Гиперфакториал

Гиперфакториал — функция, определённая на множестве неотрицательных целых чисел. В математике, в частности в теории чисел, гиперфакториал натурального числа ${\displaystyle n}$ определяется как произведение всех натуральных чисел от 1 до ${\displaystyle n}$, каждое из которых возведено в степень, равную самому числу.

Гиперфакториал положительного целого числа, обозначаемый ${\displaystyle \operatorname {H} (n)}$, — это произведение вида

${\displaystyle \operatorname {H} (n)=\prod _{k=1}^{n}k^{k}=1^{1}\cdot 2^{2}\cdot 3^{3}\cdot \ldots \cdot n^{n}}$.

Следуя обычному соглашению для пустого произведения, ${\displaystyle \operatorname {H} (0)=1}$.

${\displaystyle n}$	${\displaystyle \operatorname {H} (n)}$
0	1
1	1
2	4
3	108
4	27648
5	86400000
6	4031078400000
7	3319766398771200000
8	55696437941726556979200000
9	21577941222941856209168026828800000
10	215779412229418562091680268288000000000000000
11	61564384586635053951550731889313964883968000000000000000
12	548914237009501581804104224704637116078267727827959808000000000000000

Гиперфакториал может быть задан рекуррентной формулой^[1]:

${\displaystyle \operatorname {H} (n)={\begin{cases}1&n=0,\\n^{n}\cdot \operatorname {H} (n-1)&n>0.\end{cases}}}$

Гиперфакториал связан с K-функцией соотношением

${\displaystyle K(n+1)=(-1)^{\tfrac {n(n+1)}{2}}K(-n)=\operatorname {H} (n)}$.

K-функция была введена для обобщения понятия гиперфакториала на множество комплексных чисел, по аналогии с гамма-функцией, которая обобщает факториал. В отличие от гамма-функции, у которой есть неопределённые точки, K-функция определена на всей комплексной плоскости.

Глейшер предложил асимптотическую формулу для гиперфакториала, аналогичную формуле Стирлинга для факториала^[2].

${\displaystyle \operatorname {H} (n)=A\,n^{(6n^{2}+6n+1)/12}e^{-n^{2}/4}\!\left(1+{\frac {1}{720n^{2}}}-{\frac {1433}{7257600n^{4}}}+O(n^{-6})\right),}$

где ${\displaystyle A\approx 1.28243...}$ - постоянная Глейшера — Кинкелина^[3][4]:

Для больших ${\displaystyle n}$ достаточно рассматривать только главный член. Таким образом, более точная аппроксимация:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\operatorname {H} (n)}{An^{(6n^{2}+6n+1)/12}e^{-n^{2}/4}}}=1}$

Данной формулой можно легко вычислить примерное значение гиперфакториала.

${\displaystyle n}$	${\displaystyle \operatorname {H} (n)}$	${\displaystyle \approx A\,n^{(6n^{2}+6n+1)/12}e^{-n^{2}/4}}$	${\displaystyle \delta (\%)}$
1	1	0.998755	0.124475
2	4	3.998656	0.033602
3	108	107.983586	0.015198
4	27648	27645.620901	0.008605
5	86400000	86395227.033581	0.005524

Здесь ${\displaystyle \delta (\%)}$ — модуль относительной погрешности, выраженной в процентах.

• Согласно аналогу теоремы Вильсона о поведении факториалов по модулю простых чисел, для нечётного простого ${\displaystyle p}$:

${\displaystyle \operatorname {H} (p-1)\equiv (-1)^{(p-1)/2}(p-1)!!{\pmod {p}}}$, где ${\displaystyle !!}$ — двойной факториал.

• ${\displaystyle \operatorname {H} (n)\cdot \operatorname {sf} (n)=(n!)^{n+1}}$, где ${\displaystyle \operatorname {sf} (n)}$ — суперфакториал.
• ${\displaystyle \operatorname {H} (n)\cdot \operatorname {sf} (n-1)=(n!)^{n}}$.

Гиперфакториалы изучались с XIX века Германом Кинкелином и Джеймсом Уитбредом Ли Глейшером^[5][6]. Как показал Кинкелин, аналогично тому, как факториал можно непрерывно интерполировать с помощью гамма-функции, гиперфакториал интерполируется с помощью K-функции^[5].

• Факториал
• K-функция

• Гиперфакториал на MathWorld
• OEIS: A002109 — Hyperfactorial numbers