G-функция Барнса

G-функция Барнса (обычно обозначаемая ${\displaystyle G(z)}$) — функция, которая расширяет понятие суперфакториала на поле комплексных чисел. Она связана с Гамма-функцией, K-функцией и постоянной Глейшера—Кинкелина. ${\displaystyle G}$-функция названа в честь английского математика Эрнеста Уильяма Барнса^[1].

Формально ${\displaystyle G}$-функция Барнса определяется в виде произведения Вейерштрасса

${\displaystyle G(z+1)=(2\pi )^{z/2}e^{-\left[z(z+1)+\gamma z^{2}\right]/2}\prod _{n=1}^{\infty }\left[\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}e^{-z+z^{2}/(2n)}\right]}$

где ${\displaystyle \gamma }$ — постоянная Эйлера—Маскерони.

${\displaystyle G}$-функция Барнса удовлетворяет разностному уравнению

${\displaystyle G(z+1)=\Gamma (z)G(z)}$

Дифференциальное и функциональное уравнение для ${\displaystyle G}$-функции, Гамма-функции и K-функции приводят к следующим функциональным уравнениям для ${\displaystyle G}$-функции, доказанным Германом Кинкелином:

${\displaystyle K(z)G(z)=e^{(z-1)\ln \Gamma (z)}.}$

${\displaystyle G(1-z)=G(1+z){\frac {1}{(2\pi )^{z}}}\exp \left(\int _{0}^{z}\pi x\cot \pi x\,dx\right).}$

Схожая с Гамма-функцией, ${\displaystyle G}$-функция также имеет формулу умножения^[2]:

${\displaystyle G(nz)=\operatorname {K} (n)n^{n^{2}z^{2}/2-nz}(2\pi )^{-{\frac {n^{2}-n}{2}}z}\prod _{i=0}^{n-1}\prod _{j=0}^{n-1}G\left(z+{\frac {i+j}{n}}\right),}$

где ${\displaystyle \operatorname {K} (n)}$ является константой, от n:

${\displaystyle \operatorname {K} (n)=e^{-(n^{2}-1)\zeta ^{\prime }(-1)}\cdot n^{\frac {5}{12}}\cdot (2\pi )^{(n-1)/2}\,=\,(Ae^{-{\frac {1}{12}}})^{n^{2}-1}\cdot n^{\frac {5}{12}}\cdot (2\pi )^{(n-1)/2}.}$

Здесь ${\displaystyle \zeta ^{\prime }}$ — это дзета-функция Римана, ${\displaystyle A}$ — это постоянная Глейшера—Кинкелина.

Частный случай этой формулы при n=2: ^[3]

${\displaystyle G(x)G\left(x+{\frac {1}{2}}\right)^{2}G(x+1)=e^{\frac {1}{4}}A^{-3}2^{-2x^{2}+3x-{\frac {11}{12}}}\pi ^{x-{\frac {1}{2}}}G\left(2x\right)}$

Для любого целого неотрицательного n верно:

${\displaystyle G(n)=\operatorname {sf} (n-2)}$, где ${\displaystyle \operatorname {sf} (x)}$— суперфакториал ${\displaystyle x}$.

если принять, что ${\displaystyle G(1)=1}$. В дифференциальном уравнении подразумевается, что ${\displaystyle G}$ принимает следующие значение при целых значениях аргумента:

${\displaystyle G(n)={\begin{cases}0&{\mbox{if }}n=0,-1,-2,\dots \\\prod _{i=0}^{n-2}i!&{\mbox{if }}n=1,2,\dots \end{cases}}}$

Согласно аналогу теоремы Бора — Моллерупа, G-функции Барнса единственная функция ${\displaystyle f(x)}$, которая обладает 2 свойствами^[4]

${\displaystyle f(x+1)=\Gamma (x)f(x)}$

и для ${\displaystyle x>0}$

${\displaystyle f(x+n)\sim \Gamma (x)^{n}n^{x \choose 2}f(n)}$

при ${\displaystyle n\to \infty }$.

Комплексно сопряженная G-функция Барнса от z равна G-функция Барнса от комплексно сопряженного аргумента z ${\displaystyle (G({\overline {z}})={\overline {G(z)}})}$, таким образом ${\displaystyle |G(z)|^{2}=G(z)G({\overline {z}})}$. Из этого соотношения и представленной выше формулы произведения Вейерштрасса можно показать

${\displaystyle |G(x+iy)|=|G(x)|\exp \left(y^{2}{\frac {1+\gamma }{2}}\right){\sqrt {1+{\frac {y^{2}}{x^{2}}}}}{\sqrt {\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {y^{2}}{(x+k)^{2}}}\right)^{k+1}\exp \left(-{\frac {y^{2}}{k}}\right)}}.}$

Это отношение справедливо для произвольных ${\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \{0,-1,-2,\dots \}}$, и ${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$. Если ${\displaystyle x=0}$, тогда формулу можно записав в более простом виде:

${\displaystyle |G(iy)|=y\exp \left(y^{2}{\frac {1+\gamma }{2}}\right){\sqrt {\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {y^{2}}{k^{2}}}\right)^{k+1}\exp \left(-{\frac {y^{2}}{k}}\right)}}}$

для любого вещественного y.

G-функция Барнса имеет следующее асимптотическое разложение, установленное Барнсом:

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln G(z+1)={}&{\frac {z^{2}}{2}}\ln z-{\frac {3z^{2}}{4}}+{\frac {z}{2}}\ln 2\pi -{\frac {1}{12}}\ln z+\left({\frac {1}{12}}-\ln A\right)+\sum _{k=1}^{N}{\frac {B_{2k+2}}{4k\left(k+1\right)z^{2k}}}~+~O\left({\frac {1}{z^{2N+2}}}\right).\end{aligned}}}$

где: ${\displaystyle B_{k}}$ - числа Бернулли

Интегральное представление, которое можно вывести из отношения к двойной гамма-функции:

${\displaystyle \ln G(1+z)={\frac {z}{2}}\ln(2\pi )+\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{t}}\left[{\frac {1-e^{-zt}}{4\sinh ^{2}{\frac {t}{2}}}}+{\frac {z^{2}}{2}}e^{-t}-{\frac {z}{t}}\right]}$

где: ${\displaystyle \sinh(x)}$ - гиперболические функции

По теорема Тейлора, и учитывая логарифмическую производные из функции Барнса можно получить следующее разложение в ряд:

${\displaystyle \log G(1+z)={\frac {z}{2}}\log 2\pi -\left({\frac {z+(1+\gamma )z^{2}}{2}}\right)+\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k+1}}z^{k+1}.}$

где: ${\displaystyle \zeta (x)}$ - Дзета-функция Римана

G-функция Барнса целых аргументов выражается через элементарные функции. В частности

${\displaystyle G(2)=\operatorname {sf} (0)=1}$

${\displaystyle G(3)=\operatorname {sf} (1)=1}$

${\displaystyle G(4)=\operatorname {sf} (2)=2}$

${\displaystyle G(5)=\operatorname {sf} (3)=12}$

${\displaystyle G(6)=\operatorname {sf} (4)=288}$

${\displaystyle G(1)=1}$

${\displaystyle G(0)=G(-1)=G(-2)=\ldots =0}$

Так же были найдены значения для полу-целых аргументов

${\displaystyle G({\frac {1}{2}})=A^{-{\frac {3}{2}}}}{2^{\frac {1}{24}}e^{\frac {1}{8}}\pi ^{-{\frac {1}{4}}}}$

${\displaystyle G({\frac {3}{2}})=A^{-{\frac {3}{2}}}}{2^{\frac {1}{24}}e^{\frac {1}{8}}\pi ^{\frac {1}{4}}}$

${\displaystyle G({\frac {5}{2}})=A^{-{\frac {3}{2}}}}{2^{-{\frac {23}{24}}}e^{\frac {1}{8}}\pi ^{\frac {3}{4}}}$