Суперфакториал

Суперфакториал — функция, определённая на множестве неотрицательных целых чисел. В математике, в частности в теории чисел, существует несколько определений суперфакториала.

Суперфакториал Нила Слоана и Саймона Плаффа положительного целого числа, обозначаемый ${\displaystyle \operatorname {sf} (n)}$, — это произведение вида

${\displaystyle \operatorname {sf} (n)=\prod _{k=1}^{n}k!=1!\cdot 2!\cdot 3!\cdot \ldots \cdot n!}$.

Следуя обычному соглашению для пустого произведения, ${\displaystyle \operatorname {sf} (0)=1}$.

${\displaystyle n}$	${\displaystyle \operatorname {sf} (n)}$
0	1
1	1
2	2
3	12
4	288
5	34 560
6	24 883 200
7	125 411 328 000
8	5 056 584 744 960 000
9	1 834 933 472 251 084 800 000
10	6 658 606 584 104 736 522 240 000 000
11	265 790 267 296 391 946 810 949 632 000 000 000
12	127 313 963 299 399 416 749 559 771 247 411 200 000 000 000
13	792 786 697 595 796 795 607 377 086 400 871 488 552 960 000 000 000 000
14	69 113 789 582 492 712 943 486 800 506 462 734 562 847 413 501 952 000 000 000 000 000
15	90 378 331 112 371 142 262 979 521 568 630 736 335 023 247 731 599 748 366 336 000 000 000 000 000 000

Суперфакториал может быть задан рекуррентной формулой^[1]:

${\displaystyle \operatorname {sf} (n)={\begin{cases}1&n=0,\\n!\cdot \operatorname {sf} (n-1)&n>0.\end{cases}}}$

Суперфакториал связан с G-функцией Барнса от целочисленного аргумента соотношением^[2]

${\displaystyle G(n+2)=\operatorname {sf} (n)}$

G-функция была введена для обобщения понятия cуперфакториал на множество комплексных чисел, по аналогии с гамма-функцией, которая обобщает факториал. В отличие от гамма-функции, у которой смещение от факториала равное 1, G-функция Барнса имеет смещение от суперфакториала равное 2.

• Согласно аналогу теоремы Вильсона о поведении факториалов по модулю простых чисел, для нечётного простого ${\displaystyle p}$:

${\displaystyle \operatorname {sf} (p-1)\equiv (p-1)!!{\pmod {p}}}$, где ${\displaystyle !!}$ — двойной факториал.^[3]

• Для любого целого ${\displaystyle k}$, выражение ${\displaystyle {\frac {\operatorname {sf} (4k)}{2k!}}}$ всегда равняется числу в квадрате.^[2]
• ${\displaystyle \operatorname {sf} (n)={\frac {(n!)^{n+1}}{\operatorname {H} (n)\cdot }}}$, где ${\displaystyle \operatorname {H} (n)}$ - гиперфакториал

Суперфакториал Клиффорда А. Пиковера положительного целого числа, обозначаемый ${\displaystyle n\$}$, — это выражение вида

${\displaystyle n\$={\begin{matrix}\underbrace {n!^{{n!}^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^{n!}}}}}} \\n!{\text{ раз}}\end{matrix}}}$

Суперфакториал Клиффорда А. Пиковера определяется в виде тетрации

${\displaystyle n\$={}^{n!}n!}$

Данный суперфакториал является быстро растущей функцией, и принимает большие значения уже при ${\displaystyle n=3}$

Некоторые значения суперфакториала Клиффорда А. Пиковера

${\displaystyle 1\$={}^{1!}1!={}^{1}1=1=1}$

${\displaystyle 2\$={}^{2!}2!={}^{2}2=2^{2}=4}$

${\displaystyle 3\$={}^{3!}3!={}^{6}6=6^{6^{6^{6^{6^{6}}}}}}$

• Факториал
• G-функция Барнса
• Гиперфакториал

• Суперфакториал на mathworld