac {1-\mu }{2}}(\mathbf {r} _{3}+\mathbf {r} _{1}).

Приравняем оба выражения и получим уравнение точки пересечения медиан $AA'$ и $BB'$ ^[41]:

\lambda \mathbf {r} _{1}+{\frac {1-\lambda }{2}}(\mathbf {r} _{2}+\mathbf {r} _{3})=\mu \mathbf {r} _{2}+{\frac {1-\mu }{2}}(\mathbf {r} _{3}+\mathbf {r} _{1}).

Теперь приравняем коэффициенты при $\mathbf {r} _{1}$ , $\mathbf {r} _{2}$ и $\mathbf {r} _{3}$ ^[41]:

\lambda ={\frac {1-\mu }{2}},\quad \mu ={\frac {1-\lambda }{2}},\quad {\frac {1-\lambda }{2}}={\frac {1-\mu }{2}},

откуда

\lambda =\mu ={\frac {1}{3}},

и уравнение точки пересечения медиан $AA'$ и $BB'$

\mathbf {r} =\lambda \mathbf {r} _{1}+{\frac {1-\lambda }{2}}(\mathbf {r} _{2}+\mathbf {r} _{3})={\frac {1}{3}}(\mathbf {r} _{1}+\mathbf {r} _{2}+\mathbf {r} _{3}).

При определении точки пересечения медиан $BB'$ и $CC'$ будет получен тот же результат по причине симметрии полученного выражения, поэтому третья медиана проходит через ту же точку^[50].

Задача 8. Доказать, что биссектрисы произвольного треугольника пересекаются в одной точке и найти радиус-вектор этой точки^[51].

Решение^[51]

Пусть биссектрисы $AA'$ и $BB'$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $P$ (см. рисунок справа), и пусть

\mathbf {a} _{1}={\frac {\mathbf {a} }{|\mathbf {a} |}},\quad \mathbf {b} _{1}={\frac {\mathbf {b} }{|\mathbf {b} |}},\quad \mathbf {c} _{1}={\frac {\mathbf {c} }{|\mathbf {c} |}}

—

орты векторов

\mathbf {a} ={\overrightarrow {BC}},\quad \mathbf {b} ={\overrightarrow {CA}},\quad \mathbf {c} ={\overrightarrow {AB}}

соответственно. Отложим единичные векторы ${\overrightarrow {AK}}=\mathbf {c} _{1}$ и ${\overrightarrow {AL}}=\mathbf {b} _{1}$ на сторонах $AB$ и $AC$ соответственно и построим на этих ортах ромб $AKML$ (см. рисунок справа)^[50].

Диагональ $AM$ этого ромба — биссектриса угла $A$ . Вектор ${\overrightarrow {AP}}$ , направленный по биссектрисе угла $A$ , коллинеарен вектору $\mathbf {c} _{1}+(-\mathbf {b} _{1})$ :

{\overrightarrow {AP}}=x(\mathbf {c} _{1}-\mathbf {b} _{1})=x\left({\frac {\mathbf {c} }{|\mathbf {c} |}}-{\frac {\mathbf {b} }{|\mathbf {b} |}}\right),

где $x$ пока не определён^[50].

Либо таким же способом, то есть аналогично, либо заменой символов $a$ на $b$ , $b$ на $c$ , $c$ на $a$ , $x$ на $y$ , то есть циклической перестановкой, получается уравнение для вектора ${\overrightarrow {BP}}$ ^[50]:

{\overrightarrow {BP}}=y(\mathbf {a} _{1}-\mathbf {c} _{1})=y\left({\frac {\mathbf {a} }{|\mathbf {a} |}}-{\frac {\mathbf {c} }{|\mathbf {c} |}}\right).

Составим уравнение для нахождения $x$ и $y$ ^[50]:

{\overrightarrow {AP}}={\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BP}},

x\left({\frac {\mathbf {c} }{|\mathbf {c} |}}-{\frac {\mathbf {b} }{|\mathbf {b} |}}\right)=\mathbf {c} +y\left({\frac {\mathbf {a} }{|\mathbf {a} |}}-{\frac {\mathbf {c} }{|\mathbf {c} |}}\right).

В последнем уравнении нельзя приравнять коэффициенты при $\mathbf {a}$ , $\mathbf {b}$ и $\mathbf {c}$ , поскольку эти векторы компланарны, то есть

\mathbf {a} +\mathbf {b} +\mathbf {c} =\mathbf {0}

,

откуда выразим вектор $\mathbf {a}$ ^[50]:

\mathbf {a} =-\mathbf {b} -\mathbf {c} =\mathbf {0}

.

Теперь можно сократить количество векторов в уравнении до двух, исключив вектор $\mathbf {a}$ ^[50]:

x\left({\frac {\mathbf {c} }{|\mathbf {c} |}}-{\frac {\mathbf {b} }{|\mathbf {b} |}}\right)=\mathbf {c} +y\left(-{\frac {\mathbf {b} }{|\mathbf {a} |}}-{\frac {\mathbf {c} }{|\mathbf {a} |}}-{\frac {\mathbf {c} }{|\mathbf {c} |}}\right).

Поскольку разложение вектора по двум не коллинеарным векторам единственно, приравняем в последнем уравнении по отдельности коэффициенты при векторах $\mathbf {b}$ и $\mathbf {c}$ ^[52]:

-{\frac {x}{|\mathbf {b} |}}=-{\frac {y}{|\mathbf {a} |}},

{\frac {x}{|\mathbf {c} |}}=1-{\frac {y}{|\mathbf {a} |}}-{\frac {y}{|\mathbf {c} |}},

следовательно,

y={\frac {|\mathbf {a} ||\mathbf {c} |}{|\mathbf {a} |+|\mathbf {b} |+|\mathbf {c} |}},\quad x={\frac {|\mathbf {b} ||\mathbf {c} |}{|\mathbf {a} |+|\mathbf {b} |+|\mathbf {c} |}},

откуда

{\overrightarrow {AP}}={\frac {|\mathbf {b} |\mathbf {c} -|\mathbf {c} |\mathbf {b} }{|\mathbf {a} |+|\mathbf {b} |+|\mathbf {c} |}},\quad {\overrightarrow {BP}}={\frac {|\mathbf {c} |\mathbf {a} -|\mathbf {a} |\mathbf {c} }{|\mathbf {a} |+|\mathbf {b} |+|\mathbf {c} |}}.

Аналогично, если $P'$ — точка пересечения биссектрис $BB'$ и $CC'$ , то тогда

{\overrightarrow {BP'}}={\frac {|\mathbf {c} |\mathbf {a} -|\mathbf {a} |\mathbf {c} }{|\mathbf {a} |+|\mathbf {b} |+|\mathbf {c} |}},\quad {\overrightarrow {CP'}}={\frac {|\mathbf {a} |\mathbf {b} -|\mathbf {b} |\mathbf {a} }{|\mathbf {a} |+|\mathbf {b} |+|\mathbf {c} |}},

следовательно, ${\overrightarrow {BP}}={\overrightarrow {BP'}}$ , то есть точки $P$ и $P'$ совпадают и биссектрисы пересекаются в одной точке^[52].

Пусть теперь $\mathbf {r} _{1}={\overrightarrow {OA}}$ , $\mathbf {r} _{2}={\overrightarrow {OB}}$ и $\mathbf {r} _{3}={\overrightarrow {OC}}$ — радиус-векторы вершин соответственно $A$ , $B$ и $C$ треугольника $ABC$ , тогда радиус-вектор $\mathbf {r} ={\overrightarrow {OP}}$ точки пересечения биссектрис следующий^[52]:

\mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}+{\overrightarrow {AP}}={\frac {(|\mathbf {a} |+|\mathbf {b} |+|\mathbf {c} |)\mathbf {r} _{1}}{|\mathbf {a} |+|\mathbf {b} |+|\mathbf {c} |}}+{\frac {|\mathbf {b} |(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})-|\mathbf {c} |(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{3})}{|\mathbf {a} |+|\mathbf {b} |+|\mathbf {c} |}}=

={\frac {|\mathbf {a} |\mathbf {r} _{1}+|\mathbf {b} |\mathbf {r} _{2}+|\mathbf {c} |\mathbf {r} _{3}}{|\mathbf {a} |+|\mathbf {b} |+|\mathbf {c} |}}.

Задача 9. В треугольнике $ABC$ точки $A'$ , $B'$ и $C'$ лежат произвольно на сторонах $BC$ , $CA$ и $AB$ соответственно. Найти соотношение между шестью отрезками $AC'$ , $C'B$ , $BA'$ , $A'C$ , $CB'$ и $B'C$ , при которых прямые $AA'$ , $BB'$ и $CC'$ пересекаются в одной точке $P$ ^[53].

Решение^[54]

1. Необходимость. Поместим точку $O$ вне плоскости треугольника $ABC$ , и пусть $\mathbf {r} _{1}={\overrightarrow {OA}}$ , $\mathbf {r} _{2}={\overrightarrow {OB}}$ и $\mathbf {r} _{3}={\overrightarrow {OC}}$ — радиус-векторы соответствующих вершин треугольника, а $\mathbf {r} ={\overrightarrow {P}}$ — радиус-вектор точки $P$ пересечения трёх прямых $AA'$ , $BB'$ и $CC'$ (см. рисунок справа). Разложим вектор $\mathbf {r}$ по трём некомпланарным векторам $\mathbf {r} _{1}$ , $\mathbf {r} _{2}$ и $\mathbf {r} _{3}$ ^[54]:

\mathbf {r} =\alpha _{1}\mathbf {r} _{1}+\alpha _{2}\mathbf {r} _{2}+\alpha _{3}\mathbf {r} _{3}

,

причём, по задаче 2,

\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3}=1

.

Рассмотрим точку $A'$ . Поскольку она лежит на прямой $AP$ , то, согласно задаче 1, её радиус-вектор

OA'=\lambda \mathbf {r} +(1-\lambda )\mathbf {r} _{1}=\lambda (\alpha _{1}\mathbf {r} _{1}+\alpha _{2}\mathbf {r} _{2}+\alpha _{3}\mathbf {r} _{3})+(1-\lambda )\mathbf {r} _{1}=

=(\lambda \alpha _{1}+1-\lambda )\mathbf {r} _{1}+\lambda \alpha _{2}\mathbf {r} _{2}+\lambda \alpha _{3}\mathbf {r} _{3}

,

а поскольку точка $A'$ лежит также и на прямой $BC$ , то, по той же задаче 1,

\lambda \alpha _{1}+1-\lambda -0,\quad \lambda \alpha _{2}+\lambda \alpha _{3}=1

,

причём оба эти соотношения дают один и тот же результат

\lambda ={\frac {1}{1-\alpha _{1}}}={\frac {1}{\alpha _{2}+\alpha _{3}}}

,

откуда окончательно имеем следующее выражение для радиус-вектора $OA'$ ^[55]:

OA'={\frac {\alpha _{2}\mathbf {r} _{2}+\alpha _{3}\mathbf {r} _{3}}{\alpha _{2}+\alpha _{3}}}

.

Сравним последнее выражение с формулой $\mathbf {c} ={\frac {y\mathbf {a} +x\mathbf {b} }{x+y}}$ из задачи 1, получаем^[55]:

{\frac {BA'}{A'C}}={\frac {\alpha _{3}}{\alpha _{2}}}

.

Аналогично заключаем^[55]:

{\frac {CB'}{B'A}}={\frac {\alpha _{1}}{\alpha _{3}}},\quad ,{\frac {AC'}{C'B}}={\frac {\alpha _{2}}{\alpha _{1}}}

.

Перемножим последние три равенства, окончательно найдём требующееся соотношение между шестью отрезками^[55]:

{\frac {BA'\cdot CB'\cdot AC'}{A'C\cdot B'A\cdot C'B}}=1

,

или

BA'\cdot CB'\cdot AC'=A'C\cdot B'A\cdot C'B

.

2. Достаточность. Последнее выражение является также и достаточным условием того, что прямые $AA'$ , $BB'$ и $CC'$ пересекаются в одной точке. Действительно, пусть прямые $AA'$ и $BB'$ пересекаются в точке $P$ , и пусть тогда прямая $CP$ пересекает сторону $AB$ треугольника в некоторой точке $C''$ , для которой по только что доказанному выполняется следующее условие^[55]:

{\frac {AC''}{C''B}}={\frac {A'C\cdot B'A}{BA'\cdot CB'}}

.

Но по условию достаточности выполнено условие

BA'\cdot CB'\cdot AC'=A'C\cdot B'A\cdot C'B

,

следовательно,

{\frac {AC'}{C'B}}={\frac {A'C\cdot B'A}{BA'\cdot CB'}}

,

поэтому точки $C''$ и $C'$ совпадают^[55].

Построение долей отрезка

Задача 10. Доказать, что описанное ниже рекуррентное построение доставляет любую целую часть, то есть половину, треть, четверть и так далее, заданного отрезка $AB$ (см. рисунок справа)^[52]:

параллельно заданному отрезку $AB$ проведём прямую $CD$ . Затем через точку $O$ , расположенную с одной стороны этих отрезков, проведём прямые $OA$ и $OB$ , пересекающие прямую $CD$ в точка $C$ и $D$ соответственно;
диагонали трапеции $ABDC$ пересекаются в точке $K_{2}$ . Прямая $OK_{2}$ пересекает отрезок $AB$ в точке $L_{2}$ . Получаем, что $AL_{2}={\frac {1}{2}}AB;$
прямая $CL_{2}$ пересекает диагональ $AD$ в точке $K_{3}$ . Прямая $OK_{3}$ пересекает отрезок $AB$ в точке $L_{3}$ . Получаем, что $AL_{3}={\frac {1}{3}}AB$ . И так далее.

Решение^[56]

Будем обозначат радиус-векторы ${\overrightarrow {OP}}$ , проведённые из точки $O$ в какую-либо точку $P$ , через $\mathbf {r} _{P}$ ^[52].

1. Докажем равенство

\mathbf {r} _{A}=l\mathbf {r} _{C},\quad \mathbf {r} _{B}=l\mathbf {r} _{D},

где $l$ — фиксированное число, двумя разными способами^[57]:

это равенство следует из подобия треугольников $OCD$ и $OAB$ ;
это равенство следует из того, что следующие пары векторов коллинеарны:

$\mathbf {r} _{A}$ и $\mathbf {r} _{C}$ , ${\overrightarrow {AB}}$ и ${\overrightarrow {CD}}$ , $\mathbf {r} _{B}$ и $\mathbf {r} _{D}$ .

Отсюда получаем, что

\mathbf {r} _{A}=l\mathbf {r} _{C},\quad {\overrightarrow {AB}}=l_{1}{\overrightarrow {CD}},\quad \mathbf {r} _{B}=l_{2}\mathbf {r} _{D}.

Но поскольку

\mathbf {r} _{B}=\mathbf {r} _{A}+{\overrightarrow {AB}},\quad \mathbf {r} _{D}=\mathbf {r} _{C}+{\overrightarrow {CD}},

то отсюда вытекает, что

\mathbf {r} _{A}+{\overrightarrow {AB}}=l\mathbf {r} _{C}+l_{1}{\overrightarrow {CD}}=l_{2}\mathbf {r} _{D}=l_{2}\mathbf {r} _{C}+l_{2}{\overrightarrow {CD}}.

Окончательно получаем:

l_{2}=l=l_{1},

то есть и саму теорему о подобии треугольников, и равенство

\mathbf {r} _{A}=l\mathbf {r} _{C},\quad \mathbf {r} _{B}=l\mathbf {r} _{D}.

2. Докажем, что $L_{2}$ — середина отрезка $AB$ . Сначала рассмотрим точку $K_{2}$ пересечения прямых $AD$ и $BC$ . Эти прямые, по задаче 1, имеют уравнения

\mathbf {r} =m\mathbf {r} _{A}+(1-m)\mathbf {r} _{D}=m\mathbf {r} _{A}+{\frac {1-m}{l}}\mathbf {r} _{B},

\mathbf {r} =p\mathbf {r} _{B}+(1-p)\mathbf {r} _{C}=p\mathbf {r} _{B}+{\frac {1-p}{l}}\mathbf {r} _{A}

соответственно, где $\mathbf {r}$ — произвольный радиус-вектор. В точке пересечения $K_{2}$ этих прямых

m={\frac {1-p}{l}},\quad {\frac {1-m}{l}}=p,

откуда получаем^[57]:

m={\frac {1}{l+1}},\quad p={\frac {1}{l+1}},\quad {\mathbf {r} _{K}}_{2}={\frac {1}{l+1}}(\mathbf {r} _{A}+\mathbf {r} _{B}).

Теперь рассмотрим точку $L_{2}$ пересечения прямых $AB$ и $OK_{2}$ . Уравнение прямой $OK_{2}$

\mathbf {r} =\lambda {\mathbf {r} _{K}}_{2}={\frac {\lambda }{l+1}}(\mathbf {r} _{A}+\mathbf {r} _{B})

,

и точка $L_{2}$ прямой $OK_{2}$ лежит на прямой $AB$ тогда и только тогда, когда, по задаче 1, сумма коэффициентов при радиус-векторах $\mathbf {r} _{A}$ и $\mathbf {r} _{B}$ равна единице:

{\frac {2\lambda }{l+1}}=1,\quad \lambda ={\frac {l+1}{2}},

следовательно,

{\mathbf {r} _{L}}_{2}={\frac {1}{2}}(\mathbf {r} _{A}+\mathbf {r} _{B})

,

то есть $L_{2}$ — середина отрезка $AB$ ^[57].

3. Окончательно решим поставленную задачу, используя метод математической индукции. Для $n=2$ задача уже решена. Осталось показать, что от точки $L_{n}$ можно перейти к точке $L_{n+1}$ при $n>1$ . Предположим, что имеет место база индукции

AL_{n}={\frac {1}{n}}AB

,

откуда, по замечанию к задаче 1, получаем^[53]:

{\mathbf {r} _{L}}_{n}={\frac {(n-1)\mathbf {r} _{A}+\mathbf {r} _{B}}{n}}

,

и уравнение прямой $CL_{n}$

\mathbf {r} =q{\mathbf {r} _{L}}_{n}+(1-q)\mathbf {r} _{C}=q{\frac {(n-1)\mathbf {r} _{A}+\mathbf {r} _{B}}{n}}+{\frac {1-q}{l}}\mathbf {r} _{A}

.

Прямая $CL_{n}$ пересекается с прямой $AD$

\mathbf {r} =m\mathbf {r} _{A}+(1-m)\mathbf {r} _{D}=m\mathbf {r} _{A}+{\frac {1-m}{l}}\mathbf {r} _{B}

,

по точке $K_{n+1}$ , для которой выполняются следующие условия, полученные приравниванием коэффициентов при одинаковых векторах в этих двух уравнениях прямых^[53]:

m=q{\frac {n-1}{n}}+{\frac {1-q}{l}},\quad {\frac {1-m}{l}}={\frac {q}{n}},

следовательно,

m={\frac {n}{l+n}},\quad q={\frac {n}{l+n}},\quad {\mathbf {r} _{K}}_{n+1}={\frac {n\mathbf {r} _{A}+\mathbf {r} _{B}}{l+n}}.

Прямая $OK_{n+1}$

\mathbf {r} =\lambda {\mathbf {r} _{K}}_{n+1}={\frac {\lambda }{n+1}}(n\mathbf {r} _{A}+\mathbf {r} _{B})

.

пересекается с прямой $AB$ по точке $L_{n+1}$ тогда и только тогда, когда, по задаче 1, сумма коэффициентов при радиус-векторах $\mathbf {r} _{A}$ и $\mathbf {r} _{B}$ равна единице:

{\frac {\lambda }{l+n}}(n+1)=1,\quad \lambda ={\frac {l+n}{n+1}},

следовательно,

{\mathbf {r} _{L}}_{n+1}={\frac {n\mathbf {r} _{A}+\mathbf {r} _{B}}{n+1}}

,

то есть $L_{n+1}$ делит отрезок $AB$ в отношении $1:n$ :

AL_{n+1}={\frac {1}{n+1}}AB

,

что и требовалось доказать^[53].

Центр масс трёх материальных точек

Задача 11. Центр масс системы двух материальных точек обладает двумя свойствами^[58]:

лежит на линии, соединяющей эти две материальные точки;
делит эту линию в отношении, обратно пропорциональном массам материальных точек.

Исходя из этого, найти центр масс системы трёх материальных точек^[58].

Решение. Пусть массы $m_{1}$ , $m_{2}$ и $m_{3}$ сосредоточены в материальных точках соответственно $M_{1}$ , $M_{2}$ и $M_{3}$ с радиус-векторами соответственно $\mathbf {r} _{1}$ , $\mathbf {r} _{2}$ и $\mathbf {r} _{3}$ . Тогда, по задаче 1', радиус-вектор центра масс системы двух материальных точек $M_{1}$ и $M_{2}$

\mathbf {r} '={\frac {m_{1}\mathbf {r} _{1}+m_{2}\mathbf {r} _{2}}{m_{1}+m_{2}}}

,

отсюда по той же формуле находим радиус-вектор центра масс системы трёх материальных точек $M_{1}$ , $M_{2}$ и $M_{3}$ как центр масс двух точек: центра масс системы точек $M_{1}$ и $M_{2}$ и точки $M_{3}$ ^[58]:

\mathbf {r} ={\frac {(m_{1}+m_{2})\mathbf {r} '+m_{3}\mathbf {r} _{3}}{(m_{1}+m_{2})+m_{3}}}={\frac {m_{1}\mathbf {r} _{1}+m_{2}\mathbf {r} _{2}+m_{3}\mathbf {r} _{3}}{m_{1}+m_{2}+m_{3}}}.

Задача 12. Пусть дан тетраэдр (см. рисунок справа). Доказать, что^[59]:

три отрезка, которые соединяют середины противоположных рёбер тетраэдра (на рисунке зелёные), пересекаются в общей точке, которая их делит пополам;
в этой же точке пересекаются четыре отрезка (на рисунке один из них — красный), которые соединяют вершины тетраэдра с центрами масс противоположных граней, причём эта точка делит эти четыре отрезки, считая от вершины, в отношении $3:1$ .

Решение^[60]

Пусть даны тетраэдр $ABCD$ и произвольная фиксированная точка пространства $O$ . Введём следующие радиус-векторы^[59].

{\overrightarrow {OA}}=\mathbf {r} _{1},\quad {\overrightarrow {OB}}=\mathbf {r} _{2},\quad {\overrightarrow {OC}}=\mathbf {r} _{3},\quad {\overrightarrow {OD}}=\mathbf {r} _{4}.

1. Обозначим через $E$ и $F$ середина рёбер соответственно $AB$ и $CD$ , а через $M$ — середину нового отрезка $EF$ . Получим по задаче 1'^[61]:

{\overrightarrow {OE}}=\mathbf {r} _{E}={\frac {\mathbf {r} _{1}+\mathbf {r} _{2}}{2}},

{\overrightarrow {OF}}=\mathbf {r} _{F}={\frac {\mathbf {r} _{3}+\mathbf {r} _{3}}{2}},

{\overrightarrow {OM}}=\mathbf {r} _{M}={\frac {\mathbf {r} _{E}+\mathbf {r} _{F}}{2}}={\frac {\mathbf {r} _{1}+\mathbf {r} _{2}+\mathbf {r} _{3}+\mathbf {r} _{4}}{4}}.

Полученное выражение для $\mathbf {r} _{M}$ симметрично относительно радиус-векторов $\mathbf {r} _{1}$ , $\mathbf {r} _{2}$ , $\mathbf {r} _{3}$ , $\mathbf {r} _{4}$ , поэтому, из соображений симметрии, заключаем, что точка $M$ будет также серединой двух отрезков, соединяющих середины остальных пар противоположных рёбер тетраэдра^[61].

2. Обозначим через $K$ точку пересечения медиан грани $ABC$ . Тогда радиус-вектор этой точки будет, по задаче 7, следующим^[61]:

{\overrightarrow {OK}}=\mathbf {r} _{K}={\frac {\mathbf {r} _{1}+\mathbf {r} _{2}+\mathbf {r} _{3}}{3}}.

Пусть теперь $N$ — такая точка вектора ${\overrightarrow {DK}}$ , которая делит его в отношении $3:1$ . Тогда, по задаче 1',

{\overrightarrow {ON}}=\mathbf {r} _{N}={\frac {\mathbf {r} _{4}+3\mathbf {r} _{K}}{4}}={\frac {\mathbf {r} _{1}+\mathbf {r} _{2}+\mathbf {r} _{3}+\mathbf {r} _{4}}{4}},

откуда следует, что^[61]:

точка $N$ совпадает с точкой $M$ ;
точка $N$ одна и та же для всех четырёх отрезков, соединяющих все четыре вершины тетраэдра с центрами тяжести противоположных граней.

Трапеция

Задача 13. Через середины оснований трапеции проведена прямая. Доказать, что эта прямая проходит также и через точку пересечения продолжения боковых сторон трапеции^[62].

Решение. Обозначим вершины трапеции последовательно через $A$ , $B$ , $C$ и $D$ , середины оснований $BC$ и $AD$ — через $M$ и $N$ соответственно, а точку пересечения прямых $AB$ и $CD$ — через $O$ (см. рисунок справа)^[62].

Поскольку треугольники $OAD$ и $OBC$ подобны по первому признаку подобия треугольников, то получаем следующую пропорцию^[62]:

{\frac {OA}{OB}}={\frac {OD}{OC}}=k.

Векторы ${\overrightarrow {OB}}$ и ${\overrightarrow {OA}}$ сонаправлены, также как и векторы ${\overrightarrow {OC}}$ и ${\overrightarrow {OD}}$ , следовательно, верны следующие равенства^[62]:

{\overrightarrow {OA}}=k{\overrightarrow {OB}},\quad {\overrightarrow {OD}}=k{\overrightarrow {OC}}.

Поскольку точка $M$ — середина отрезка $BC$ , то

{\overrightarrow {OM}}={\frac {1}{2}}({\overrightarrow {OB}}+{\overrightarrow {OC}}),

и аналогично имеем^[62]:

{\overrightarrow {ON}}={\frac {1}{2}}({\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {OD}}).

Подставим в последнее равенство выражения для ${\overrightarrow {OA}}$ и ${\overrightarrow {OD}}$ :

{\overrightarrow {ON}}={\frac {k}{2}}({\overrightarrow {OB}}+{\overrightarrow {OC}})={\frac {k}{2}}{\overrightarrow {OM}},

то есть векторы ${\overrightarrow {ON}}$ и ${\overrightarrow {OM}}$ коллинеарны, следовательно, точка $O$ лежит на прямой $MN$ ^[63].

Задача 14. Доказать, что средняя линия любой трапеции параллельна её двум основаниям и равна их полусумме^[63].

Решение. Пусть трапеция $ABCD$ имеет среднюю линию $MN$ . Воспользуемся правилом многоугольника:

{\overrightarrow {MN}}={\overrightarrow {MB}}+{\overrightarrow {BC}}+{\overrightarrow {CN}}={\overrightarrow {MA}}+{\overrightarrow {AD}}+{\overrightarrow {DN}},

и сложим эти равенства, получим^[63]:

2{\overrightarrow {MN}}=({\overrightarrow {MB}}+{\overrightarrow {MA}})+({\overrightarrow {BC}}+{\overrightarrow {AD}})+({\overrightarrow {CN}}+{\overrightarrow {DN}}).

Поскольку точки $M$ и $N$ — середины сторон соответственно $AB$ и $CD$ , то

{\overrightarrow {MB}}+{\overrightarrow {MA}}={\overrightarrow {CN}}+{\overrightarrow {DN}}=0,

следовательно, можно записать следующие равенства^[63]:

2{\overrightarrow {MN}}={\overrightarrow {AD}}+{\overrightarrow {BC}},

{\overrightarrow {MN}}={\frac {1}{2}}({\overrightarrow {AD}}+{\overrightarrow {BC}}).

Из того, что векторы ${\overrightarrow {AD}}$ и ${\overrightarrow {BC}}$ сонаправлены, получаем, что^[63]:

векторы ${\overrightarrow {MN}}$ и ${\overrightarrow {AD}}$ также сонаправлены, то есть средняя линия параллельна основанию трапеции;
$MN={\frac {AD+BC}{2}}.$

Четыре точки в пространстве

Задача 15. Дан четырёхугольник, не обязательно плоский. Доказать, что середины его сторон являются вершинами плоской фигуры — параллелограмма^[64].

Решение. В четырёхугольнике $ABCD$ с серединами сторон $M$ , $N$ , $P$ и $Q$ имеют место следующие соотношения:

{\overrightarrow {MN}}-{\overrightarrow {QP}}={\overrightarrow {MN}}+{\overrightarrow {PQ}}=

=({\overrightarrow {MB}}+{\overrightarrow {BN}})+({\overrightarrow {PD}}+{\overrightarrow {DQ}})=

={\frac {1}{2}}{\overrightarrow {AB}}+{\frac {1}{2}}{\overrightarrow {BC}}+{\frac {1}{2}}{\overrightarrow {CD}}+{\frac {1}{2}}{\overrightarrow {DA}}=

={\frac {1}{2}}({\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BC}}+{\overrightarrow {CD}}+{\overrightarrow {DA}})={\frac {1}{2}}{\overrightarrow {AA}}=\mathbf {0}

,

то есть ${\overrightarrow {MN}}={\overrightarrow {QP}}$ , другими словами, у четырёхугольника $MNPQ$ противоположные стороны равны и параллельны, следовательно, четырёхугольник $MNPQ$ — параллелограмм^[64].

Задача 16. Пусть даны четыре точки, не обязательно лежащие в одной плоскости: $M$ , $N_{1}$ , $N_{2}$ и $N_{3}$ . Построим ещё шесть точек^[65]:

$M_{1}$ — симметричную $M$ относительно $N_{1}$ ;
$M_{2}$ — симметричную $M_{1}$ относительно $N_{2}$ ;
$M_{3}$ — симметричную $M_{2}$ относительно $N_{3}$ ;
$M_{4}$ — симметричную $M_{3}$ относительно $N_{1}$ ;
$M_{5}$ — симметричную $M_{4}$ относительно $N_{2}$ ;
$M_{6}$ — симметричную $M_{5}$ относительно $N_{3}.$

Доказать, что точки $M$ и $M_{6}$ совпадают^[66].

Стандартное решение этой задачи, то есть решение, не использующее векторов, утомительно, поскольку состоит в рассмотрении многих треугольников^[66].

Решение. Возьмём произвольную фиксированную точку $O$ . По Задаче 1' получаем шесть равенств^[66]:

{\overrightarrow {OM}}+{\overrightarrow {OM_{1}}}=2{\overrightarrow {ON_{1}}},

{\overrightarrow {OM_{1}}}+{\overrightarrow {OM_{2}}}=2{\overrightarrow {ON_{2}}},

{\overrightarrow {OM_{2}}}+{\overrightarrow {OM_{3}}}=2{\overrightarrow {ON_{3}}},

{\overrightarrow {OM_{3}}}+{\overrightarrow {OM_{4}}}=2{\overrightarrow {ON_{1}}},

{\overrightarrow {OM_{4}}}+{\overrightarrow {OM_{5}}}=2{\overrightarrow {ON_{2}}},

{\overrightarrow {OM_{5}}}+{\overrightarrow {OM_{6}}}=2{\overrightarrow {ON_{3}}}.

Сложим первое, третье и пятое из этих шести равенств и вычтем их них второе, четвёртое и шестое, получим

{\overrightarrow {OM}}-{\overrightarrow {OM_{6}}}=\mathbf {0} ,

то есть

{\overrightarrow {M_{6}M}}=\mathbf {0} ,

другими словами, точки $M$ и $M_{6}$ совпадают^[66].

Источники

↑ Линейные операции, 1988.
↑ Линейные операции над векторами, 1984.
↑ Пытьев Ю. П. Векторная алгебра, 1977, с. 632.
↑ ¹ ² Пытьев Ю. П. Векторная алгебра, 1988, с. 107.
↑ Александров П. С. Лекции по аналитической геометрии, 1968, Глава II. Векторы. § 2. Линейные операции над векторами (сложение и умножение на число), с. 34.
↑ Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия, 1988, Глава 2. Векторная алгебра. § 1. Понятие вектора… 2. Линейные операции над векторами, с. 42.
↑ Ефимов Н. В. Краткий курс аналитической геометрии, 2005, § 48. Определение линейных операций. 145, с. 135.
↑ ¹ ² Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления, 1975, Глава I. Линейные операции над векторами. § 4. Умножение и деление вектора на скаляр, с. 26.
↑ ¹ ² Кочин Г. Ф. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 1965, § 2. Сложение… векторов.…, с. 8.
↑ Сложение векторов, 1984.
↑ Пытьев Ю. П. Векторная алгебра, 1977, с. 632—633.
↑ ¹ ² Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления, 1975, Глава I. Линейные операции над векторами. § 2. Сложение векторов, с. 16.
↑ Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И. Геометрия. 7—9 классы, 2014, 82. Сумма двух векторов, с. 195.
↑ Кочин Г. Ф. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 1965, § 2. Сложение… векторов.…, с. 12.
↑ Кочин Г. Ф. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 1965, § 2. Сложение… векторов.…, с. 9.
↑ ¹ ² Кочин Г. Ф. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 1965, § 2. Сложение… векторов.…, с. 11.
↑ Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления, 1975, Глава I. Линейные операции над векторами. § 2. Сложение векторов, с. 18—19.
↑ Болтянский В. Г., Яглом И. М. Векторы и их применения в геометрии, 1963, 2.1. Сложение векторов, с. 299; 2.3. Свойства суммы векторов, с. 304.
↑ Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления, 1975, Глава I. Линейные операции над векторами. § 3. Вычитание векторов, с. 22.
↑ Кочин Г. Ф. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 1965, § 2. Сложение… векторов.…, с. 8, 10.
↑ ¹ ² Вычитание, 1988.
↑ ¹ ² Вычитание, 1977.
↑ ¹ ² ³ Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике, 1977, § 88. Вычитание векторов, с. 122.
↑ Разность векторов, 1984.
↑ Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И. Геометрия. 7—9 классы, 2014, 85. Вычитание векторов, с. 198.
↑ ¹ ² ³ ⁴ Пытьев Ю. П. Векторная алгебра, 1977, с. 633.
↑ ¹ ² ³ ⁴ Пытьев Ю. П. Векторная алгебра, 1988, с. 108.
↑ Кочин Г. Ф. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 1965, § 2. Сложение… векторов.…, с. 10.
↑ Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления, 1975, Глава I. Линейные операции над векторами. § 3. Вычитание векторов, с. 21.
↑ Умножение вектора на число, 1984.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления, 1975, Глава I. Линейные операции над векторами. § 4. Умножение и деление вектора на скаляр, с. 23.
↑ Болтянский В. Г., Яглом И. М. Векторы и их применения в геометрии, 1963, Примеры, с. 315.
↑ ¹ ² Кочин Г. Ф. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 1965, § 2. Сложение… векторов.…, с. 15.
↑ ¹ ² Кочин Г. Ф. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 1965, § 2. Сложение… векторов.…, с. 15—16.
↑ ¹ ² ³ ⁴ Кочин Г. Ф. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 1965, § 2. Сложение… векторов.…, с. 16.
↑ ¹ ² ³ Александров П. С. Лекции по аналитической геометрии, 1968, Задачи. Задача 3, с. 801.
↑ Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И. Геометрия. 7—9 классы, 2014, Дополнительные задачи. 806, с. 210.
↑ Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике, 1977, § 103. Деление отрезка в данном отношении, с. 159.
↑ Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И. Геометрия. 7—9 классы, 2014, 87. Применение векторов к решению задач. Задача 1, с. 204.
↑ ¹ ² Кочин Г. Ф. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 1965, § 2. Сложение… векторов.…, с. 16—17.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ Кочин Г. Ф. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 1965, § 2. Сложение… векторов.…, с. 17.
↑ ¹ ² ³ Кочин Г. Ф. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 1965, § 2. Сложение… векторов.…, с. 13.
↑ ¹ ² Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И. Геометрия. 7—9 классы, 2014, Применение векторов к решению задач. 788, с. 207.
↑ ¹ ² Кочин Г. Ф. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 1965, § 2. Сложение… векторов.…, с. 14.
↑ Александров П. С. Лекции по аналитической геометрии, 1968, Задачи. Задача 2, с. 800.
↑ Александров П. С. Лекции по аналитической геометрии, 1968, Задачи. Задача 2, с. 800—801.
↑ Александров П. С. Лекции по аналитической геометрии, 1968, Задачи. Задача 2, с. 801.
↑ Кочин Г. Ф. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 1965, § 2. Сложение… векторов.…, с. 14—15.
↑ Кочин Г. Ф. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 1965, § 2. Сложение… векторов.…, с. 17—18.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ Кочин Г. Ф. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 1965, § 2. Сложение… векторов.…, с. 18.
↑ ¹ ² Кочин Г. Ф. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 1965, § 2. Сложение… векторов.…, с. 18—19.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ Кочин Г. Ф. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 1965, § 2. Сложение… векторов.…, с. 19.
↑ ¹ ² ³ ⁴ Кочин Г. Ф. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 1965, § 2. Сложение… векторов.…, с. 21.
↑ ¹ ² Кочин Г. Ф. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 1965, § 2. Сложение… векторов.…, с. 21—22.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ Кочин Г. Ф. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 1965, § 2. Сложение… векторов.…, с. 22.
↑ Кочин Г. Ф. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 1965, § 2. Сложение… векторов.…, с. 19—21.
↑ ¹ ² ³ Кочин Г. Ф. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 1965, § 2. Сложение… векторов.…, с. 20.
↑ ¹ ² ³ Кочин Г. Ф. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 1965, § 2. Сложение… векторов.…, с. 23.
↑ ¹ ² Александров П. С. Лекции по аналитической геометрии, 1968, Задачи. Задача 4, с. 801.
↑ Александров П. С. Лекции по аналитической геометрии, 1968, Задачи. Задача 4, с. 801—802.
↑ ¹ ² ³ ⁴ Александров П. С. Лекции по аналитической геометрии, 1968, Задачи. Задача 4, с. 802.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И. Геометрия. 7—9 классы, 2014, 87. Применение векторов к решению задач. Задача 2, с. 204.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И. Геометрия. 7—9 классы, 2014, 87. Применение векторов к решению задач. Задача 2, с. 205.
↑ ¹ ² Болтянский В. Г., Яглом И. М. Векторы и их применения в геометрии, 1963, Примеры. Задача 1, с. 315.
↑ Болтянский В. Г., Яглом И. М. Векторы и их применения в геометрии, 1963, Примеры. Задача 1, с. 315—316.
↑ ¹ ² ³ ⁴ Болтянский В. Г., Яглом И. М. Векторы и их применения в геометрии, 1963, Примеры. Задача 1, с. 316.

Литература

Александров П. С. Лекции по аналитической геометрии, пополненные необходимыми сведениями из алгебры с приложением собрания задач, снабжённых решениями, составленного А. С, Пархоменко. 2-е изд. М.: «Наука», 1968. 912 с., ил.
Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И. Геометрия. 7—9 классы : учебник для общеобразовательных организаций. 2-е изд. М.: Просвещение, 2014. 383 с., ил.
Болтянский В. Г., Яглом И. М. Векторы и их применения в геометрии // Энциклопедия элементарной математики, книга четвёртая — геометрия / Гл. ред. П. С. Александров, А. И. Маркушевич, А. Я. Хинчин. Ред. книги 4: В. Г. Болтянский, И. М. Яглом. М.: Физматгиз, 1963. 568 с., ил. С. 291—381.
Векторное исчисление // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. Кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. М.: «Советская энциклопедия», 1988. 847 с., ил. С. 109.
Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. Изд-е 12-е, стереотип. М.: «Наука», 1977. 871 с., ил.
Вычитание // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 1 А—Г. М.: «Советская Энциклопедия», 1977. 1152 стб., ил. Стб. 828.
Вычитание // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. Кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. М.: «Советская энциклопедия», 1988. 847 с., ил. С. 135.
Ефимов Н. В. Краткий курс аналитической геометрии: Учебное пособие. 13-е изд., стереот. М.: Физматлит, 2005. 238 с. ISBN 5-9221-0252-4.
Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия: Учебник для университетов. 4-е изд., доп. М.: «Наука», 1988. 223 с. (Курс высшей математики и математической физики. Выпуск 5 / Под ред. А. Н. Тихонова, В. А. Ильина, А. Г. Свешникова).
Кочин Г. Ф. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. Изд-е 9-е. М.: «Наука», 1965. 427 с., ил.
Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления. М.: «Наука», 1975. 336 с., ил.
Линейные операции // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. Кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. М.: «Советская энциклопедия», 1988. 847 с., ил. С. 320.
Линейные операции над векторами // Воднев В. Т., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф. Математический словарь высшей школы: Общая часть / Под. ред. Ю. С. Богданова. Минск: «Высшая школа», 1984. 527 с., ил. С. 186.
Пытьев Ю. П. Векторная алгебра // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 1 А—Г. М.: «Советская Энциклопедия», 1977. 1152 стб., ил. Стб. 632—636.
Пытьев Ю. П. Векторная алгебра // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. Кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. М.: «Советская энциклопедия», 1988. 847 с., ил. С. 107—109.
Разность векторов // Воднев В. Т., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф. Математический словарь высшей школы: Общая часть / Под. ред. Ю. С. Богданова. Минск: «Высшая школа», 1984. 527 с., ил. С. 369.
Сложение векторов // Воднев В. Т., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф. Математический словарь высшей школы: Общая часть / Под. ред. Ю. С. Богданова. Минск: «Высшая школа», 1984. 527 с., ил. С. 412.
Умножение вектора на число // Воднев В. Т., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф. Математический словарь высшей школы: Общая часть / Под. ред. Ю. С. Богданова. Минск: «Высшая школа», 1984. 527 с., ил. С. 462.

[_aad21afa955e0d8d-1] Линейные операции, 1988.

[_99e021e85103186b-2] Линейные операции над векторами, 1984.

[_1ec7c7972ad62a5a-3] Пытьев Ю. П. Векторная алгебра, 1977, с. 632.

[_90d5c709ccba0b01-4] ¹ ² Пытьев Ю. П. Векторная алгебра, 1988, с. 107.

[_fb0c83097d0b4049-5] Александров П. С. Лекции по аналитической геометрии, 1968, Глава II. Векторы. § 2. Линейные операции над векторами (сложение и умножение на число), с. 34.

[_02d7a7e0d83a9a52-6] Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия, 1988, Глава 2. Векторная алгебра. § 1. Понятие вектора… 2. Линейные операции над векторами, с. 42.

[_294b7dfaa4564623-7] Ефимов Н. В. Краткий курс аналитической геометрии, 2005, § 48. Определение линейных операций. 145, с. 135.

[_da7839d6084053fc-8] ¹ ² Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления, 1975, Глава I. Линейные операции над векторами. § 4. Умножение и деление вектора на скаляр, с. 26.

[_1013e77d6f1f69f2-9] ¹ ² Кочин Г. Ф. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 1965, § 2. Сложение… векторов.…, с. 8.

[_a73b23b0c2175fb1-10] Сложение векторов, 1984.

[_d4f92134b6586560-11] Пытьев Ю. П. Векторная алгебра, 1977, с. 632—633.

[_13d8299dfc3b98c7-12] ¹ ² Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления, 1975, Глава I. Линейные операции над векторами. § 2. Сложение векторов, с. 16.

[_fc4c76e1ed4b6aff-13] Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И. Геометрия. 7—9 классы, 2014, 82. Сумма двух векторов, с. 195.

[_78dec3e9b164dbf9-14] Кочин Г. Ф. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 1965, § 2. Сложение… векторов.…, с. 12.

[_1a63ca7d756f2279-15] Кочин Г. Ф. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 1965, § 2. Сложение… векторов.…, с. 9.

[_8415bee9b878eb4c-16] ¹ ² Кочин Г. Ф. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 1965, § 2. Сложение… векторов.…, с. 11.

[_0ce70b9261ac7b3b-17] Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления, 1975, Глава I. Линейные операции над векторами. § 2. Сложение векторов, с. 18—19.

[_e1466fad394eca0f-18] Болтянский В. Г., Яглом И. М. Векторы и их применения в геометрии, 1963, 2.1. Сложение векторов, с. 299; 2.3. Свойства суммы векторов, с. 304.

[_b05887c4449ded19-19] Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления, 1975, Глава I. Линейные операции над векторами. § 3. Вычитание векторов, с. 22.

[_5ad66b5dd9df87ef-20] Кочин Г. Ф. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 1965, § 2. Сложение… векторов.…, с. 8, 10.

[_3acbc223e25a5efe-21] ¹ ² Вычитание, 1988.

[_f70ef183d920ce38-22] ¹ ² Вычитание, 1977.

[_a03accaaca52e248-23] ¹ ² ³ Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике, 1977, § 88. Вычитание векторов, с. 122.

[_1019da7e72cd933a-24] Разность векторов, 1984.

[_ec1a356ef38be1ed-25] Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И. Геометрия. 7—9 классы, 2014, 85. Вычитание векторов, с. 198.

[_2916aa97312431c1-26] ¹ ² ³ ⁴ Пытьев Ю. П. Векторная алгебра, 1977, с. 633.

[_bf8a2e09e8237a78-27] ¹ ² ³ ⁴ Пытьев Ю. П. Векторная алгебра, 1988, с. 108.

[_8e7ed1e9bedc5833-28] Кочин Г. Ф. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 1965, § 2. Сложение… векторов.…, с. 10.

[_bb8d82c44bae976c-29] Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления, 1975, Глава I. Линейные операции над векторами. § 3. Вычитание векторов, с. 21.

[_d95ed1a8862e7195-30] Умножение вектора на число, 1984.

[_c161e0d5fa4afbdf-31] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления, 1975, Глава I. Линейные операции над векторами. § 4. Умножение и деление вектора на скаляр, с. 23.

[_593e0c9b22971c16-32] Болтянский В. Г., Яглом И. М. Векторы и их применения в геометрии, 1963, Примеры, с. 315.

[_5fbcd2e9a3675c38-33] ¹ ² Кочин Г. Ф. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 1965, § 2. Сложение… векторов.…, с. 15.

[_33bdc1a1d9c72369-34] ¹ ² Кочин Г. Ф. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 1965, § 2. Сложение… векторов.…, с. 15—16.

[_556057e99d0dc915-35] ¹ ² ³ ⁴ Кочин Г. Ф. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 1965, § 2. Сложение… векторов.…, с. 16.

[_188d7787a986d939-36] ¹ ² ³ Александров П. С. Лекции по аналитической геометрии, 1968, Задачи. Задача 3, с. 801.

[_10b29b2abc6e9491-37] Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И. Геометрия. 7—9 классы, 2014, Дополнительные задачи. 806, с. 210.

[_4121c560e5bb9664-38] Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике, 1977, § 103. Деление отрезка в данном отношении, с. 159.

[_8acfe7dd126e9c42-39] Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И. Геометрия. 7—9 классы, 2014, 87. Применение векторов к решению задач. Задача 1, с. 204.

[_99b071b327e64469-40] ¹ ² Кочин Г. Ф. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 1965, § 2. Сложение… векторов.…, с. 16—17.

[_5102f4e99bcb972e-41] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ Кочин Г. Ф. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 1965, § 2. Сложение… векторов.…, с. 17.

[_755ce0e9b0ded972-42] ¹ ² ³ Кочин Г. Ф. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 1965, § 2. Сложение… векторов.…, с. 13.

[_0fa2ebead05e9731-43] ¹ ² Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И. Геометрия. 7—9 классы, 2014, Применение векторов к решению задач. 788, с. 207.

[_6a25e5e9a9cac9ef-44] ¹ ² Кочин Г. Ф. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 1965, § 2. Сложение… векторов.…, с. 14.

[_1e08820d7d1d383b-45] Александров П. С. Лекции по аналитической геометрии, 1968, Задачи. Задача 2, с. 800.

[_f528f3ad175cfd46-46] Александров П. С. Лекции по аналитической геометрии, 1968, Задачи. Задача 2, с. 800—801.

[_12c5ef0d76010134-47] Александров П. С. Лекции по аналитической геометрии, 1968, Задачи. Задача 2, с. 801.

[_ceaac98c8e54d99d-48] Кочин Г. Ф. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 1965, § 2. Сложение… векторов.…, с. 14—15.

[_8c270c8d74066455-49] Кочин Г. Ф. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 1965, § 2. Сложение… векторов.…, с. 17—18.

[_46a779e99573b71b-50] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ Кочин Г. Ф. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 1965, § 2. Сложение… векторов.…, с. 18.

[_427b4233ef7ccf45-51] ¹ ² Кочин Г. Ф. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 1965, § 2. Сложение… векторов.…, с. 18—19.

[_3b63e6e98e55cd14-52] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ Кочин Г. Ф. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 1965, § 2. Сложение… векторов.…, с. 19.

[_37fd78f21ab491b7-53] ¹ ² ³ ⁴ Кочин Г. Ф. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 1965, § 2. Сложение… векторов.…, с. 21.

[_0cc18314aad7019b-54] ¹ ² Кочин Г. Ф. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 1965, § 2. Сложение… векторов.…, с. 21—22.

[_180d87f206ed5af6-55] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ Кочин Г. Ф. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 1965, § 2. Сложение… векторов.…, с. 22.

[_4f0861a8131e8f0f-56] Кочин Г. Ф. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 1965, § 2. Сложение… векторов.…, с. 19—21.

[_2d9265f2144dbec0-57] ¹ ² ³ Кочин Г. Ф. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 1965, § 2. Сложение… векторов.…, с. 20.

[_225d6af20d3d137d-58] ¹ ² ³ Кочин Г. Ф. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 1965, § 2. Сложение… векторов.…, с. 23.

[_1c97bf6c64e81d52-59] ¹ ² Александров П. С. Лекции по аналитической геометрии, 1968, Задачи. Задача 4, с. 801.

[_e7408a5087700a32-60] Александров П. С. Лекции по аналитической геометрии, 1968, Задачи. Задача 4, с. 801—802.

[_35bbb06c72e90213-61] ¹ ² ³ ⁴ Александров П. С. Лекции по аналитической геометрии, 1968, Задачи. Задача 4, с. 802.

[_e703de2058c57511-62] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И. Геометрия. 7—9 классы, 2014, 87. Применение векторов к решению задач. Задача 2, с. 204.

[_dbda7b2051bcf12a-63] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И. Геометрия. 7—9 классы, 2014, 87. Применение векторов к решению задач. Задача 2, с. 205.

[_1d53736f9e87d74a-64] ¹ ² Болтянский В. Г., Яглом И. М. Векторы и их применения в геометрии, 1963, Примеры. Задача 1, с. 315.

[_68fa4877f6835cea-65] Болтянский В. Г., Яглом И. М. Векторы и их применения в геометрии, 1963, Примеры. Задача 1, с. 315—316.

[_3675646fac85560b-66] ¹ ² ³ ⁴ Болтянский В. Г., Яглом И. М. Векторы и их применения в геометрии, 1963, Примеры. Задача 1, с. 316.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

[43]

[44]

[45]

[46]

[47]

[48]

[49]

[50]

[51]

[52]

[53]

[54]

[55]

[56]

[57]

[58]

[59]

[60]

[61]

[62]

[63]

[64]

[65]

[66]