Головоломка с разрезанием

Головоломка с разрезанием, известная также как трансформационная головоломка или головоломка Рихтера^[1], — это головоломка с плитками, в которой набор частей может быть собран различным способом с образованием двух и более различных геометрических фигур. Создание новой головоломки с разрезанием считается также головоломкой с разрезанием. Головоломки могут содержать различные ограничения, такие как «соединение частей шарнирами», возможность скручивать части или возможность части складывать. Создатели новых головоломок на разрезание делают акцент на использование минимального числа частей или на выполнение определённых условий, например, каждая часть должна быть соединена с остальными частями шарнирами.

Головоломки на разрезание — это одна из ранних видов геометрических головоломок. Самые ранние известные описания таких головоломок относятся ко временам Платона (427–347 до нашей эры) в древней Греции, и связаны с задачей превращения двух равных квадратов в один больший квадрат используя четыре части. Другие древние головоломки на разрезание использовались как наглядные иллюстрации теоремы Пифагора (смотрите статью «Трисекция квадрата»). Знаменитой древнегреческой головоломкой на разрезание является Стомахион, математический трактат, приписываемый Архимеду. Здесь два одинаковых квадрата пребобразуются в один квадрат состоящий из 14 частей полученных дальнейшим делением четырёх частей двух меньших квадратов.

В 10-м столетии арабские математики использовали геометрическое разрезание в их комментариях к евклидовых Начал. В 18-м столетии китайский учёный Дай Чжэнь описал элегантное разрезание для вычисления приближённого значения числа ${\displaystyle \pi }$.

В конце 19 века головоломки значительно набрали популярность, когда газеты и журналы начали публиковать головоломки на разрезание. Среди наиболее публикуемых авторов были создатели головоломок Сэм Лойд в Соединенных Штатах и Генри Дьюдени в Великобритании. С тех пор головоломки на разрезание используются для развлечения и обучения математике, а создание сложных головоломок на разрезание считается упражнением в применении геометрических принципов математиками и студентами математических факультетов.

Разрезание правильных многоугольников и других простых геометрических фигур на другие подобные фигуры было темой колонки Мартина Гарднера «Mathematical Games column» (Колонка математических игр) в журнале Scientific American в ноябре 1961 года. Задача портного, показанная на рисунке ниже, демонстрирует, как можно разрезать квадрат и пересобрать его части, чтобы получить равносторонний треугольник. В колонке была приведена таблица известных наилучших разрезаний, включающих квадрат, пятиугольник, шестиугольник, греческий крест и так далее.

Некоторые виды головоломок на разрезание предназначены для создания множества разнообразных геометрических фигур. Танграм — популярная головоломка такого типа. Семь деталей можно сложить в несколько основных форм, например, в большой квадрат и прямоугольник, в которых они обычно хранятся, или в любое количество меньших квадратов, треугольников, параллелограммов, а также в необычные фигуры и образы. Некоторые геометрические формы создать легко, другие же представляют собой настоящую трудность. Такая вариативность обеспечивает головоломке популярность.

Другие разрезания предназначены для преобразования одной геометрической фигуры в другую, например, треугольника в квадрат или квадрата в пятиконечную звезду. Примером такой головоломки является задача галантерейщика, предложенная в 1907 году Генри Дьюдени. Эта головоломка представляет собой разрезание треугольника на квадрат всего на четыре части. Это одно из самых простых известных разрезаний правильного многоугольника на квадрат, и теперь это классический пример. В декабре 2024 года Эрик Д. Демайн, Тонан Камата и Рюхея Уехара опубликовали препринт в arXiv.org в котором утверждается, что не существует разрезания равностороннего треугольника на квадрат, использующего три или менее многоугольных частей^[2].

Головоломка «Исчезновение клетки» в различных формах является оптической иллюзией, где, казалось, существует равносоставленность двух фигур различной площади. Головоломка с исчезновением — это другая иллюзия, демонстрирующая разное количество определенного объекта, когда части головоломки перемещаются^[3].

• Головоломка «Танграм», с ее частями в прямоугольной конфигурации «хранения».
• Задача галантерейщика, созданная Генри Дьюдени.
• Анимация, иллюстрирующая равносоставленность
• Интерактивный SVG Головоломка с волшебным яйцом – в файл SVG, наведите указатель, чтобы прокрутить его верхнюю половину.

• Lindgren, Harry. Geometric dissections. — Princeton : Van Nostrand, 1964.
• Coffin, Stewart T. The Puzzling World of Polyhedral Dissections. — Oxford University Press, 1990. — ISBN 0-19-853207-5.
• Frederickson, Greg N. Dissections: Plane and Fancy. — Cambridge University Press, 1997. — ISBN 0-521-57197-9.
• Frederickson, Greg N. Hinged Dissections: Swinging and Twisting. — Cambridge University Press, 2002. — ISBN 0-521-81192-9.
• Frederickson, Greg N. Piano-hinged Dissections: Time to Fold!. — A K Peters, 2006. — ISBN 1-56881-299-X.
• Weisstein, Eric W. Haberdasher's Problem . MathWorld. Wolfram Web Resources (2006). Дата обращения: 8 августа 2006.