Кубический сплайн

Кубический сплайн — гладкая функция, область определения которой разбита на конечное число отрезков, на каждом из которых она совпадает с некоторым кубическим многочленом (полиномом).

Функция ${\displaystyle f(x)}$ задана на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$, разбитом на части ${\displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}$, ${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<...<x_{N}=b}$. Кубическим сплайном дефекта 1 (разность между степенью многочлена и высшим порядком его непрерывной производной) называется функция ${\displaystyle S(x)}$, которая:

• на каждом отрезке ${\displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}$ является многочленом степени не выше третьей;
• имеет непрерывные первую и вторую производные на всём отрезке ${\displaystyle [a,b]}$;
• в точках ${\displaystyle x_{i}}$ выполняется равенство ${\displaystyle S(x_{i})=f(x_{i})}$, т. е. сплайн ${\displaystyle S(x)}$ интерполирует функцию ${\displaystyle f}$в точках ${\displaystyle x_{i}}$.

Для однозначного задания сплайна перечисленных условий недостаточно, для построения сплайна необходимо наложить дополнительные требования — граничные условия:

1. "Естественный сплайн" — граничные условия вида: ${\displaystyle S''(a)=S''(b)=0}$;
2. Непрерывность второй производной — граничные условия вида: ${\displaystyle S'''(a)=S'''(b)=0}$;
3. Периодический сплайн — граничные условия вида: ${\displaystyle S'(a)=S'(b)}$ и ${\displaystyle S''(a)=S''(b)}$.

Теорема: Для любой функции ${\displaystyle f}$ и любого разбиения отрезка ${\displaystyle [a,b]}$ на части ${\displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}$ существует ровно один естественный сплайн ${\displaystyle S_{i}(x)}$, удовлетворяющий перечисленным выше условиям.

Эта теорема является следствием более общей теоремы Шёнберга-Уитни об условиях существования интерполяционного сплайна.

На каждом отрезке ${\displaystyle [x_{i},x_{i+1}],\ i={\overline {0,N-1}}}$ функция ${\displaystyle S(x)}$ есть ряд Тейлора, усечённый до третьей степени^[1]:

${\displaystyle S_{i}(x)=\sum _{n=0}^{3}{\frac {f^{(n)}(x_{i})}{n!}}(x-x_{i})^{n}={\frac {f(x_{i})}{0!}}+{\frac {f'(x_{i})}{1!}}(x-x_{i})+{\frac {f''(x_{i})}{2!}}(x-x_{i})^{2}+{\frac {f'''(x_{i})}{3!}}(x-x_{i})^{3}}$,

коэффициенты которого надо определить. Запишем для удобства ${\displaystyle S_{i}(x)}$ в виде:

${\displaystyle S_{i}(x)=a_{i}+b_{i}(x-x_{i})+{c_{i}}(x-x_{i})^{2}+{d_{i}}(x-x_{i})^{3},\quad \quad }$(1)

тогда

${\displaystyle a_{i}=S_{i}\left(x_{i}\right),\quad b_{i}=S'_{i}(x_{i}),\quad c_{i}=S''_{i}(x_{i})/2,\quad d_{i}=S'''_{i}\left(x_{i}\right)/6,\quad i={\overline {0,N-1}}.}$

Условия непрерывности функции и всех производных, до второго порядка включительно, записываются в виде

${\displaystyle S_{i}\left(x_{i}\right)=S_{i-1}(x_{i}),}$

${\displaystyle S'_{i}\left(x_{i}\right)=S'_{i-1}(x_{i}),}$

${\displaystyle S''_{i}\left(x_{i}\right)=S''_{i-1}(x_{i}),}$

где ${\displaystyle i}$ меняется от ${\displaystyle 1}$ до ${\displaystyle N-1,}$ а условия интерполяции — в виде

${\displaystyle S_{i}\left(x_{i}\right)=f(x_{i}),}$

где ${\displaystyle i}$ меняется от ${\displaystyle 0}$ до ${\displaystyle N-1,}$ и

${\displaystyle S_{N-1}\left(x_{N}\right)=f(x_{N}).}$

Обозначим${\displaystyle :\quad h_{i}=x_{i}-x_{i-1}\quad (i={\overline {1,N}}),\quad f_{i}=f(x_{i})\quad (i={\overline {0,N}})}$.

Для нахождения коэффициентов ${\displaystyle c_{i}}$ составляется СЛАУ с трёхдиагональной матрицей по формуле:

${\displaystyle c_{i-1}\cdot h_{i}+2\cdot c_{i}\cdot (h_{i}+h_{i+1})+c_{i+1}\cdot h_{i+1}=3\cdot \left({\frac {a_{i+1}-a_{i}}{h_{i+1}}}-{\frac {a_{i}-a_{i-1}}{h_{i}}}\right)}$

с граничными условиями для "естественного сплайна" ${\displaystyle c_{1}-3\cdot d_{1}\cdot h_{1}=S''(x_{0})=0}$ и ${\displaystyle c_{N}=S''(x_{N})=0}$ (${\displaystyle c_{0}=c_{N-1}=0}$). Коээфициенты ${\displaystyle c_{i}}$ находятся решением трёхдиагональной СЛАУ методом прогонки Томаса. После нахождения коэффициентов ${\displaystyle c_{i}}$ сплайн можно интерполировать по формуле кубического сплайна в другом виде:

${\displaystyle S_{i}(x)={\frac {1}{6h_{i}}}[M_{i}(x_{i+1}-x)^{3}+M_{i+1}(x-x_{i})^{3}]+{\frac {1}{h_{i}}}[(y_{i}-{\frac {M_{i}h_{i}^{2}}{6}}(x_{i+1}-x)+(y_{i+1}-{\frac {M_{i+1}h_{i}^{2}}{6}})(x-x_{i})]}$,

где ${\displaystyle M_{i}=2c_{i}}$ - это вторая производная, а для интерполирования сплайна в виде многоряда Тэйлора нужно ещё вычислить коэффициенты сплайна по формулам:

${\displaystyle a_{i}=f(x_{i})}$,

${\displaystyle b_{i}={\frac {a_{i}-a_{i-1}}{h_{i}}}-{\frac {2\cdot c_{i-1}+c_{i}}{3}}\cdot h_{i}}$,

${\displaystyle d_{i}={\frac {c_{i}-c_{i-1}}{3\cdot h_{i}}}}$.

Интерполяция производится по формуле (1). ^[2]

1. de Boor, Carl. A Practical Guide to Splines. — New York: Springer-Verlag, 1978.
2. de Boor, Carl. A Practical Guide to Splines. Revised Edition. — New York: Springer-Verlag, 2001.
3. Роджерс Д., Адамс Дж. Математические основы машинной графики. — М.: Мир, 2001. — ISBN 5-03-002143-4.
4. Костомаров Д. П., Фаворский А. П. Вводные лекции по численным методам.
5. Стечкин С.Б., Субботин Ю. Н. Сплайны в вычислительной математике. — М.: Главна редакция физико-математической литературы издательства "Наука", 1976. — 248 с.
6. Дьяконов В. П. Справочник по алгоритмам и программам на языке бейсик для персональных ЭВМ. Справочник. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. — 240 с.
7. Волков Е. А. Глава 1. Приближение функций многочленами. § 11. Сплайны // Численные методы. — Учеб. пособие для вузов. — 2-е изд., испр.. — М.: Наука, 1987. — С. 63-68. — 248 с.
8. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копчёнова Н.В. Вычислительные методы для инженеров: Учеб. пособие. — М.: Высш. шк., 1994. — 544 с. — ISBN 5-06-000625-5.

• Интерполяция кубическими сплайнами на JavaScript (рус.)
• Cubic Interpolation ^[3]