Декартов лист

${\displaystyle \alpha ={\frac {\pi }{4}}}$

${\displaystyle {\begin{vmatrix}x\\y\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}-u\\v\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha \\\sin \alpha &\cos \alpha \end{vmatrix}}}$

Выражение старых координат XY через новые UV выглядит так:

${\displaystyle \textstyle x=-u\cos \alpha -v\sin \alpha }$

${\displaystyle \textstyle y=-u\sin \alpha +v\cos \alpha }$, или

${\displaystyle \textstyle x=-{\frac {u}{\sqrt {2}}}-{\frac {v}{\sqrt {2}}}}$

${\displaystyle \textstyle y=-{\frac {u}{\sqrt {2}}}+{\frac {v}{\sqrt {2}}}}$,

После подстановки выражений старых координат через новые уравнение декартова листа преобразуется к следующему виду:

${\displaystyle v^{2}={\frac {u^{2}}{3}}{\frac {3a+u{\sqrt {2}}}{a-u{\sqrt {2}}}}}$.

Вводим параметр ${\displaystyle l={\frac {3a}{\sqrt {2}}}}$, последнее уравнение перепишется так:

${\displaystyle v^{2}=u^{2}{\frac {l+u}{l-3u}}}$

или

${\displaystyle v=\pm u{\sqrt {\frac {l+u}{l-3u}}}}$.

Заменяем переменные u и v на привычные x и y и получаем уравнение декартового листа в новой системе координат:

${\displaystyle y=\pm x{\sqrt {\frac {l+x}{l-3x}}}}$

Подставив в уравнение предыдущее ${\displaystyle x=\rho \cos \varphi ,\ y=\rho \sin \varphi }$, получаем уравнение декартова листа в полярной системе координат:

${\displaystyle \rho \sin \varphi =\rho \cos \varphi {\sqrt {\frac {t+\rho \cos \varphi }{t-3\rho \cos \varphi }}}}$.

Решая данное выражение относительно ${\displaystyle \rho }$, получаем:

${\displaystyle \rho ={\frac {l\left(\sin ^{2}\varphi -\cos ^{2}\varphi \right)}{\cos \varphi \left(\cos ^{2}\varphi +3\sin ^{2}\varphi \right)}}}$.

При ${\displaystyle y=0}$ имеем

${\displaystyle x=0}$ или ${\displaystyle \textstyle {\sqrt {\frac {l+x}{l-3x}}}=0}$,

Рассматриваем второй случай: ${\displaystyle l+x=0}$, то есть, ${\displaystyle x=-l}$, то есть ${\displaystyle \textstyle x=-{\frac {3a}{\sqrt {2}}}}$, значит ${\displaystyle \textstyle OA={\frac {3a}{\sqrt {2}}}}$.

Уравнение асимптоты UV определяется из выражения:

${\displaystyle l-3x=0}$, следовательно, ${\displaystyle \textstyle x={\frac {l}{3}}={\frac {a}{\sqrt {2}}}}$.

После поворота осей на ${\displaystyle -135^{\circ }}$ получаем окончательное уравнение

${\displaystyle x+y+a=0}$

${\displaystyle S_{1}}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}S_{1}=-\int \limits _{-l}^{0}x{\sqrt {\frac {l+x}{l-3x}}}\,dx}$, где ${\displaystyle l={\frac {3a}{\sqrt {2}}}}$.

Этот интеграл вычисляется с помощью подстановки:

${\displaystyle u=l-3x,\ l+x={\frac {4}{3}}l-{\frac {1}{3}}u,\ dx=-{\frac {1}{3}}du}$.

Пределы интегрирования:

${\displaystyle x=-l\Rightarrow \;u=4l,\qquad x=0\Rightarrow \;u=l}$

Интеграл преобразуется к виду:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}S_{1}={\frac {1}{9{\sqrt {3}}}}\int \limits _{4l}^{l}\left(l-u\right){\sqrt {\frac {4l-u}{u}}}\,du}$

или

${\displaystyle {\frac {1}{2}}S_{1}={\frac {1}{9{\sqrt {3}}}}\int \limits _{4l}^{l}l{\sqrt {\frac {4l-u}{u}}}\,du-{\frac {1}{9{\sqrt {3}}}}\int \limits _{4l}^{l}u{\sqrt {\frac {4l-u}{u}}}\,du}$

Первый интеграл из этого уравнения:

${\displaystyle {\frac {1}{9{\sqrt {3}}}}\int \limits _{4l}^{l}l{\sqrt {\frac {4l-u}{u}}}\,du}$.

Подстановка:

${\displaystyle u=v^{2},\qquad du=2vdv}$.

Пределы интегрирования:

${\displaystyle u=4l\Rightarrow \;v=2{\sqrt {l}},\qquad u=l\Rightarrow \;v={\sqrt {l}}}$.

Интеграл преобразуется к виду:

${\displaystyle {\frac {2l}{9{\sqrt {3}}}}\int \limits _{2{\sqrt {l}}}^{\sqrt {l}}{\sqrt {\left(2{\sqrt {l}}\right)^{2}-v^{2}}}\,dv=}$

${\displaystyle ={\frac {2l}{\sqrt {3}}}\left[{\frac {v}{2}}{\sqrt {\left(2{\sqrt {t}}\right)^{2}-v^{2}}}+{\frac {\left(2{\sqrt {l}}\right)^{2}}{2}}\arcsin \left({\frac {v}{2{\sqrt {l}}}}\right)\right]{\Bigg |}_{2{\sqrt {l}}}^{\sqrt {l}}={\frac {l^{2}}{9{\sqrt {3}}}}\left[{\sqrt {3}}-{\frac {4}{3}}\pi \right]}$.

Второй интеграл:

${\displaystyle -{\frac {1}{9{\sqrt {3}}}}\int \limits _{4l}^{l}{\sqrt {4tu^{2}-u^{2}}}\,du}$

Подстановка:

${\displaystyle u=v+2l,\qquad du=dv}$.

Пределы интегрирования:

${\displaystyle u=4l\Rightarrow \;v=2t,\qquad u=l\Rightarrow \;v=-l}$.

Интеграл преобразуется к виду:

${\displaystyle -{\frac {1}{9{\sqrt {3}}}}\int \limits _{2l}^{-l}{\sqrt {\left(2l\right)^{2}-v^{2}}}\,dv=}$

${\displaystyle =-{\frac {1}{9{\sqrt {3}}}}\left[{\frac {v}{2}}{\sqrt {\left(2l\right)^{2}-v^{2}}}+{\frac {\left(2l\right)^{2}}{2}}\arcsin \left({\frac {v}{2l}}\right)\right]{\Bigg |}_{2l}^{-l}={\frac {l^{2}}{9{\sqrt {3}}}}\left[{\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {4}{3}}\pi \right]}$.

Итак:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}S_{1}={\frac {l^{2}}{9{\sqrt {3}}}}\left[{\sqrt {3}}-{\frac {4}{3}}\pi \right]+{\frac {l^{2}}{9{\sqrt {3}}}}\left[{\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {4}{3}}\pi \right]}$.

Площадь ${\displaystyle S_{1}}$ равна

${\displaystyle S_{1}={\frac {l^{2}}{3}}={\frac {3}{2}}a^{2}}$.

${\displaystyle S_{2}}$

${\displaystyle S_{1}}$

${\displaystyle \textstyle {\frac {l}{3}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}S_{2}=\int \limits _{0}^{\frac {l}{3}}x{\sqrt {\frac {l+x}{l-3x}}}\,dx}$

Этот интеграл вычисляется также, как и в предыдущем случае.

${\displaystyle S_{2}={\frac {l^{2}}{3}}={\frac {3}{2}}a^{2}}$, то есть, площади ${\displaystyle S_{1}}$ и ${\displaystyle S_{2}}$ равны между собой.

${\displaystyle V_{1}}$

${\displaystyle ACO}$

${\displaystyle V_{1}=\pi \int \limits _{-l}^{0}x^{2}{\frac {l+x}{l-3x}}\,dx=}$

${\displaystyle =-{\frac {\pi }{3}}\int \limits _{-l}^{0}x^{2}\,dx-{\frac {4\pi l}{9}}\int \limits _{-l}^{0}x\,dx-{\frac {4\pi l^{2}}{27}}\int \limits _{-l}^{0}\,dx+{\frac {4\pi l^{3}}{27}}\int \limits _{-l}^{0}{\frac {dx}{l-3x}}\,=}$

${\displaystyle ={\frac {\pi l^{3}}{27}}\left(\ln {4}-1\right)}$.

Итак:

${\displaystyle V_{1}={\frac {\pi l^{3}}{27}}\left(\ln {4}-1\right)}$.

Объём (${\displaystyle V_{2}}$) тела, образованного при вращении одной ветви вокруг оси абсцисс, стремится к бесконечности. Этот объём вычисляется из предыдущего интеграла в пределах от ${\displaystyle 0}$ до ${\displaystyle {\frac {t}{3}}}$. Этот интеграл равен бесконечности, то есть

${\displaystyle V_{2}=\infty }$.