Дизъюнктное дополнение множества

Дизъю́нктное дополне́ние мно́жества условно полной векторной решётки — любое множество с элементами определённого вида этой векторной решётки, которое образует линейное подпространство этой векторной решётки и при определённых условиях его прямая сумма с исходным множеством есть вся векторная решётка^[1][2].

Формально определение дизъюнктного дополнения множества можно записать следующим образом. Рассмотрим условно полную векторную решётку (К-пространство) ${\displaystyle E}$. Дизъюнктное дополнение множества ${\displaystyle M\subset E}$ — другое множество элементов ${\displaystyle M^{d}}$ следующего вида:

${\displaystyle M^{d}=\{x\in E\mid |x|\wedge |y|=0\quad \forall y\in M\}}$,

которое есть линейное подпространство векторной решётки ${\displaystyle E}$^[1][2].

Даже если исходное множество ${\displaystyle M\subset E}$ есть линейное подпространство, всё равно в общем случае ${\displaystyle E\neq M\oplus M^{d}}$^[1].

Но когда исходное множество ${\displaystyle M}$ есть компонента (полоса, или замкнутый идеал), другими словами, линейное пространство ${\displaystyle M}$ обладает одним из следующих двух свойств:

• если ${\displaystyle x\in M}$ и ${\displaystyle |y|\leqslant |x|}$, то ${\displaystyle y\in M}$;
• ${\displaystyle M}$ замкнуто при осуществлении перехода к точным верхним и нижним границам,

тогда ${\displaystyle E=M\oplus M^{d}}$^[1].

Для произвольного множества ${\displaystyle M\subset E}$ его дизъюнктное дополнение ${\displaystyle M^{d}}$ есть компонента^[1].

Дизъюнктное дополнение дизъюнктного дополнения ${\displaystyle M^{dd}=(M^{d})^{d}}$ — это наименьшая из компонент, которые включают исходное множество ${\displaystyle M\subset E}$^[1].

1. ↑ ^{1 2 3 4 5 6} Соболев В. И. Дополнение, 1979, стб. 374.
2. ↑ ^{1 2} Вулих Б. З. Введение в теорию полуупорядоченных пространств, 1961, Глава IV. К-пространства. § 3. Проектирование на компоненту, с. 98.

• Вулих Б. З. Введение в теорию полуупорядоченных пространств (рус.). — М.: Физматгиз, 1961. — 407 с. — 9000 экз.
• Соболев В. И. Дополнение // Математическая энциклопедия (рус.) / гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: «Советская энциклопедия», 1979. — Т. 2 Д—Коо. — Стб. 373—374. — 1104 стб., ил. — 148 800 экз.